Método de Holm-Bonferroni

La corrección simple de Bonferroni rechaza solo las hipótesis nulas con un valor p menor o igual a${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}}}$, para garantizar que el FWER, es decir, el riesgo de rechazar una o más hipótesis nulas verdaderas (es decir, de cometer uno o más errores de tipo I) sea como máximo${\displaystyle \alpha }$El coste de esta protección contra los errores de tipo I es un mayor riesgo de no rechazar una o más hipótesis nulas falsas (es decir, de cometer uno o más errores de tipo II).

El método Holm-Bonferroni también controla el FWER en${\displaystyle \alpha }$, pero con un menor aumento del riesgo de error de tipo II que el método clásico de Bonferroni. El método de Holm-Bonferroni ordena los valores p de menor a mayor y los compara con los niveles alfa nominales de${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}}}$a${\displaystyle \alpha }$(respectivamente), es decir, los valores${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}},{\frac {\alpha }{m-1}},\ldots ,{\frac {\alpha }{2}},{\frac {\alpha }{1}}}$.

• El índice${\displaystyle k}$identifica el primer valor p que no es lo suficientemente bajo como para validar el rechazo. Por lo tanto, las hipótesis nulas${\displaystyle H_{(1)},\ldots ,H_{(k-1)}}$son rechazadas, mientras que las hipótesis nulas${\displaystyle H_{(k)},...,H_{(m)}}$no son rechazados.
• Si${\displaystyle k=1}$Entonces, ningún valor p fue lo suficientemente bajo como para rechazar la hipótesis nula, por lo tanto, no se rechaza ninguna hipótesis nula.
• Si no existe tal índice${\displaystyle k}$Se pudo encontrar que todos los valores p eran lo suficientemente bajos para el rechazo, por lo tanto, todas las hipótesis nulas son rechazadas (ninguna es aceptada).

Dejar${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(m)}}$sea ​​la familia de hipótesis ordenadas por sus valores p${\displaystyle P_{(1)}\leq P_{(2)}\leq \cdots \leq P_{(m)}}$. Dejar${\displaystyle I_{0}}$sea ​​el conjunto de índices correspondientes a las hipótesis nulas verdaderas (desconocidas), teniendo${\displaystyle m_{0}}$miembros.

Afirmación : Si rechazamos erróneamente alguna hipótesis verdadera, entonces existe una hipótesis verdadera.${\displaystyle H_{(\ell )}}$para qué${\displaystyle P_{(\ell )}}$es como máximo${\displaystyle {\frac {\alpha }{m_{0}}}}$.

En primer lugar, cabe señalar que, en este caso, existe al menos una hipótesis verdadera, por lo que${\displaystyle m_{0}\geq 1}$. Dejar${\displaystyle \ell }$ser tal que${\displaystyle H_{(\ell )}}$es la primera hipótesis verdadera rechazada. Entonces${\displaystyle H_{(1)},\ldots ,H_{(\ell -1)}}$son todas hipótesis falsas rechazadas. De ello se deduce que${\displaystyle \ell -1\leq m-m_{0}}$y, por lo tanto,${\displaystyle {\frac {1}{m-\ell +1}}\leq {\frac {1}{m_{0}}}}$(1). Dado que${\displaystyle H_{(\ell )}}$es rechazado, debe ser${\displaystyle P_{(\ell )}\leq {\frac {\alpha }{m-\ell +1}}}$por definición del procedimiento de prueba. Usando (1), concluimos que${\displaystyle P_{(\ell )}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}}$, según se desee.

Definamos entonces el evento aleatorio.${\displaystyle A=\bigcup _{i\in I_{0}}\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}}$. Tenga en cuenta que, para${\displaystyle i\in I_{o}}$, desde${\displaystyle H_{i}}$es una hipótesis nula verdadera , tenemos que${\displaystyle P\left(\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}\right)={\frac {\alpha }{m_{0}}}}$La subaditividad de la medida de probabilidad implica que${\displaystyle \Pr(A)\leq \sum _{i\in I_{0}}P\left(\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}\right)=\sum _{i\in I_{0}}{\frac {\alpha }{m_{0}}}=\alpha }$Por lo tanto, la probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera es como máximo${\displaystyle \alpha }$.

El método Holm-Bonferroni puede considerarse como un procedimiento de prueba cerrado , ^{[ 2 ]} con la corrección de Bonferroni aplicada localmente en cada una de las intersecciones de las hipótesis nulas.

El principio de cierre establece que una hipótesis${\displaystyle H_{i}}$en una familia de hipótesis${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$es rechazado – mientras se controla el FWER en el nivel${\displaystyle \alpha }$– si y solo si todas las subfamilias de las intersecciones con${\displaystyle H_{i}}$son rechazados en el nivel${\displaystyle \alpha }$.

