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argumento del cubo

El argumento del cubo giratorio de Isaac Newton (también conocido como el cubo de Newton ) es un experimento mental diseñado para demostrar que el movimiento de rotación verdade...

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El argumento del cubo giratorio de Isaac Newton (también conocido como el cubo de Newton ) es un experimento mental diseñado para demostrar que el movimiento de rotación verdadero no puede definirse como la rotación relativa del cuerpo con respecto a los cuerpos que lo rodean inmediatamente. Es uno de los cinco argumentos de las "propiedades, causas y efectos" del "movimiento y reposo verdaderos" que respaldan su afirmación de que, en general, el movimiento y el reposo verdaderos no pueden definirse como casos especiales de movimiento o reposo relativos a otros cuerpos, sino que solo pueden definirse en referencia al espacio absoluto . Alternativamente, estos experimentos proporcionan una definición operativa de lo que se entiende por " rotación absoluta " y no pretenden abordar la cuestión de "¿rotación relativa a qué ?". [ 1 ] La relatividad general prescinde del espacio absoluto y de la física cuya causa es externa al sistema, con el concepto de geodésicas del espacio-tiempo . [ 2 ]

Fondo

Estos argumentos, y una discusión sobre las distinciones entre tiempo, espacio, lugar y movimiento absolutos y relativos, aparecen en un escolio al final de las secciones de Definiciones en el Libro I de la obra de Newton, Los principios matemáticos de la filosofía natural (1687) (que no debe confundirse con el Escolio general al final del Libro III), que estableció los fundamentos de la mecánica clásica e introdujo su ley de gravitación universal , que proporcionó la primera explicación dinámica cuantitativamente adecuada del movimiento planetario . [ 3 ]

A pesar de su aceptación del principio de inercia rectilínea y el reconocimiento de la relatividad cinemática del movimiento aparente (que subyace a la cuestión de si el sistema ptolemaico o el copernicano es correcto), los filósofos naturales del siglo XVII continuaron considerando el movimiento y el reposo reales como descriptores físicamente separados de un cuerpo individual. La visión dominante a la que Newton se opuso fue ideada por René Descartes y apoyada (en parte) por Gottfried Leibniz . Esta visión sostenía que el espacio vacío es una imposibilidad metafísica porque el espacio no es otra cosa que la extensión de la materia, o, dicho de otro modo, que cuando se habla del espacio entre las cosas, en realidad se hace referencia a la relación que existe entre ellas y no a alguna entidad que se interpone entre ellas. [ 4 ] [ 5 ] De acuerdo con el entendimiento anterior, cualquier afirmación sobre el movimiento de un cuerpo se reduce a una descripción en el tiempo en la que el cuerpo en consideración se encuentra en t 1 en las proximidades de un grupo de cuerpos "de referencia" y en algún t 2 se encuentra en las proximidades de algún otro cuerpo o cuerpos "de referencia". [ 6 ] [ 7 ]

Detección de rotación: se activan indicadores rojos en los brazos flexibles cuando alguno de los objetos gira. A: El objeto central gira. B: El anillo exterior gira, pero en sentido contrario. C: Ambos giran, pero en sentidos opuestos. D: Ambos están bloqueados y giran en el mismo sentido.

Descartes reconoció que existiría una diferencia real entre una situación en la que un cuerpo con partes móviles, inicialmente en reposo respecto a un anillo circundante, se acelera a cierta velocidad angular con respecto a dicho anillo, y otra situación en la que el anillo circundante recibe una aceleración contraria con respecto al objeto central. Si se consideraran únicamente el objeto central y el anillo circundante, los movimientos serían indistinguibles, suponiendo que ambos fueran objetos absolutamente rígidos. Sin embargo, si ni el objeto central ni el anillo circundante fueran absolutamente rígidos, las partes de uno o ambos tenderían a alejarse del eje de rotación.

Por razones contingentes relacionadas con la Inquisición , Descartes habló del movimiento como absoluto y relativo. [ 8 ]

A finales del siglo XIX, se reintrodujo la idea de que todo movimiento es relativo , en particular por Ernst Mach (alemán, 1883; traducción al inglés, 1893). [ 9 ] [ 10 ]

Cuando, por consiguiente, decimos que un cuerpo conserva inalterada su dirección y velocidad en el espacio , nuestra afirmación no es ni más ni menos que una referencia abreviada a todo el universo .

