Suma

La notación matemática utiliza un símbolo que representa de forma compacta la suma de muchos términos similares: el símbolo de sumatoria ,${\textstyle \sum }$, una forma ampliada de la letra griega mayúscula sigma erguida . ^{[ 1 ]} Esto se define como $${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$$ donde i es el "índice de sumatoria" o "variable ficticia", ^{[ 2 ]} a _i es una variable indexada que representa cada término de la suma; m es el "límite inferior de la sumatoria" y n es el "límite superior de la sumatoria". El " i = m " debajo del símbolo de sumatoria significa que el índice i comienza siendo igual a m . El índice, i , se incrementa en uno para cada término sucesivo, deteniéndose cuando i = n . ^{[ b ]} Esto se lee como "suma de a _i , desde i = m hasta n ". Sin embargo, algunas notaciones pueden incluir el índice en el límite superior de la sumatoria u omitir el índice en el límite inferior como en${\textstyle \sum _{i=m}^{i=n}a_{i}}$o${\textstyle \sum _{m}^{n}a_{i}}$, respectivamente. ^{[ 3 ]} Hay variantes de notación sigma donde se omite el rango de límites, que denota solo la variable ficticia, como${\textstyle \sum _{i}a_{i}}$. ^{[ 4 ]} Aquí hay un ejemplo que muestra la suma de cuadrados: $${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$$ En general, si bien cualquier variable puede usarse como índice de sumatoria (siempre que no se produzca ambigüedad), algunas de las más comunes incluyen letras como${\displaystyle i}$, ^{[ c ]}${\displaystyle j}$,${\displaystyle k}$, y${\displaystyle n}$; este último también se usa a menudo para el límite superior de una sumatoria. ^{[ 5 ]} Alternativamente, el índice y los límites de la sumatoria a veces se omiten de la definición de sumatoria si el contexto es suficientemente claro. Esto se aplica particularmente cuando el índice va de 1 a n . Por ejemplo, se podría escribir que${\textstyle \sum a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$. ^{[ 6 ]}

A menudo se utilizan generalizaciones de esta notación, en las que se proporciona una condición lógica arbitraria y se pretende que la suma se tome sobre todos los valores que satisfacen la condición. Por ejemplo,${\textstyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$ es una notación alternativa para ${\textstyle \sum _ {k=0}^{99}f(k),}$la suma de${\displaystyle f(k)}$sobre todos ( enteros )${\displaystyle k}$en el rango especificado. ^{[ 5 ]} De manera similar,${\textstyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$es la suma de${\displaystyle f(x)}$sobre todos los elementos${\displaystyle x}$en el conjunto${\displaystyle S}$, ^{[ 7 ] [ 8 ]} y${\textstyle \sum _ {d\,|\,n}\;\mu (d)}$ es la suma de${\displaystyle \mu (d)}$sobre todos los enteros positivos${\displaystyle d}$divisor${\displaystyle n}$. ^{[ d ]}

También existen maneras de generalizar el uso de muchas notaciones sigma. Por ejemplo, la suma doble se escribe como dos notaciones sigma con diferentes variables ficticias.${\textstyle \sum _{i=\ell }^{n}\sum _{j=m}^{k}a_{i,j}}$. Considerando que el rango de ambas notaciones sigma es el mismo, las notaciones dobles sigma se pueden encapsular en una sola notación, por lo que la doble suma se reescribe como${\textstyle \sum _{i=m}^{n}\sum _{j=m}^{n}a_{i,j}=\sum _{i,j=m}^{n}a_{i,j}}$. ^{[ 9 ]}

El términoEn ocasiones, se utiliza el término «serie finita» al hablar de la suma presentada anteriormente. A diferencia de laserie infinita, el límite superior tiende ainfinito.${\textstyle \sum _{i=m}^{\infty }a_{i}}$, lo que resulta en convergencia si hay un resultado de la suma, o divergencia en caso contrario. La cota en la notación sigma de la serie infinita puede denotarse alternativamente como${\textstyle \sum _{i\geq 0}a_{i}}$. ^{[ 9 ]}

De manera similar, se utiliza una notación parecida para el producto de una secuencia , donde${\textstyle \prod }$, una forma ampliada de la letra mayúscula griega pi , se utiliza en lugar de${\textstyle \sum }$. ^{[ 10 ]}

Es posible sumar menos de 2 números:

• Si la suma tiene un sumando${\displaystyle x}$, entonces la suma evaluada es${\displaystyle x}$.
• Si la suma no tiene sumandos, entonces la suma evaluada es cero , porque cero es el elemento neutro de la suma. Esto se conoce como suma vacía .

