Deformación limitada

En matemáticas , una función de deformación limitada es aquella cuyas derivadas distribucionales no se comportan de forma óptima , lo suficiente como para considerarse funciones de variación limitada , aunque la parte simétrica de la matriz derivada sí cumple dicha condición. Entendidas como deformaciones de cuerpos elastoplásticos , las funciones de deformación limitada desempeñan un papel fundamental en el estudio matemático de los materiales , por ejemplo, en el modelo de Francfort-Marigo sobre la evolución de grietas frágiles .

Más precisamente, dado un subconjunto abierto Ω de R ⁿ , se dice que una función u  : Ω → R ⁿ es de deformación acotada si el gradiente simetrizado ε ( u ) de u ,   

${\displaystyle \varepsilon (u)={\frac {\nabla u+\nabla u^{\top }}{2}}}$

es una medida de Radon matricial simétrica y acotada de n × n . La colección de todas las funciones de deformación acotada se denota BD( Ω ; R ⁿ ), o simplemente BD, introducida esencialmente por P.-M. Suquet en 1978. BD es un espacio estrictamente mayor que el espacio BV de funciones de variación acotada .   

Se puede demostrar que si u es de deformación acotada, entonces la medida ε ( u ) se puede descomponer en tres partes: una absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue , denotada e ( u )  d x ; una parte de salto, soportada en un conjunto rectificable ( n − 1)-dimensional J _u de puntos donde u tiene dos límites aproximados diferentes u ₊ y u ₋ , junto con un vector normal ν _u ; y una " parte de Cantor ", que se anula en conjuntos de Borel de medida H ^{n − 1} finita (donde H ^k denota la medida de Hausdorff k- dimensional ).  

Se dice que una función u es de deformación acotada especial si la parte de Cantor de ε ( u ) se anula, de modo que la medida se puede escribir como

${\displaystyle \varepsilon (u)=e(u)\,\mathrm {d} x+{\big (}u_{+}(x)-u_{-}(x){\big )}\odot \nu _{u}(x)H^{n-1}|J_{u},}$

donde H ^{n − 1} | J _u denota H ^{n − 1} en el conjunto de saltos J _u y    ${\displaystyle \odot }$denota el producto diádico simetrizado :

${\displaystyle a\odot b={\frac {a\otimes b+b\otimes a}{2}}.}$

El conjunto de todas las funciones de deformación acotada especial se denota como SBD( Ω ; R ⁿ ), o simplemente SBD. 

• Suquet, P.-M. (1978). "Existencia y regularidad de las soluciones de ecuaciones de la plasticidad perfecta". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie A. 286 : 1201-1204 .
• Francfort, GA y Marigo, J.-J. (1998). "Revisitando la fractura frágil como un problema de minimización de energía" (PDF) . J. Mech. Phys. Solids . 46 (8): 1319– 1342. Bibcode : 1998JMPSo..46.1319F . doi : 10.1016/S0022-5096(98)00034-9 .
• Francfort, GA y Marigo, J.-J. (1999). «Grietas en mecánica de fractura: una familia de minimizadores de energía indexada en el tiempo». En P. Argoul; M. Frémond y QS Nguyen (eds.). Simposio IUTAM sobre variaciones de dominio y problemas de frontera libre en mecánica de sólidos . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones n.° 66. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. págs. 197-202 .