— Ernst Mach en la pág. 233 de La ciencia de la mecánica ; también citado por Ciufolini y Wheeler : Gravitación e inercia en la pág. 387.

El argumento

Newton describe un cubo ( en latín : situla ) lleno de agua colgado de una cuerda. [ 11 ] Si la cuerda se retuerce fuertemente sobre sí misma y luego se suelta el cubo, este comienza a girar rápidamente, no solo con respecto al experimentador, sino también en relación con el agua que contiene , una situación que corresponde al diagrama B anterior.

Aunque el movimiento relativo en esta etapa es máximo, la superficie del agua permanece plana, lo que indica que las partes del agua no tienen tendencia a alejarse del eje de movimiento relativo, a pesar de su proximidad al cubo. Finalmente, a medida que la cuerda continúa desenrollándose, la superficie del agua adquiere una forma cóncava al adquirir el movimiento del cubo que gira con respecto al experimentador. Esta forma cóncava muestra que el agua está rotando, a pesar de que se encuentra en reposo con respecto al cubo. En otras palabras, no es el movimiento relativo del cubo y el agua lo que causa la concavidad del agua, contrariamente a la idea de que los movimientos solo pueden ser relativos y que no existe el movimiento absoluto , situación que corresponde al diagrama D anterior. Posiblemente la concavidad del agua muestre rotación con respecto a algo más : ¿quizás el espacio absoluto? Newton dice: «Se puede averiguar y medir el movimiento circular verdadero y absoluto del agua». [ 12 ]

En la traducción de Andrew Motte de 1846 de las palabras de Newton: [ 13 ]

Si un recipiente, suspendido de una cuerda larga, gira tantas veces que la cuerda se retuerce fuertemente, luego se llena de agua y se mantiene en reposo junto con el agua; después, por la acción repentina de otra fuerza, gira en sentido contrario, y mientras la cuerda se desenreda, el recipiente continúa este movimiento durante algún tiempo; la superficie del agua estará al principio lisa, como antes de que el recipiente comenzara a moverse; pero el recipiente, al comunicar gradualmente su movimiento al agua, hará que esta comience a girar perceptiblemente, retrocediendo poco a poco y ascendiendo hacia los lados del recipiente, formando una figura cóncava... Este ascenso del agua muestra su intento de alejarse del eje de su movimiento; y el movimiento circular verdadero y absoluto del agua, que aquí es directamente contrario al relativo, se revela y puede medirse mediante este intento. ... Y por lo tanto, este intento no depende de ninguna traslación del agua con respecto a los cuerpos circundantes, ni puede definirse el movimiento circular verdadero mediante tal traslación. ...; Pero los movimientos relativos... carecen por completo de efecto real. ... En efecto, resulta sumamente difícil descubrir y distinguir eficazmente los movimientos verdaderos de los cuerpos particulares de los aparentes; porque las partes de ese espacio inmóvil en las que se producen estos movimientos no están, en absoluto, bajo la observación de nuestros sentidos.

—Isaac Newton; Principia , Libro 1: Escolio

El argumento de que el movimiento es absoluto, no relativo, es incompleto, ya que limita los participantes relevantes para el experimento únicamente al cubo y al agua, una limitación que no se ha establecido. De hecho, la concavidad del agua implica claramente la atracción gravitatoria, y por implicación la Tierra también participa. He aquí una crítica de Mach que argumenta que solo se establece el movimiento relativo: [ 14 ]

El experimento de Newton con el recipiente giratorio de agua simplemente nos informa de que la rotación relativa del agua con respecto a las paredes del recipiente no produce fuerzas centrífugas apreciables, sino que dichas fuerzas son producidas por sus rotaciones relativas con respecto a la masa de la Tierra y otros cuerpos celestes.

— Ernst Mach, citado por L. Bouquiaux en Leibniz , p. 104

El grado de integración de la hipótesis de Mach en la relatividad general se analiza en el artículo " El principio de Mach" ; en general, se considera que la relatividad general no es completamente machiana.

