Geometría del taxi

En cualquier espacio métrico , una esfera es un conjunto de puntos a una distancia fija, el radio , de un punto central específico. Mientras que una esfera euclidiana es redonda y simétrica rotacionalmente, bajo la distancia de taxi, la forma de una esfera es un politopo cruzado , la generalización n -dimensional de un octaedro regular , cuyos puntos${\displaystyle \mathbf {p} }$Satisfacer la ecuación:

$${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-c_{i}\right|=r,}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {c} }$es el centro y r es el radio. Puntos${\displaystyle \mathbf {p} }$En la esfera unitaria , una esfera de radio 1 centrada en el origen , se satisface la ecuación${\textstyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {0} )=\sum _ {i=1}^{n}|p_{i}|=1.}$

En la geometría bidimensional de un taxi, la esfera (llamada círculo ) es un cuadrado orientado diagonalmente a los ejes de coordenadas. La imagen de la derecha muestra en rojo el conjunto de todos los puntos en una cuadrícula cuadrada a una distancia fija del centro azul. A medida que la cuadrícula se hace más fina, los puntos rojos se vuelven más numerosos y, en el límite, tienden a formar un cuadrado inclinado continuo. Cada lado tiene una longitud de taxi de 2r , por lo que la circunferencia es 8r . Así, en la geometría de un taxi, el valor del análogo de la constante circular π , la relación entre la circunferencia y el diámetro , es igual a 4.

Una esfera cerrada (o disco cerrado en el caso bidimensional) es una esfera rellena, el conjunto de puntos a una distancia menor o igual al radio de un centro específico. Para autómatas celulares en una cuadrícula cuadrada, un disco de von Neumann es el entorno de von Neumann de rango r de su centro.

Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev ( métrica L _∞ ) en un plano es también un cuadrado de lado 2r paralelo a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia de Chebyshev planar puede considerarse equivalente, mediante rotación y escalado, a la distancia de taxi planar. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L ₁ y L _∞ no se generaliza a dimensiones superiores.

Siempre que cada par en una colección de estos círculos tenga una intersección no vacía, existe un punto de intersección para toda la colección; por lo tanto, la distancia de Manhattan forma un espacio métrico inyectivo .

Dejar${\displaystyle y=f(x)}$Sea una función continuamente diferenciable .${\displaystyle s}$sea ​​la longitud del arco del taxi del gráfico de${\displaystyle f}$a intervalos${\displaystyle [a,b]}$. Tomemos una partición del intervalo en subintervalos infinitesimales iguales, y sea${\displaystyle \Delta s_{i}}$sea ​​la longitud del taxi del${\displaystyle i}$-º subarco. Entonces ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|.}$$

Según el teorema del valor medio , existe algún punto${\displaystyle x_{i}^{*}}$entre${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle x_{i-1}}$de tal manera que${\displaystyle f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}$. ^{[ 7 ]} Entonces la ecuación anterior se puede escribir

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\,\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|).}$$

Entonces${\displaystyle s}$se da como la suma de cada partición de${\displaystyle s}$en${\displaystyle [a,b]}$a medida que se vuelven arbitrariamente pequeños : $${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx.\end{aligned}}}$$ Para probar esto, tome el círculo de radio del taxi${\displaystyle r}$centrada en el origen. Su curva en el primer cuadrante viene dada por${\displaystyle f(x)=-x+r}$cuya longitud es

$${\displaystyle s=\int _{0}^{r}1+\left|-1\right|\,dx=2r.}$$

Multiplicando este valor por${\displaystyle 4}$para dar cuenta de los cuadrantes restantes da${\displaystyle 8r}$, que coincide con la circunferencia de un círculo de taxi. ^{[ 8 ]} Ahora tomemos el círculo euclidiano de radio${\displaystyle r}$centrado en el origen, que viene dado por${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$Su longitud de arco en el primer cuadrante viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{r}1+\left|{\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right|\,dx\\[6pt]&=\left.x+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\vphantom {\frac {1}{1}}}\right|_{0}^{r}\\[6pt]&=r-(-r)\\[6pt]&=2r\end{aligned}}}$$

Al considerar los cuadrantes restantes se obtiene${\displaystyle 4\times 2r=8r}$Nuevamente. Por lo tanto, la circunferencia del círculo del taxi y el círculo euclidiano en la métrica del taxi son iguales. ^{[ 9 ]} De hecho, para cualquier función${\displaystyle f}$que sea monótona y diferenciable con una derivada continua sobre un intervalo${\displaystyle [a,b]}$, la longitud del arco de${\displaystyle f}$encima${\displaystyle [a,b]}$es${\displaystyle (ba)+\left|f(b)-f(a)\right|}$. ^{[ 10 ]}

Dos triángulos son congruentes si y solo si tres lados correspondientes tienen la misma distancia y tres ángulos correspondientes tienen la misma medida. Existen varios teoremas que garantizan la congruencia de triángulos en la geometría euclidiana, a saber: Ángulo-Ángulo-Lado (AAL), Ángulo-Lado-Ángulo (ALA), Lado-Ángulo-Lado (LAL) y Lado-Lado-Lado (LLL). Sin embargo, en la geometría de los taxis, solo el teorema LAL garantiza la congruencia de triángulos. ^{[ 11 ]}

Tomemos, por ejemplo, dos triángulos rectángulos isósceles de taxi cuyos ángulos miden 45-90-45. Los dos catetos de ambos triángulos tienen una longitud de taxi 2, pero las hipotenusas no son congruentes. Este contraejemplo elimina AAS, ASA y SAS. También elimina AASS, AAAS e incluso ASASA. Tener tres ángulos y dos lados congruentes no garantiza la congruencia de triángulos en geometría de taxi. Por lo tanto, el único teorema de congruencia de triángulos en geometría de taxi es SASAS, donde los tres lados correspondientes deben ser congruentes y al menos dos ángulos correspondientes deben ser congruentes. ^{[ 12 ]} Este resultado se debe principalmente al hecho de que la longitud de un segmento de línea depende de su orientación en geometría de taxi.

Al resolver un sistema subdeterminado de ecuaciones lineales, el término de regularización para el vector de parámetros se expresa en términos de la${\displaystyle \ell _{1}}$norma (geometría del taxi) del vector. ^{[ 13 ]} Este enfoque aparece en el marco de recuperación de señales llamado detección comprimida .

La geometría de taxicab puede utilizarse para evaluar las diferencias en las distribuciones de frecuencia discretas. Por ejemplo, en el empalme de ARN , las distribuciones posicionales de hexámeros , que representan la probabilidad de que cada hexámero aparezca en cada nucleótido cercano a un sitio de empalme, pueden compararse con la distancia L1. Cada distribución de posición puede representarse como un vector donde cada entrada representa la probabilidad de que el hexámero comience en un nucleótido determinado. Una gran distancia L1 entre los dos vectores indica una diferencia significativa en la naturaleza de las distribuciones, mientras que una distancia pequeña denota distribuciones de forma similar. Esto equivale a medir el área entre las dos curvas de distribución, ya que el área de cada segmento es la diferencia absoluta entre las probabilidades de las dos curvas en ese punto. Al sumarse para todos los segmentos, proporciona la misma medida que la distancia L1. ^{[ 14 ]}