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Superficie del niño

Una animación de la superficie del niño En geometría , la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio tridimensional . Fue descubierta en 1901 por...

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Una animación de la superficie del niño

En geometría , la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio tridimensional . Fue descubierta en 1901 por el matemático alemán Werner Boy , a quien su director de tesis doctoral , David Hilbert, le había encargado demostrar que el plano proyectivo no podía sumergirse en el espacio tridimensional.

La superficie de Boy fue parametrizada explícitamente por primera vez por Bernard Morin en 1978. [ 1 ] Otra parametrización fue descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant . [ 2 ] La superficie de Boy es una de las dos posibles inmersiones del plano proyectivo real que tienen un único punto triple. [ 3 ]

A diferencia de la superficie romana y la tapa en cruz , no tiene otras singularidades que las autointersecciones (es decir, no tiene puntos de estrangulamiento ).

Parametrización

Una vista de la parametrización de Kusner-Bryant de la superficie del Niño

La superficie de Boy se puede parametrizar de varias maneras. Una parametrización, descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant , [ 4 ] es la siguiente: dado un número complejo w cuya magnitud es menor o igual a uno (‖w‖≤1{\displaystyle \|w\|\leq 1}), dejar gramo1=−32Soy⁡[w(1−w4)w6+5w3−1]gramo2=−32Re⁡[w(1+w4)w6+5w3−1]gramo3=Soy⁡[1+w6w6+5w3−1]−12{\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}

y luego configurar (incógnitayz)=1gramo12+gramo22+gramo32(gramo1gramo2gramo3){\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}

A continuación, obtenemos las coordenadas cartesianas x , y y z de un punto en la superficie del Niño.

Si se realiza una inversión de esta parametrización centrada en el punto triple, se obtiene una superficie mínima completa con tres extremos (así es como se descubrió esta parametrización de forma natural). Esto implica que la parametrización de Bryant-Kusner de las superficies de Boy es "óptima" en el sentido de que es la inmersión "menos curvada" de un plano proyectivo en el espacio tridimensional .

Propiedad de la parametrización de Bryant-Kusner

Si w se reemplaza por el recíproco negativo de su conjugado complejo ,−1w⋆,{\textstyle -{1 \over w^{\star }},}entonces las funciones g 1 , g 2 , y g 3 de w se dejan sin cambios.

Al sustituir w en términos de sus partes real e imaginaria, w = s + it , y expandir la parametrización resultante, se puede obtener una parametrización de la superficie de Boy en términos de funciones racionales de s y t . Esto demuestra que la superficie de Boy no solo es una superficie algebraica , sino también racional . La observación del párrafo anterior muestra que la fibra genérica de esta parametrización consta de dos puntos (es decir, que casi todos los puntos de la superficie de Boy se pueden obtener mediante dos valores de parámetros).

Relación con el plano proyectivo real

DejarPAG(w)=(incógnita(w),y(w),z(w)){\displaystyle P(w)=(x(w),y(w),z(w))}sea ​​la parametrización de Bryant-Kusner de la superficie de Boy. Entonces PAG(w)=PAG(−1w⋆).{\displaystyle P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).}

Esto explica la condición‖w‖≤1{\displaystyle \left\|w\right\|\leq 1}sobre el parámetro: si‖w‖<1,{\displaystyle \left\|w\right\|<1,}entonces‖−1w⋆‖>1.{\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas para‖w‖=1.{\displaystyle \left\|w\right\|=1.} En este caso, uno tiene−1w⋆=−w.{\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}Esto significa que, si‖w‖=1,{\displaystyle \left\|w\right\|=1,}El punto de la superficie del niño se obtiene a partir de dos valores de parámetros:PAG(w)=PAG(−w).{\displaystyle P(w)=P(-w).}En otras palabras, la superficie del Niño ha sido parametrizada por un disco tal que pares de puntos diametralmente opuestos en el perímetro del disco son equivalentes. Esto demuestra que la superficie del Niño es la imagen del plano proyectivo real , RP 2 , mediante una aplicación suave . Es decir, la parametrización de la superficie del Niño es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio euclidiano .

Simetrías

Modelo 3D STL de la superficie del niño

La superficie del Niño tiene simetría triple . Esto significa que posee un eje de simetría rotacional discreta: cualquier giro de 120° alrededor de este eje deja la superficie con el mismo aspecto. La superficie del Niño se puede dividir en tres piezas mutuamente congruentes .