Todos los observadores coinciden en que la superficie del agua en rotación es curva. Sin embargo, la explicación de esta curvatura implica la fuerza centrífuga para todos los observadores, con la excepción de un observador verdaderamente estacionario, quien encuentra que la curvatura es consistente con la velocidad de rotación del agua tal como la observa, sin necesidad de una fuerza centrífuga adicional. Por lo tanto, se puede identificar un sistema de referencia estacionario, y no es necesario preguntar "¿Estacionario con respecto a qué?".

La pregunta original, "¿en relación a qué marco de referencia se aplican las leyes del movimiento?", resulta estar mal planteada. Pues las leyes del movimiento determinan esencialmente una clase de marcos de referencia y (en principio) un procedimiento para construirlos. [ 15 ]

Newton también propuso un experimento mental complementario con el mismo objetivo de determinar la ocurrencia de rotación absoluta: el ejemplo de observar dos esferas idénticas girando alrededor de su centro de gravedad y unidas por una cuerda. La aparición de tensión en la cuerda indica rotación absoluta; véase Esferas giratorias .

Análisis detallado

La interfaz de dos líquidos inmiscibles que giran alrededor de un eje vertical es un paraboloide circular que se abre hacia arriba.

El interés histórico del experimento del cubo giratorio radica en su utilidad para sugerir que se puede detectar la rotación absoluta observando la forma de la superficie del agua. Sin embargo, cabe preguntarse cómo se produce exactamente este cambio con la rotación. A continuación, se presentan dos enfoques para comprender la concavidad de la superficie del agua en rotación dentro de un cubo.

Diagrama de fuerzas para un elemento de superficie de agua en un sistema de referencia corrotante. Arriba : Sección radial y punto seleccionado en la superficie del agua; el agua, el sistema de referencia corrotante y la sección radial comparten una velocidad angular constante dada por el vector Ω . Abajo : Diagrama de fuerzas en un punto seleccionado de la superficie. La pendiente de la superficie se ajusta para que la suma de las tres fuerzas sea cero.

Leyes del movimiento de Newton

La forma de la superficie de un líquido giratorio en un cubo se puede determinar utilizando las leyes de Newton para las diversas fuerzas sobre un elemento de la superficie. Por ejemplo, véase Knudsen y Hjorth. [ 16 ] El análisis comienza con el diagrama de cuerpo libre en el sistema de referencia corrotante donde el agua parece estacionaria. La altura del agua h = h ( r ) es una función de la distancia radial r desde el eje de rotación Ω , y el objetivo es determinar esta función. Se muestra que un elemento de volumen de agua en la superficie está sujeto a tres fuerzas: la fuerza vertical debida a la gravedad F g , la fuerza centrífuga horizontal, radialmente hacia afuera F Cfgl , y la fuerza normal a la superficie del agua F n debida al resto del agua que rodea el elemento de superficie seleccionado. Se sabe que la fuerza debida al agua circundante es normal a la superficie del agua porque un líquido en equilibrio no puede soportar esfuerzos cortantes . [ 17 ] Para citar a Anthony y Brackett: [ 18 ]

La superficie de un fluido de densidad uniforme, si está en reposo, es perpendicular a las líneas de fuerza en todos los puntos; pues, de no ser así, la fuerza en un punto de la superficie podría descomponerse en dos componentes: una perpendicular y otra tangente a la superficie. Sin embargo, por la naturaleza del fluido, la fuerza tangencial provocaría un movimiento del mismo, lo cual contradice la afirmación de que el fluido está en reposo.

— William Arnold Anthony y Cyrus Fogg Brackett: Libro de texto elemental de física , pág. 127

Además, dado que el elemento de agua no se mueve, la suma de las tres fuerzas debe ser cero. Para que la suma sea cero, la fuerza del agua debe apuntar en sentido opuesto a la suma de las fuerzas centrífuga y gravitatoria, lo que significa que la superficie del agua debe ajustarse de manera que su normal apunte en esta dirección. (Un problema muy similar es el diseño de una curva peraltada , donde la pendiente de la curva se ajusta para que un automóvil no se salga de la carretera. La analogía en el caso de un cubo giratorio es que el elemento de la superficie del agua se "deslizará" hacia arriba o hacia abajo a menos que la normal a la superficie se alinee con el vector resultante formado por la suma vectorial F g + F Cfgl ).

