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Coherencia (teoría de la homotopía)

En matemáticas , específicamente en la teoría de la homotopía y la teoría de categorías (superiores) , la coherencia es el estándar que deben satisfacer las igualdades o los dia...

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En matemáticas , específicamente en la teoría de la homotopía y la teoría de categorías (superiores) , la coherencia es el estándar que deben satisfacer las igualdades o los diagramas cuando se cumplen " salvo homotopía " o "salvo isomorfismo ".

A menudo, puede considerarse "natural" que exista más de una forma de definir una correspondencia entre objetos matemáticos. Entonces surge la pregunta: ¿cuál elegir? La coherencia implica que no importa cuál se elija, ya que todas las definiciones alternativas son equivalentes. Esta equivalencia suele manifestarse en un diagrama conmutativo .

Los adjetivos como "pseudo-" y "laxo-" se utilizan para referirse al hecho de que las igualdades se debilitan de forma coherente; por ejemplo, pseudofunctor , pseudoálgebra .

isomorfismo coherente

En ciertas situaciones, es necesario elegir isomorfismos de forma coherente. A menudo, esto se logra seleccionando isomorfismos canónicos . Sin embargo, en algunos casos, como en los preapilamientos , puede haber varios isomorfismos canónicos y no siempre resulta obvio elegir uno entre ellos.

En la práctica, los isomorfismos coherentes surgen al debilitar las igualdades; por ejemplo, la asociatividad estricta puede ser reemplazada por la asociatividad a través de isomorfismos coherentes. Por ejemplo, mediante este proceso, se obtiene la noción de 2-categoría débil a partir de la de 2-categoría estricta .

La sustitución de isomorfismos coherentes por igualdades se suele denominar estricción o rectificación.

Débil de 2 categorías

En una 2-categoría débil, la composición de 1-morfismos no satisface la asociatividad como una ecuación; sin embargo, para cada tripleteA⟶FB⟶gramodo⟶hD{\displaystyle A\mathrel {\stackrel {f}{\longrightarrow }} B\mathrel {\stackrel {g}{\longrightarrow }} C\mathrel {\stackrel {h}{\longrightarrow }} D}, hay 2-morfismos

enB(A,D){\displaystyle {\mathcal {B}}(A,D)}Esto se denomina isomorfismos de coherencia asociativa . [ 1 ] [ 2 ]

Para cada 1-celdaA⟶FB{\displaystyle A\mathrel {\stackrel {f}{\longrightarrow }} B}isomorfismo

enB(A,B){\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}Esto se denomina isomorfismos de coherencia unitaria . [ 1 ]

Condición de coherencia

Una condición de coherencia es un conjunto de condiciones que exigen que diversas composiciones de morfismos elementales sean iguales. Normalmente, los morfismos elementales forman parte de los datos de la categoría y las condiciones de coherencia aparecen como condiciones en las definiciones. Un teorema de coherencia establece que, para garantizar que se cumplen todas estas igualdades, basta con comprobar un pequeño número de identidades.

Parte de los datos de una categoría monoidal es un morfismo elegido. αA,B,do{\displaystyle \alpha _{A,B,C}}, llamado el asociador :

αA,B,do:(A⊗B)⊗do→A⊗(B⊗do){\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\rightarrow A\otimes (B\otimes C)}

para cada triplete de objetosA,B,do{\displaystyle A,B,C}en la categoría. Utilizando composiciones de estosαA,B,do{\displaystyle \alpha _{A,B,C}}, se puede construir un morfismo

((Anorte⊗Anorte−1)⊗Anorte−2)⊗⋯⊗A1)→(Anorte⊗(Anorte−1⊗⋯⊗(A2⊗A1)).{\displaystyle ((A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes A_{N-2})\otimes \cdots \otimes A_{1})\rightarrow (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})).}

En realidad, hay muchas maneras de construir tal morfismo como una composición de variosαA,B,do{\displaystyle \alpha _{A,B,C}}. Una condición de coherencia que se suele imponer es que todas estas composiciones sean iguales. [ 3 ]

Normalmente, una condición de coherencia se demuestra mediante un teorema de coherencia , que establece que basta con comprobar unas pocas igualdades de composiciones para demostrar que las demás también se cumplen. En el ejemplo anterior, solo es necesario comprobar que, para todas las cuádruplas de objetos,A,B,do,D{\displaystyle A,B,C,D}, el siguiente diagrama conmuta.

Cualquier par de morfismos de((⋯(Anorte⊗Anorte−1)⊗⋯)⊗A2)⊗A1){\displaystyle ((\cdots (A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})}a(Anorte⊗(Anorte−1⊗(⋯⊗(A2⊗A1)⋯)){\displaystyle (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes (\cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})\cdots ))}construidos como composiciones de variosαA,B,do{\displaystyle \alpha _{A,B,C}}son iguales.

Otros ejemplos

Dos ejemplos sencillos que ilustran la definición son los siguientes. Ambos provienen directamente de la definición de un morfismo en una categoría ordinaria.