Aplicaciones

La superficie de Boy puede utilizarse en la eversión de la esfera como modelo intermedio . Un modelo intermedio es una inmersión de la esfera con la propiedad de que una rotación intercambia el interior y el exterior, por lo que puede emplearse para invertir (dar la vuelta) a una esfera. Las superficies de Boy (para p  =  3) y Morin (para p  =  2) inician una secuencia de modelos intermedios con mayor simetría, propuestos inicialmente por George Francis e indexados por los enteros pares 2p (para p impar, estas inmersiones pueden factorizarse mediante un plano proyectivo). La parametrización de Kusner produce todos estos modelos.

Modelos

Modelo de la superficie de un niño en el Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach.

Modelo en Oberwolfach

El Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach tiene un gran modelo de una superficie de Boy fuera de la entrada, construido y donado por Mercedes-Benz en enero de 1991. Este modelo tiene simetría rotacional triple y minimiza la energía de Willmore de la superficie. Consiste en tiras de acero que representan la imagen de una cuadrícula de coordenadas polares bajo una parametrización dada por Robert Bryant y Rob Kusner. Los meridianos (rayos) se convierten en cintas de Möbius ordinarias , es decir, giradas 180 grados. Todas las tiras, excepto una, correspondientes a círculos de latitud (círculos radiales alrededor del origen) no están giradas, mientras que la que corresponde al límite del círculo unitario es una cinta de Möbius girada tres veces 180 grados , como es el emblema del instituto ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ) .

Modelo realizado para Clifford Stoll.

El soplador de vidrio Lucas Clarke, en colaboración con Adam Savage , creó una maqueta para presentársela a Clifford Stoll . La maqueta apareció en el canal de YouTube de Adam Savage , Tested . Los tres aparecieron en el vídeo hablando sobre ella. [ 5 ]

Referencias

Citas

  1. ^ Morin, Bernard (13 de noviembre de 1978). "Équations du retournement de la sphère" [ Ecuaciones de la eversión de la esfera ] (PDF) . Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . Serie A (en francés). 287 : 879–882 .
  2. ↑ Kusner, Rob (1987). "Geometría conforme y superficies mínimas completas" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . Nueva Serie. 17 (2): 291– 295. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 ..
  3. ↑ Goodman, Sue; Marek Kossowski (2009). "Inmersiones del plano proyectivo con un punto triple" . Geometría diferencial y sus aplicaciones . 27 (4): 527– 542. doi : 10.1016/j.difgeo.2009.01.011 . ISSN 0926-2245 . 
  4. ↑ Raymond O'Neil Wells (1988). "Superficies en geometría conforme (Robert Bryant)". El legado matemático de Hermann Weyl (12-16 de mayo de 1987, Universidad de Duke, Durham, Carolina del Norte) . Actas del Simposio de Matemáticas Puras, vol. 48. Sociedad Matemática Americana, págs. 227-240 . doi : 10.1090/pspum/048/974338 . ISBN   978-0-8218-1482-6.
  5. ↑ Savage, Adam (21 de junio de 2023). "Este objeto debería haber sido imposible de hacer" . YouTube . Consultado el 22 de junio de 2023 .

Fuentes

  • Kirby, Rob (noviembre de 2007), "¿Qué es la superficie de Boy?" (PDF) , Notices of the AMS , 54 ( 10): 1306–1307Esto describe un modelo lineal por partes de la superficie de Boy.
    • Casselman, Bill (noviembre de 2007), "Los paraguas del niño que se desploman" (PDF) , Notices of the AMS , 54 (10): 1356Artículo sobre la ilustración de la portada que acompaña al artículo de Rob Kirby.
  • Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), La superficie del niño en Oberwolfach (PDF).
  • Sanderson, B. Boy's will be Boy's , (sin fecha, 2006 o anterior).
  • Weisstein, Eric W. "La superficie del niño" . MathWorld .
  • Superficie para niños en MathCurve; contiene diversas visualizaciones, varias ecuaciones, enlaces útiles y referencias.
  • Despliegue planar de la superficie del Niño – applet de Plus Magazine .
  • Recursos de superficie de Boy , incluido el artículo original y una incrustación de un topólogo en la superficie de Oberwolfach Boy .
  • Superficie de un niño LEGO
  • Modelo de papel de la superficie del Niño : patrón e instrucciones
  • Un modelo de la superficie de Boy en Geometría Sólida Constructiva junto con las instrucciones de montaje.
  • Vídeo de visualización de superficies realizado por un niño en el Instituto de Matemáticas de la Academia Serbia de Artes y Ciencias.
  • Este objeto debería haber sido imposible de hacer. Adam Savage haciendo un soporte de museo para un modelo de vidrio de la superficie.