Categoría monoide trenzada

En matemáticas , una restricción de conmutatividad $\gamma$ en una categoría monoide ${\mathcal {C}}$ es una elección de isomorfismo $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ para cada par de objetos A y B que forman una familia natural . En particular, para tener una restricción de conmutatividad, se debe tener $A\otimes B\cong B\otimes A$ para todos los pares de objetos $A,B\in {\mathcal {C}}$ .

Una categoría monoidal trenzada es una categoría monoidal. ${\mathcal {C}}$ equipado con un trenzado —es decir, una restricción de conmutatividad— $\gamma$ que satisface axiomas incluyendo las identidades hexagonales definidas más adelante. El término trenzado hace referencia al hecho de que el grupo de trenzas juega un papel importante en la teoría de las categorías monoidales trenzadas. En parte por esta razón, las categorías monoidales trenzadas y otros temas están relacionados en la teoría de los invariantes de nudos .

Alternativamente, una categoría monoide trenzada puede verse como una tricategoría con una celda 0 y una celda 1.

Las categorías monoidales trenzadas fueron introducidas por André Joyal y Ross Street en una preimpresión de 1986. ^{[ 1 ]} Una versión modificada de este artículo se publicó en 1993. ^{[ 2 ]}

Las identidades del hexágono

Para ${\mathcal {C}}$ junto con la restricción de conmutatividad $\gamma$ Para ser considerada una categoría monoidal trenzada, los siguientes diagramas hexagonales deben conmutar para todos los objetos. $A,B,C\in {\mathcal {C}}$ . Aquí $\alpha$ es el isomorfismo asociativo que proviene de la estructura monoide en ${\mathcal {C}}$ :

Propiedades

Coherencia

Se puede demostrar que el isomorfismo natural $\gamma$ junto con los mapas $\alpha ,\lambda ,\rho$ proveniente de la estructura monoide en la categoría ${\mathcal {C}}$ , satisfacen diversas condiciones de coherencia , que establecen que diversas composiciones de mapas de estructura son iguales. En particular:

El trenzado conmuta con las unidades. Es decir, el siguiente diagrama conmuta:

La acción de $\gamma$ en un $N$ Factores de producto tensorial de -pliegue a través del grupo de trenzas . En particular,

$(\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})$

como mapas $A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A$ Aquí hemos omitido los mapas asociativos.

Variaciones

Existen diversas variantes de categorías monoidales trenzadas que se utilizan en distintos contextos. Véase, por ejemplo, el artículo divulgativo de Savage (2009) para una explicación de las categorías monoidales simétricas y de coborde, y el libro de Chari y Pressley (1995) para las categorías de cinta.

Categorías monoidales simétricas

Una categoría monoidal trenzada se llama simétrica si $\gamma$ también satisface $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$ para todos los pares de objetos $A$ y $B$ . En este caso la acción de $\gamma$ en un $N$ Factores de producto tensorial de orden -múltiple a través del grupo simétrico .

Categorías de cinta

Una categoría monoidal trenzada es una categoría de cinta si es rígida y puede preservar la traza cuántica y la traza cocuántica. Las categorías de cinta son particularmente útiles para construir invariantes de nudos .

Categorías monoidales cofronterizas

Una categoría monoide cofronteriza o “cactus” es una categoría monoide. $(C,\otimes ,{\text{Id}})$ junto con una familia de isomorfismos naturales $\gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A$ con las siguientes propiedades:

$\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$ para todos los pares de objetos $A$ y $B$ .
$\gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})$

La primera propiedad nos muestra que $\gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}$ , lo que nos permite omitir el análogo al segundo diagrama definitorio de una categoría monoidal trenzada e ignorar los mapas asociativos como implícitos.

Ejemplos

La categoría de representaciones de un grupo (o un álgebra de Lie ) es una categoría monoidal simétrica donde $\gamma (v\otimes w)=w\otimes v$ .
La categoría de representaciones de un álgebra envolvente universal cuantizada $U_{q}({\mathfrak {g}})$ es una categoría monoide trenzada, donde $\gamma$ Se construye utilizando la matriz R universal . De hecho, este ejemplo también es una categoría de cinta.

Aplicaciones

Invariantes de nudos .
Las categorías monoidales cerradas simétricas se utilizan en modelos denotacionales de lógica lineal y tipos lineales .
Descripción y clasificación de sistemas cuánticos con orden topológico.

Referencias

↑ André Joyal; Ross Street (noviembre de 1986), "Categorías monoidales trenzadas" (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)
↑ André Joyal; Ross Street (1993), "Categorías tensoriales trenzadas", Advances in Mathematics , 102 : 20–78 , doi : 10.1006/aima.1993.1055

Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew. "Una guía de grupos cuánticos". Cambridge University Press. 1995.
Savage, Alistair. Categorías monoidales trenzadas y cofronterizas. Álgebras, representaciones y aplicaciones, 229–251, Contemp. Math., 483, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009. Disponible en arXiv.

Enlaces externos

Categoría monoide trenzada en el Laboratorio n
John Baez (1999), Una introducción a las categorías monoidales trenzadas , Hallazgos de esta semana en física matemática 137.

[1] André Joyal; Ross Street (noviembre de 1986), "Categorías monoidales trenzadas" (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)

[2] André Joyal; Ross Street (1993), "Categorías tensoriales trenzadas", Advances in Mathematics , 102 : 20–78 , doi : 10.1006/aima.1993.1055

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