El método de Holm-Bonferroni es un procedimiento abreviado , ya que hace${\displaystyle m}$o menos comparaciones, mientras que el número de todas las intersecciones de hipótesis nulas a probar es de orden${\displaystyle 2^{m}}$Controla el FWER en el sentido estricto.

En el procedimiento de Holm-Bonferroni, primero probamos${\displaystyle H_{(1)}}$. Si no se rechaza, entonces la intersección de todas las hipótesis nulas${\displaystyle \bigcap \nolimits _{i=1}^{m}H_{i}}$tampoco se rechaza, de modo que existe al menos una hipótesis de intersección para cada una de las hipótesis elementales.${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$Eso no se rechaza, por lo tanto, no rechazamos ninguna de las hipótesis elementales.

Si${\displaystyle H_{(1)}}$es rechazado en el nivel${\displaystyle \alpha /m}$entonces todas las subfamilias de intersección que lo contienen también son rechazadas, por lo tanto${\displaystyle H_{(1)}}$es rechazado. Esto se debe a que${\displaystyle P_{(1)}}$es el más pequeño en cada una de las subfamilias de intersección y el tamaño de las subfamilias es como máximo${\displaystyle m}$, de tal manera que el umbral de Bonferroni sea mayor que${\displaystyle \alpha /m}$.

El mismo razonamiento se aplica a${\displaystyle H_{(2)}}$. Sin embargo, dado que${\displaystyle H_{(1)}}$ya rechazadas, basta con rechazar todas las subfamilias de intersección de${\displaystyle H_{(2)}}$sin${\displaystyle H_{(1)}}$. Una vez${\displaystyle P_{(2)}\leq \alpha /(m-1)}$contiene todas las intersecciones que contiene${\displaystyle H_{(2)}}$son rechazados.

Lo mismo se aplica a cada uno${\displaystyle 1\leq i\leq m}$.

Cuando las pruebas de hipótesis no son negativamente dependientes, es posible reemplazar${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}},{\frac {\alpha }{m-1}},\ldots ,{\frac {\alpha }{1}}}$con:

${\displaystyle 1-(1-\alpha )^{1/m},1-(1-\alpha )^{1/(m-1)},\ldots ,1-(1-\alpha )^{1}}$

lo que da como resultado una prueba ligeramente más potente.

Dejar${\displaystyle P_{(1)},\ldots ,P_{(m)}}$sean los valores p ordenados sin ajustar.${\displaystyle H_{(i)}}$,${\displaystyle 0\leq w_{(i)}}$corresponder a${\displaystyle P_{(i)}}$. Rechazar${\displaystyle H_{(i)}}$mientras

${\displaystyle P_{(j)}\leq {\frac {w_{(j)}}{\sum _{k=j}^{m}w_{(k)}}}\alpha ,\quad j=1,\ldots ,i}$

Los valores p ajustados para el método de Holm-Bonferroni son:

${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{(m-j+1)p_{(j)}\right\}_{1},{\text{ where }}\{x\}_{1}\equiv \min(x,1).}$

En el ejemplo anterior, los valores p ajustados son${\displaystyle {\widetilde {p}}_{1}=0.03}$,${\displaystyle {\widetilde {p}}_{2}=0.06}$,${\displaystyle {\widetilde {p}}_{3}=0.06}$y${\displaystyle {\widetilde {p}}_{4}=0.02}$. Solo hipótesis${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{4}}$son rechazados en el nivel${\displaystyle \alpha =0.05}$.

Se pueden definir recursivamente valores p ajustados similares para el método de Holm-Šidák como${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max \left\{{\widetilde {p}}_{(i-1)},1-(1-p_{(i)})^{m-i+1}\right\}}$, dónde${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(1)}=1-(1-p_{(1)})^{m}}$Debido a la desigualdad${\displaystyle 1-(1-\alpha )^{1/n}<\alpha /n}$para${\displaystyle n\geq 2}$El método de Holm-Šidák será más potente que el método de Holm-Bonferroni.

Los valores p ajustados ponderados son:

${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{{\frac {\sum _{k=j}^{m}{w_{(k)}}}{w_{(j)}}}p_{(j)}\right\}_{1},{\text{ where }}\{x\}_{1}\equiv \min(x,1).}$

Una hipótesis se rechaza al nivel α si y solo si su valor p ajustado es menor que α. En el ejemplo anterior, donde se utilizan ponderaciones iguales, los valores p ajustados son 0,03, 0,06, 0,06 y 0,02. Esto demuestra que, con α = 0,05, solo las hipótesis uno y cuatro se rechazan mediante este procedimiento.