Asignación cardinal

En la teoría de conjuntos , el concepto de cardinalidad se puede desarrollar de manera significativa sin recurrir a definir realmente los números cardinales como objetos en la teoría misma (de hecho, este es un punto de vista adoptado por Frege ; los cardinales de Frege son básicamente clases de equivalencia en todo el universo de conjuntos , por equinumerosidad ). Los conceptos se desarrollan definiendo la equinumerosidad en términos de funciones y los conceptos de uno a uno y sobre (inyectividad y sobreyectividad); esto nos da una relación de cuasi-ordenación.

${\displaystyle A\leq _{c}B\quad \iff \quad (\exists f)(f:A\to B\ \mathrm {es\ inyectiva} )}$

en todo el universo por tamaño. No es un verdadero ordenamiento parcial porque no es necesario que se cumpla la antisimetría : si tanto y , es cierto por el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder que, es decir , A y B son equinumerosos, pero no tienen que ser literalmente iguales (véase isomorfismo ). Que se cumpla al menos uno de y resulta ser equivalente al axioma de elección . $Estilo de visualización A\leq _{c}B}$$Estilo de visualización B\leq _{c}A$$Estilo de visualización A=_{c}B$$Estilo de visualización A\leq _{c}B}$$Estilo de visualización B\leq _{c}A$

Sin embargo, la mayoría de los resultados interesantes sobre la cardinalidad y su aritmética se pueden expresar simplemente con = _c .

El objetivo de una asignación cardinal es asignar a cada conjunto A un conjunto específico y único que sólo depende de la cardinalidad de A. Esto está de acuerdo con la visión original de Cantor sobre los cardinales: tomar un conjunto y abstraer sus elementos en "unidades" canónicas y reunir estas unidades en otro conjunto, de modo que lo único especial de este conjunto sea su tamaño. Estos estarían totalmente ordenados por la relación , y = _c sería una verdadera igualdad. Sin embargo, como dice YN Moschovakis , esto es principalmente un ejercicio de elegancia matemática, y no se gana mucho a menos que se sea "alérgico a los subíndices". Sin embargo, existen varias aplicaciones valiosas de los números cardinales "reales" en varios modelos de teoría de conjuntos. $estilo de visualización {\leq _{c}}$

En la teoría de conjuntos moderna, normalmente utilizamos la asignación cardinal de Von Neumann , que utiliza la teoría de los números ordinales y la potencia total de los axiomas de elección y reemplazo . Las asignaciones cardinales necesitan el axioma de elección completo, si queremos una aritmética cardinal decente y una asignación para todos los conjuntos.

Formalmente, asumiendo el axioma de elección, la cardinalidad de un conjunto X es el menor ordinal α tal que hay una biyección entre X y α . Esta definición se conoce como la asignación cardinal de von Neumann . Si no se asume el axioma de elección, necesitamos hacer algo diferente. La definición más antigua de la cardinalidad de un conjunto X (implícita en Cantor y explícita en Frege y Principia Mathematica ) es como el conjunto de todos los conjuntos que son equinumerosos con X : esto no funciona en ZFC u otros sistemas relacionados de teoría de conjuntos axiomáticos porque esta colección es demasiado grande para ser un conjunto, pero sí funciona en la teoría de tipos y en New Foundations y sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos de esta clase a aquellos equinumerosos con X que tienen el menor rango , entonces funcionará (este es un truco debido a Dana Scott : funciona porque la colección de objetos con cualquier rango dado es un conjunto; vea el truco de Scott ).

• Moschovakis, Yiannis N. Notas sobre la teoría de conjuntos . Nueva York: Springer-Verlag, 1994.