A medida que r aumenta, la fuerza centrífuga aumenta según la relación (las ecuaciones están escritas por unidad de masa):

FdoFgramol=metroΩ2r ,{\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=m\Omega ^{2}r\ ,}

donde Ω es la velocidad constante de rotación del agua. La fuerza gravitatoria no cambia en

Fgramo=metrogramo ,{\displaystyle F_{\mathrm {g} }=mg\ ,}

donde g es la aceleración debida a la gravedad . Estas dos fuerzas se suman para formar una resultante con un ángulo φ respecto a la vertical dada por

broncearse⁡φ=FdoFgramolFgramo=Ω2rgramo ,{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {F_{\mathrm {Cfgl} }}{F_{\mathrm {g} }}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}

que claramente se hace más grande a medida que r aumenta. Para asegurar que esta resultante sea normal a la superficie del agua y, por lo tanto, pueda ser efectivamente anulada por la fuerza del agua que se encuentra debajo, la normal a la superficie debe tener el mismo ángulo, es decir,

broncearse⁡φ=dhdr ,{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}\ ,}

lo que conduce a la ecuación diferencial ordinaria para la forma de la superficie:

dhdr=Ω2rgramo ,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}

o bien, integrando:

h(r)=h(0)+12gramo(Ωr)2 ,{\displaystyle h(r)=h(0)+{\frac {1}{2g}}\left(\Omega r\right)^{2}\ ,}

donde h (0) es la altura del agua en r = 0. En otras palabras, la superficie del agua es parabólica en su dependencia del radio.

Energía potencial

La forma de la superficie del agua se puede encontrar de una manera diferente y muy intuitiva utilizando la interesante idea de la energía potencial asociada con la fuerza centrífuga en el sistema de referencia corrotante. En un sistema de referencia que gira uniformemente a una velocidad angular Ω, la fuerza centrífuga ficticia es conservativa y tiene una energía potencial de la forma: [ 19 ] [ 20 ]

UdoFgramol=−12metroΩ2r2 ,{\displaystyle {U}_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {1}{2}}m\Omega ^{2}r^{2}\ ,}

donde r es el radio desde el eje de rotación. Este resultado se puede verificar tomando el gradiente del potencial para obtener la fuerza radial hacia afuera:

FdoFgramol=−∂∂rUdoFgramol{\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {\partial }{\partial r}}{U}_{\mathrm {Cfgl} }}=metroΩ2r .{\displaystyle =m\Omega ^{2}r\ .}

El significado de la energía potencial (trabajo almacenado) radica en que el movimiento de un cuerpo de prueba desde un radio mayor a uno menor implica realizar trabajo contra la fuerza centrífuga y, por lo tanto, ganar energía potencial. Sin embargo, este cuerpo de prueba, al estar en el radio menor y tener menor altura, ha perdido una energía potencial gravitatoria equivalente.

La energía potencial explica, por lo tanto, la concavidad de la superficie del agua en un cubo giratorio. Nótese que, en equilibrio , la superficie adopta una forma tal que un elemento de volumen en cualquier punto de su superficie tiene la misma energía potencial que en cualquier otro. Siendo así, ningún elemento de agua en la superficie tiene incentivo alguno para cambiar de posición, ya que todas las posiciones son equivalentes en energía. Es decir, se alcanza el equilibrio. Por otro lado, si hubiera regiones superficiales con menor energía disponibles, el agua que ocupa las zonas superficiales con mayor energía potencial se desplazaría hacia estas posiciones de menor energía, puesto que no existe ninguna barrera al movimiento lateral en un líquido ideal.

Podríamos imaginar que perturbamos deliberadamente esta situación de equilibrio alterando momentáneamente la forma de la superficie del agua para que sea diferente de una superficie de energía constante. Este cambio de forma no sería estable, y el agua no mantendría la forma artificialmente creada, sino que exploraría transitoriamente diversas formas hasta que las fuerzas de fricción no ideales, introducidas por el chapoteo, ya sea contra las paredes del cubo o por la naturaleza no ideal del líquido, detuvieran las oscilaciones y el agua se estabilizara en la forma de equilibrio.