Estos casos degenerados generalmente solo se utilizan cuando la notación de sumatoria da un resultado degenerado en un caso especial. Por ejemplo, si${\displaystyle n=m}$En la definición anterior, entonces solo hay un término en la suma; si${\displaystyle n=m-1}$, entonces no hay ninguno.

La expresión «suma algebraica» se refiere a la suma de términos que pueden tener signos positivos o negativos. Los términos con signo positivo se suman, mientras que los términos con signo negativo se restan.

El origen de la notación de sumatoria se remonta a 1675, cuando Gottfried Wilhelm Leibniz , en una carta a Henry Oldenburg , sugirió el símbolo.${\textstyle \int }$para marcar la suma de diferenciales ( en latín : calculus summatorius ), de ahí la forma de S. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} El cambio de nombre de este símbolo a integral surgió más tarde en intercambios con Johann Bernoulli . ^{[ 13 ]} En 1755, el símbolo de sumatoria Σ se atestigua en Institutiones calculi differentialis de Leonhard Euler . ^{[ 14 ] [ 15 ]} Euler usa el símbolo en expresiones como${\estilo de texto \sum (2wx+w^{2})=x^{2}}$El uso de la notación sigma fue atestiguado más tarde por matemáticos como Lagrange , quien denotó${\textstyle \sum }$y${\textstyle \sum ^{n}}$en 1772. ^{[ 14 ] [ 16 ]} Fourier y CGJ Jacobi también denotaron la notación sigma en 1829, ^{[ 14 ]} pero Fourier incluyó límites inferiores y superiores como en${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Aparte de la notación sigma, la letra mayúscula S está documentada como símbolo de sumatoria para series en 1823, que aparentemente estaba muy extendida. ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( distributividad ) ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( conmutatividad y asociatividad ) ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(desplazamiento de índice)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$para una biyección σ de un conjunto finito A sobre un conjunto B (cambio de índice); esto generaliza la fórmula anterior.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(Dividir una suma, utilizando la asociatividad )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$(una variante de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$(la suma desde el primer término hasta el último es igual a la suma desde el último hasta el primero)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$(un caso particular de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$(conmutatividad y asociatividad, de nuevo)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$(otra aplicación de la conmutatividad y la asociatividad)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares , para índices pares)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares, para índices impares)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$(El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus factores).

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$(La exponencial de una suma es el producto de las exponenciales de los sumandos)

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$para cualquier función${\textstyle f}$de${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$para cada c que no depende de i

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(Suma de la progresión aritmética más simple , que consta de los primeros n números naturales.) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$(Suma de los primeros números naturales impares)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$(Suma de los primeros números naturales pares)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log(n!)\qquad }$(La suma de logaritmos es el logaritmo del producto)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(Suma de los primeros cuadrados , véase número piramidal cuadrado .) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( Teorema de Nicómaco ) ^{[ 19 ] : 52}

De manera más general, se tiene la fórmula de Faulhaber para${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

dónde${\displaystyle B_{k}}$denota un número de Bernoulli y${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$es un coeficiente binomial .

En las siguientes sumas, se supone que a es diferente de 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(suma de una progresión geométrica )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(caso especial para a = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( a veces la derivada con respecto a a de la progresión geométrica)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(suma de una sucesión aritmético-geométrica )

Existen muchísimas identidades de sumatoria que involucran coeficientes binomiales (un capítulo entero de Matemáticas Concretas está dedicado solo a las técnicas básicas). Algunas de las más básicas son las siguientes.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$( el enésimo número armónico )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{(k)}\quad }$(un número armónico generalizado )