cálculo diferencial booleano

El cálculo diferencial booleano ( BDC ) (en alemán: Boolescher Differentialkalkül ( BDK )) es un campo temático del álgebra booleana que analiza los cambios de variables booleanas y funciones booleanas .

Los conceptos del cálculo diferencial booleano son análogos a los del cálculo diferencial clásico , en particular al estudiar los cambios en funciones y variables entre sí. ^{[ 1 ]}

El cálculo diferencial booleano permite que varios aspectos de la teoría de sistemas dinámicos, ^{como la teoría de autómatas en autómatas finitos, la teoría de redes de Petri [} 2 ] y la teoría de control ^{supervisor (} SCT ) , se discutan de forma unificada y cerrada, combinando sus ventajas individuales.

Originalmente inspirado por el diseño y las pruebas de circuitos de conmutación y el uso de códigos de corrección de errores en ingeniería eléctrica , las raíces para el desarrollo de lo que más tarde evolucionaría en el cálculo diferencial booleano fueron iniciadas por los trabajos de Irving S. Reed , ^{[ 3 ]} David E. Muller , ^{[ 4 ]} David A. Huffman , ^{[ 5 ]} Sheldon B. Akers Jr. ^{[ 6 ]} y AD Talantsev ( AD Talancev , А. Д. Таланцев ) ^{[ 7 ]} entre 1954 y 1959, y de Frederick F. Sellers Jr. , ^{[ 8 ] [ 9 ]} Mu-Yue Hsiao , ^{[ 8 ] [ 9 ]} y Leroy W. Bearnson ^{[ 8 ] [ 9 ]} en 1968.

Desde entonces, se han logrado avances significativos tanto en la teoría como en la aplicación del BDC en el diseño de circuitos de conmutación y la síntesis lógica .

Los trabajos de André Thayse , ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} Marc Davio , ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} y Jean-Pierre Deschamps ^{[ 13 ]} en la década de 1970 formaron los fundamentos de BDC sobre los cuales Dieter Bochmann , ^{[ 15 ]} Christian Posthoff , ^{[ 15 ]} y Bernd Steinbach ^{[ 16 ]} desarrollaron más adelante BDC hasta convertirla en una teoría matemática autocontenida.

También se ha desarrollado una teoría complementaria del cálculo integral booleano (en alemán: Boolescher Integralkalkül ). ^{[ 15 ] [ 17 ]}

BDC también ha encontrado usos en sistemas dinámicos de eventos discretos (DEDS) ^{[ 18 ]} en protocolos de comunicación de redes digitales .

Mientras tanto, BDC ha visto extensiones a variables y funciones multivaluadas ^{[ 15 ] [ 19 ] [ 20 ]} así como a retículos de funciones booleanas. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Los operadores diferenciales booleanos desempeñan un papel importante en BDC. Permiten extender la aplicación de los diferenciales , tal como se conocen en el análisis clásico, a las funciones lógicas.

El diferencial${\displaystyle dx}$de una variable booleana${\displaystyle x}$modela la relación

${\displaystyle dx={\begin{cases}0,&{\text{sin cambios de }}x\\1,&{\text{cambio de }}x\end{cases}}}$

No existen restricciones en cuanto a la naturaleza, las causas y las consecuencias de un cambio.

El diferencial${\displaystyle dx}$es binario y se puede usar como cualquier otra variable binaria .

