Boolean differential calculus

Boolean differential calculus (BDC) (German: Boolescher Differentialkalkül (BDK)) is a subject field of Boolean algebra discussing changes of Boolean variables and Boolean functions.

Boolean differential calculus concepts are analogous to those of classical differential calculus, notably studying the changes in functions and variables with respect to each other.^[1]

The Boolean differential calculus allows various aspects of dynamical systems theory such as automata theory on finite automata, Petri net theory,^[2] and supervisory control theory (SCT), to be discussed in a united and closed form, with their individual advantages combined.

Originally inspired by the design and testing of switching circuits and the use of error-correcting codes in electrical engineering, the roots for the development of what later would evolve into the Boolean differential calculus were initiated by works of Irving S. Reed,^[3]David E. Muller,^[4]David A. Huffman,^[5]Sheldon B. Akers Jr.^[6] and A. D. Talantsev (A. D. Talancev, А. Д. Таланцев)^[7] between 1954 and 1959, and of Frederick F. Sellers Jr.,^[8][9]Mu-Yue Hsiao,^[8][9] and Leroy W. Bearnson^[8][9] in 1968.

Since then, significant advances were accomplished in both, the theory and in the application of the BDC in switching circuit design and logic synthesis.

Los trabajos de André Thayse , ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} Marc Davio , ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} y Jean-Pierre Deschamps ^{[ 13 ]} en la década de 1970 formaron los fundamentos de BDC sobre los cuales Dieter Bochmann , ^{[ 15 ]} Christian Posthoff , ^{[ 15 ]} y Bernd Steinbach ^{[ 16 ]} desarrollaron más adelante BDC hasta convertirla en una teoría matemática autocontenida.

También se ha desarrollado una teoría complementaria del cálculo integral booleano (en alemán: Boolescher Integralkalkül ). ^{[ 15 ] [ 17 ]}

BDC también ha encontrado usos en sistemas dinámicos de eventos discretos (DEDS) ^{[ 18 ]} en protocolos de comunicación de redes digitales .

Mientras tanto, BDC ha visto extensiones a variables y funciones multivaluadas ^{[ 15 ] [ 19 ] [ 20 ]} así como a retículos de funciones booleanas. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Los operadores diferenciales booleanos desempeñan un papel importante en BDC. Permiten extender la aplicación de los diferenciales , tal como se conocen en el análisis clásico, a las funciones lógicas.

El diferencial${\displaystyle dx}$de una variable booleana${\displaystyle x}$modela la relación

${\displaystyle dx={\begin{cases}0,&{\text{sin cambios de }}x\\1,&{\text{cambio de }}x\end{cases}}}$

No existen restricciones en cuanto a la naturaleza, las causas y las consecuencias de un cambio.

El diferencial${\displaystyle dx}$es binario y se puede usar como cualquier otra variable binaria .

• Álgebra booleana
• Teorema de expansión de Boole
• Marco de Ramadge-Wonham

• Davio, Marc; Piret, Philippe M. (July 1969). "Les dérivées Booléennes et leur application au diagnostic" [Boolean derivatives and their application and diagnosis]. Philips Revue (in French). 12 (3). Brussels, Belgium: Philips Research Laboratory, Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique (MBLE Research Laboratory): 63–76. (14 pages)
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