Identidad

Sea f  : A → B un morfismo de una categoría que contiene dos objetos A y B. Asociados a estos objetos están los morfismos identidad 1 A  : A → A y 1 B  : B → B . Al componerlos con f , construimos dos morfismos:

f o 1 A  : A → B , y
1 B de : A → B  .​

Ambos son morfismos entre los mismos objetos que f . Por consiguiente, tenemos la siguiente declaración de coherencia:

f o 1 A = f = 1 B o f .

Asociatividad de la composición

Sean f  : A → B , g  : B → C y h  : C → D morfismos de una categoría que contiene los objetos A , B , C y D . Mediante composición repetida, podemos construir un morfismo de A a D de dos maneras:

( h o g ) de :  A → D , y
h o ( g o f )  : A → D .

Ahora tenemos la siguiente declaración de coherencia:

( h o g ) de = h o ( g o f ) .​

En estos dos ejemplos concretos, las afirmaciones de coherencia son teoremas para el caso de una categoría abstracta, ya que se derivan directamente de los axiomas; de hecho, son axiomas . Para el caso de una estructura matemática concreta, pueden considerarse condiciones, es decir, requisitos para que la estructura matemática en cuestión sea una categoría concreta, requisitos que dicha estructura puede cumplir o no.

Teorema de coherencia

El teorema de coherencia de Mac Lane establece, a grandes rasgos, que si los diagramas de ciertos tipos conmutan , entonces los diagramas de todos los tipos conmutan. [ 4 ] Una demostración sencilla de este teorema se puede obtener utilizando el permutoasociaedro , un politopo cuya estructura combinatoria aparece implícitamente en la demostración de Mac Lane. [ 5 ]

Existen varias generalizaciones del teorema de coherencia de Mac Lane. [ 6 ] Cada una de ellas tiene la forma aproximada de que "toda estructura débil de algún tipo es equivalente a una más estricta". [ 7 ] Todavía no existe un teorema de coherencia para 4-categorías débiles. [ 8 ]

Coherencia homotópica

ejemplo

  • Las cuasicategorías proporcionan un modelo para las ∞-categorías donde los diagramas son automáticamente homotópicamente coherentes. [ 9 ]

Teorema de Vogt

Sea A una categoría pequeña yBs{\displaystyle B_{s}}una categoría S localmente Kan y completa (o co-completa).

El teorema de Vogt [ 10 ] [ 11 ] sobre diagramas coherentes tiene una equivalencia de categorías

Ho(BA)≃dooh(A,Bs).{\displaystyle \mathrm {Ho} (B^{A})\simeq \mathrm {Coh} (A,B_{s}).}

Véase también

Notas

  1. 1 2 Leinster 2004 , Definición 1.5.1
  2. ↑ asociador en nLab
  3. ↑ ( Kelly 1964 , Introducción)
  4. ↑ Mac Lane 1978 , Capítulo VII, Sección 2
  5. ↑ Véase Kapranov 1993 y Reiner & Ziegler 1994
  6. ↑ Véase, por ejemplo, el teorema de coherencia (nlab)
  7. ↑ Shulman 2012 , Sección 1
  8. ↑ Crans 2000 , 2.2 Dimensión 4
  9. ↑ Riehl 2018
  10. ↑ Cordier & Porter 1986
  11. ↑ Cordier & Porter 1988

Referencias

  • Cordier, Jean-Marc; Porter, Timothy (1997). "Teoría de categorías coherentes homotópicas" . Transactions of the American Mathematical Society . 349 (1): 1– 54. doi : 10.1090/S0002-9947-97-01752-2 .
  • § 5. de Mac Lane, Saunders (enero de 1976). "Topología y lógica como fuente del álgebra (discurso de despedida del presidente)" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 82 (1): 1– 40. doi : 10.1090/S0002-9904-1976-13928-6 .
  • Mac Lane, Saunders (1978) [1971]. Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  5. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-4721-8 . ISBN 978-1-4419-3123-8.
  • Cap. 5 de Kamps, Klaus Heiner; Porter, Timothy (abril de 1997). Teoría de la homotopía abstracta y simple . World Scientific. doi : 10.1142/2215 . ISBN 9810216025.
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  • Kapranov, Mikhail M. (1993). "El permutoasociaedro, el teorema de coherencia de Mac Lane y las zonas asintóticas para la ecuación KZ". Journal of Pure and Applied Algebra . 85 (2): 119– 142. doi : 10.1016/0022-4049(93)90049-Y .
  • Reiner, Víctor; Ziegler, Günter M. (1994). "Coxeter-asociaedra". Matemática . 41 (2): 364– 393. doi : 10.1112/S0025579300007452 .
  • Porter, Tim (2001) [1994], "Coherencia homotópica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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Lecturas adicionales

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  • "diagrama coherente de homotopía" . ncatlab.org .
  • "asociador" . ncatlab.org .
  • "Fundamentos simpliciales para la coherencia homotópica" . ncatlab.org .
  • Armstrong, John (1 de junio de 2007). "El teorema de la "estricción"" . El matemático sin complejos .
  • Malkiewich, Cary; Ponto, Kate (2022). "Coherencia para bicategorías, functores laxos y sombras" . Theory and Applications of Categories . 38 (12): 328– 373. arXiv : 2109.01249 .
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  • Street, Ross (2001) [1994], "Categoría de dimensión superior" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  • Trimble, Todd (2006). "Notas sobre tetracategorías" .