Retículo (módulo)

En matemáticas , particularmente en el campo de la teoría de anillos , un retículo es una estructura algebraica que, informalmente, proporciona un marco general para tomar un conjunto disperso de puntos en un espacio mayor. Los retículos generalizan varias nociones más específicas, incluyendo retículos enteros en espacios vectoriales reales , órdenes en cuerpos numéricos algebraicos e ideales fraccionarios en dominios de integridad . Formalmente, un retículo es una especie de módulo sobre un anillo que está incrustado en un espacio vectorial sobre un cuerpo .

Sea R un dominio de integridad con cuerpo de fracciones K , y sea V un espacio vectorial sobre K (y por lo tanto también un R -módulo). Un R - submódulo M de un V se llama retículo si M es finitamente generado sobre R. Se llama completo si V = K · M , es decir, si M contiene una base K de V. ^{[ 1 ]} Algunos autores requieren que los retículos sean completos, pero no adoptamos esta convención en este artículo . ^{[ 2 ]}

Cualquier módulo M sobre R , generado de forma finita y libre de torsión, puede considerarse como una red R completa tomando como espacio ambiente${\displaystyle M\otimes _{R}K}$, la extensión de escalares de M a K. Para evitar esta ambigüedad, las redes se estudian habitualmente en el contexto de un espacio ambiente fijo.

El comportamiento del anillo base R de un retículo M influye fuertemente en el comportamiento de M. Si R es un dominio de Dedekind , M es completamente descomponible (con respecto a una base adecuada) como una suma directa de ideales fraccionarios. Todo retículo sobre un dominio de Dedekind es proyectivo . ^{[ 3 ]}

Las redes se comportan bien bajo localización y completitud : una red M es igual a la intersección de todas las localizaciones.${\displaystyle M_{({\mathfrak {p}})}}$de M en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Además, dos retículos son iguales si y solo si sus localizaciones son iguales en todos los primos. Sobre un dominio de Dedekind , el diccionario local-global es aún más robusto: cualesquiera dos R- retículos completos son iguales en todas las localizaciones excepto en un número finito de localizaciones, y para cualquier elección ^{[ 4 ]} de${\displaystyle R_{({\mathfrak {p}})}}$-redes${\displaystyle N_{({\mathfrak {p}})}}$existe una red R M que satisface${\displaystyle M_{({\mathfrak {p}})}=N_{({\mathfrak {p}})}}$En los dominios de Dedekind existe una correspondencia similar entre las R -redes y las colecciones de retículos .${\displaystyle N_{\mathfrak {p}}}$sobre las completaciones de R con respecto a los números primos${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. ^{[ 5 ]}

Un par de retículos M y N sobre R admiten una noción de índice relativo análoga a la de los retículos enteros en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Si M y N son proyectivos (por ejemplo, si R es un dominio de Dedekind), entonces M y N tienen índice relativo trivial si y solo si M = N . ^{[ 6 ]}

Un R -submódulo N de M que es en sí mismo un retículo es un R -subretículo puro si M / N es R -libre de torsión. Existe una correspondencia biunívoca entre los R -subretículos puros N de M y los K - subespacios W de V , dada por ^{[ 7 ].}

${\displaystyle N\mapsto W=K\cdot N;\quad W\mapsto N=W\cap M.\,}$

• Retículo (grupo) , para el caso en que M es un Z -módulo incrustado en un espacio vectorial V sobre el campo de los números reales R , y se utiliza la métrica euclidiana para describir la estructura del retículo.

• Voight, John (2021). Álgebras de cuaterniones . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  288. Springer. ISBN 978-3-030-56692-0.
• Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie. Vol.  28. Oxford University Press . ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .