espacio ba

Sea B(Σ) el espacio de funciones Σ-medibles acotadas, equipado con la norma uniforme . Entonces ba (Σ) = B(Σ)* es el espacio dual continuo de B(Σ). Esto se debe a Hildebrandt ^{[ 4 ]} y Fichtenholtz y Kantorovich. ^{[ 5 ]} Este es un tipo de teorema de representación de Riesz que permite que una medida se represente como un funcional lineal sobre funciones medibles. En particular, este isomorfismo permite definir la integral con respecto a una medida finitamente aditiva (nótese que la integral de Lebesgue usual requiere aditividad numerable ). Esto se debe a Dunford y Schwartz, ^{[ 6 ]} y se usa a menudo para definir la integral con respecto a medidas vectoriales , ^{[ 7 ]} y especialmente medidas de Radon con valores vectoriales .

La dualidad topológica ba (Σ) = B(Σ)* es fácil de ver. Existe una dualidad algebraica obvia entre el espacio vectorial de todas las medidas finitamente aditivas σ en Σ y el espacio vectorial de funciones simples (${\displaystyle \mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$). Es fácil comprobar que la forma lineal inducida por σ es continua en la norma del supremo si σ está acotada, y el resultado se deduce ya que una forma lineal en el subespacio denso de funciones simples se extiende a un elemento de B(Σ)* si es continua en la norma del supremo.

Si Σ es un álgebra sigma y μ es una medida positiva sigma-aditiva en Σ, entonces el espacio Lp L ^∞ ( μ ) dotado de la norma suprema esencial es, por definición, el espacio cociente de B(Σ) por el subespacio cerrado de funciones μ -nulas acotadas :

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-casi en todas partes}}\}.}$

El espacio de Banach dual L ^∞ ( μ )* es, por lo tanto, isomorfo a

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ para cualquier }}A\in \Sigma \},}$

es decir, el espacio de medidas con signo finitamente aditivas en Σ que son absolutamente continuas con respecto a μ ( μ -ac para abreviar).

Cuando el espacio de medidas es además sigma-finito, entonces L ^∞ ( μ ) es a su vez dual a L ¹ ( μ ), que por el teorema de Radon-Nikodym se identifica con el conjunto de todas las medidas μ -ac numerables aditivas . En otras palabras, la inclusión en el bidual

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

es isomorfo a la inclusión del espacio de medidas acotadas μ -ac numerablemente aditivas dentro del espacio de todas las medidas acotadas μ -ac finitamente aditivas.