• Álgebra booleana
• Teorema de expansión de Boole
• Marco de Ramadge-Wonham

• Davio, Marc; Piret, Philippe M. (julio de 1969). "Les dérivées Booléennes et leur application au diagnostic" [ Los derivados booleanos y su aplicación y diagnóstico ] . Revista Philips (en francés). 12 (3). Bruselas, Bélgica: Laboratorio de investigación Philips , Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique (Laboratorio de investigación MBLE): 63– 76.(14 páginas)
• Rudeanu, Sergiu (septiembre de 1974). Funciones y ecuaciones booleanas . North-Holland Publishing Company / American Elsevier Publishing Company . ISBN 0-44410520-4ISBN​ 0-72042082-2.(462 páginas)
• Bochmann, Dieter [en alemán] (1977). "Cálculo diferencial booleano (una revisión)". Ingeniería Cibernética . 15 (5). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 67– 75. ISSN 0013-788X . (9 páginas) Traducción de: Bochmann, Dieter [en alemán] (1977). "[Cálculo diferencial booleano (encuesta)]". Известия Академии наук СССР – Техническая кибернетика (Izvestii︠a︡ Akademii Nauk SSSR – Tekhnicheskai︠a︡ kibernetika) [Actas de la Academia de Ciencias de la URSS – Ingeniería cibernética] (en ruso) (5): 125-133 .(9 páginas)
• Kühnrich, Martín (1986). "Differentialoperatoren über Booleschen Algebren" [ Operadores diferenciales en álgebras booleanas ] . Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik (en alemán). 32 ( 17-18 ). Berlín, Alemania (Este): 271– 288. doi : 10.1002/malq.19860321703 . #18.(18 páginas)
• Dresig, Frank (1992). Gruppierung – Theorie und Anwendung in der Logiksynthese [ Agrupación – Teoría y aplicación en síntesis lógica ] . Fortschritt-Berichte VDI, ser. 9 (en alemán). vol.  145. Düsseldorf, Alemania: VDI-Verlag . ISBN 3-18-144509-6. DNB-IDN 940164671 . (NB. También: Chemnitz, Technische Universität, Dissertation.) (147 páginas)
• Scheuring, Rainer; Wehlan, Herbert "Hans" (1993). "Control de sistemas de eventos discretos mediante el cálculo diferencial booleano". En Balemi, Silvano; Kozák, Petr; Smedinga, Rein (eds.). Sistemas de eventos discretos: modelado y control . Progress in Systems and Control Theory (PSCT). Vol.  13. Basilea, Suiza: Birkhäuser Verlag . pp. 79–93 . doi : 10.1007/978-3-0348-9120-2_7 . ISBN  978-3-0348-9916-1.(15 páginas)
• Posthoff, Christian; Steinbach, Bernd [en alemán] (4 de febrero de 2004). Funciones y ecuaciones lógicas: modelos binarios para la informática (1.ª  ed.). Dordrecht, Países Bajos: Springer Science + Business Media BV doi : 10.1007/978-1-4020-2938-7 . ISBN 1-4020-2937-3OCLC 254106952 ISBN​​  978-1-4020-2937-0.(392 páginas)
• Steinbach, Bernd [en alemán] ; Posthoff, Christian (12 de febrero de 2009). Funciones y ecuaciones lógicas: ejemplos y ejercicios (1.ª  ed.). Dordrecht, Países Bajos: Springer Science + Business Media BV doi : 10.1007/978-1-4020-9595-5 . ISBN 978-1-4020-9594-8. LCCN 2008941076 . (xxii+232 páginas)(Nota: Según DNB-IDN 1010457748, esta edición de tapa dura se reeditó en tapa blanda en 2010). 
• Steinbach, Bernd [en alemán] ; Posthoff, Christian (1 de junio de 2010). "Cálculo diferencial booleano: teoría y aplicaciones" . Journal of Computational and Theoretical Nanoscience . 7 (6). American Scientific Publishers: 933–981 . doi : 10.1166/jctn.2010.1441 . ISSN 1546-1955 . (49 páginas)
• Steinbach, Bernd [en alemán] ; Posthoff, Christian (15 de enero de 2010) [2009]. «Capítulo 3: Cálculo diferencial booleano». En Sasao, Tsutomu; Butler, Jon T. (eds.). Avances en las aplicaciones de las funciones booleanas . Conferencias de síntesis sobre circuitos y sistemas digitales (1.ª  ed.). San Rafael, CA, EE. UU.: Morgan & Claypool Publishers. págs. 55-78 , 121-126 . doi : 10.2200/S00243ED1V01Y200912DCS026 . ISBN  978-1-60845-181-4. S2CID 37053010 . Lección n.º 26. (24 de 153 páginas)

• Wehlan, Herbert "Hans" (6 de diciembre de 2010). "Cálculo diferencial booleano" . En Hazewinkel, Michiel (ed.). Cálculo diferencial booleano - Enciclopedia de Matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas . Springer Science+Business Media . ISBN 978-1-4020-0609-8Archivado del original el 16 de octubre de 2017. Consultado el 16 de octubre de 2017 .
• Institut für Informatik (IfI) (2017). "XBOOLE" . TU Bergakademie Freiberg . Archivado desde el original el 31 de octubre de 2017 . Consultado el 31 de octubre de 2017 .con "XBOOLE Monitor" . 23-07-2008. Archivado del original el 31-10-2017 . Recuperado el 31-10-2017 .