Para observar el principio de una superficie de energía uniforme, imaginemos que aumentamos gradualmente la velocidad de rotación del cubo desde cero. La superficie del agua es plana al principio y, claramente, una superficie de energía potencial uniforme, ya que todos los puntos de la superficie se encuentran a la misma altura en el campo gravitatorio que actúa sobre el agua. Sin embargo, a una pequeña velocidad angular de rotación, un elemento de la superficie del agua puede alcanzar una menor energía potencial al desplazarse hacia afuera bajo la influencia de la fuerza centrífuga; pensemos en un objeto que se mueve con la fuerza de la gravedad acercándose al centro de la Tierra: el objeto disminuye su energía potencial al ceder ante una fuerza. Dado que el agua es incompresible y debe permanecer dentro de los límites del cubo, este movimiento hacia afuera aumenta la profundidad del agua en el radio mayor, incrementando la altura de la superficie en el radio mayor y disminuyéndola en el radio menor. La superficie del agua se vuelve ligeramente cóncava, con la consecuencia de que la energía potencial del agua en el radio mayor aumenta debido al trabajo realizado contra la gravedad para alcanzar la mayor altura. A medida que aumenta la altura del agua, el movimiento hacia la periferia deja de ser ventajoso, ya que la reducción de la energía potencial derivada de la fuerza centrífuga se equilibra con el aumento de la energía que actúa contra la gravedad. Por lo tanto, a una velocidad angular de rotación determinada, una superficie cóncava representa la situación estable, y cuanto más rápida sea la rotación, más cóncava será dicha superficie. Si se detiene la rotación, la energía almacenada en la formación de la superficie cóncava debe disiparse, por ejemplo, mediante la fricción, antes de que se restablezca una superficie plana en equilibrio.

Para implementar cuantitativamente una superficie de energía potencial constante, sea la altura del agua.h(r){\displaystyle h(r)\,}: entonces la energía potencial por unidad de masa aportada por la gravedad esgramoh(r) {\displaystyle gh(r)\ }y la energía potencial total por unidad de masa en la superficie es

U=U0+gramoh(r)−12Ω2r2{\displaystyle {U}={U}_{0}+gh(r)-{\frac {1}{2}}\Omega ^{2}r^{2}\,}

conU0{\displaystyle {U}_{0}}El nivel de energía de fondo es independiente de r . En una situación estática (sin movimiento del fluido en el sistema de referencia giratorio), esta energía es constante e independiente de la posición r . Al exigir que la energía sea constante, obtenemos la forma parabólica :

h(r)=Ω22gramor2+h(0) ,{\displaystyle h(r)={\frac {\Omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h(0)\ ,}

donde h (0) es la altura en r = 0 (el eje). Véanse las figuras 1 y 2.

El principio de funcionamiento de la centrífuga también puede entenderse simplemente en términos de esta expresión para la energía potencial, que muestra que es energéticamente favorable cuando el volumen alejado del eje de rotación está ocupado por la sustancia más pesada.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Disalle, Robert (2002). Cohen, I. Bernard ; Smith, George E. (eds.). The Cambridge Companion to Newton . Cambridge University Press. pág.  43. ISBN 0-521-65696-6.
  2. ↑ Gilson, James G. (1 de septiembre de 2004), Principio de Mach II , arXiv : physics/0409010 , Bibcode : 2004physics...9010G
  3. ↑ Véase laen línea de los Principia de Andrew Motte , págs. 77–82.
  4. ↑ Descartes, René (1988). Descartes: Escritos filosóficos selectos . Traducido por Cottingham, John. Cambridge University Press. pág. 191. ISBN  0-521-35812-4.
  5. ↑ Alexandre Koyre (1957). Del mundo cerrado al universo infinito . Libros olvidados. pág. 75. ISBN  1-60620-143-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  6. ↑ René Descartes (1664). Principia Philosophiae . Parte II, §25.
  7. ↑ Daniel Garber (1992). La física metafísica de Descartes . University of Chicago Press. pág. 170. ISBN  0-226-28219-8.
  8. ↑ Robert Disalle (2006). Comprender el espacio-tiempo: El desarrollo filosófico de la física desde Newton hasta Einstein . Cambridge University Press. pág. 19. ISBN  0-521-85790-2.
  9. ↑ Ernst Mach. La ciencia de la mecánica (2.ª ed.). The Open Court Publishing Company. pág. 233.  
  10. ^ Ignazio Ciufolini, John Archibald Wheeler (1995). Gravitación e Inercia . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 386–387 . ISBN  0-691-03323-4.
  11. ↑ Para un análisis del argumento original de Newton, véase Max Born y Günther Leibfried (enero de 1962). La teoría de la relatividad de Einstein . Nueva York: Courier Dover Publications. págs. 78-79 . ISBN  0-486-60769-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  12. ↑ Robert Disalle (25 de abril de 2002). "El análisis filosófico de Newton sobre el espacio y el tiempo" . En I. Bernard Cohen , George Edwin Smith (ed.).op. cit.Cambridge University Press. pág.  45. ISBN 0-521-65696-6.
  13. ↑ Véase laen línea de los Principia en Andrew Motte, págs. 79-81.
  14. ^ Bouquiaux, L. (2008). Dascal, Marcelo (ed.). Leibniz . Saltador. pag. 104.ISBN​  978-1-4020-8667-0.
  15. ↑ Robert DiSalle (verano de 2002). "Espacio y tiempo: marcos inerciales". En Edward N. Zalta (ed.). La enciclopedia de filosofía de Stanford . Laboratorio de investigación en metafísica, Universidad de Stanford.
  16. ^ Jens M. Knudsen, Poul G. Hjorth (2000). Elementos de la mecánica newtoniana (3ª ed.). Saltador. pag. 143.ISBN​   3-540-67652-X.
  17. ↑ Lawrence S. Lerner (1997). Física para científicos e ingenieros . Jones & Bartlett. pág. 404. ISBN  0-86720-479-6.
  18. ↑ William Arnold Anthony y Cyrus Fogg Brackett (1884). Libro de texto elemental de física . Wiley. pág. 127. Ley de Pascal. 
  19. ↑ Robert Daniel Carmichael (1920). La teoría de la relatividad . John Wiley & Sons. pág. 78. Potencial ficticio de Christoffel. 
  20. ↑ Hans J. Weber y George B. Arfken (2003). Métodos matemáticos esenciales para físicos . Academic Press. pág. 79. ISBN  0-12-059877-9.

Lecturas adicionales

  • Brian Greene (2004). «Capítulo 2, El universo y el cubo». El tejido del cosmos: espacio, tiempo y textura de la realidad . AA Knopf. ISBN 0-375-41288-3.
  • La isotropía de la radiación cósmica de fondo de microondas es otro indicador de que el universo no rota. Véase:
    • RB Partridge (1995). 3 K: La radiación cósmica de fondo de microondas . Cambridge University Press. págs. 279–280 . ISBN  0-521-35254-1.
    • D. Lynden-Bell (1996). Astrofísica relativista (Igor' Dmitrievich Novikov, Bernard Jean Trefor Jones, Draza Marković (editores)  ed.). Cambridge University Press. p.  167. ISBN 0-521-62113-5.
    • Ralph A. Alpher y Robert Herman (1975). Cosmología del Big Bang y la radiación cósmica del cuerpo negro (en Proc. Am. Philos. Soc. vol. 119, n.º 5 (1975),  ed.). American Philosophical Society. págs. 325–348 . ISBN  9781422371077.
  • Las ideas de Newton sobre el espacio, el tiempo y el movimiento, extraídas de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford, artículo de Robert Rynasiewicz. Al final del artículo, se analiza la pérdida de matices en las traducciones en comparación con el texto original en latín.
  • Vida y filosofía de Leibniz: véase la sección sobre Espacio, tiempo e indiscernibles, donde Leibniz argumenta en contra de la idea de que el espacio actúe como agente causal.
  • Cubo de Newton: Una aplicación interactiva que ilustra la forma del agua, y un archivo PDF adjunto con una derivación matemática de un modelo de la forma del agua más completo que el que se presenta en este artículo.