Binomial (polinomial)

En álgebra , un binomio es un polinomio que es la suma de dos términos, cada uno de los cuales es un monomio . ^{[ 1 ]} Es el tipo más simple de polinomio disperso después de los monomios.

Un ideal tórico es un ideal generado por binomios que son diferencia de monomios ; es decir, binomios cuyos dos coeficientes son 1 y −1 . Una variedad tórica es una variedad algebraica definida por un ideal tórico.

Para cada ordenación monomial admisible, la base de Gröbner mínima de un ideal tórico consiste únicamente en diferencias de monomios. (Esto es una consecuencia inmediata del algoritmo de Buchberger que puede producir únicamente diferencias de monomios cuando se parte de diferencias de monomios.

De manera similar, un ideal binomial es un ideal generado por monomios y binomios (es decir, se libera la restricción anterior sobre el coeficiente), y la base mínima de Gröbner de un ideal binomial contiene solo monomios y binomios. Los monomios deben incluirse en la definición de un ideal binomial, porque, por ejemplo, si un ideal binomial contiene ⁠${\displaystyle yx}$y​​${\displaystyle y-2x}$⁠ , también contiene ⁠${\displaystyle (yx)-(y-2x)=x}$.​

Un binomio es un polinomio que es la suma de dos monomios. Un binomio en una sola indeterminada (también conocido como binomio univariado ) se puede escribir de la forma

${\displaystyle ax^{m}-bx^{n},}$

donde a y b son números , m y n son enteros distintos no negativos y x es un símbolo que se denomina indeterminado o, por razones históricas, variable . En el contexto de los polinomios de Laurent , un binomio de Laurent , a menudo llamado simplemente binomio , se define de manera similar, pero los exponentes m y n pueden ser negativos.

De forma más general, un binomio puede escribirse ^{[ 2 ]} como:

${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0,9x^{3}+\pi y^{2}}$

${\displaystyle 2x^{3}+7}$

${\displaystyle 11x-2x^{2}}$

• El binomio x² − y² , la diferencia de dos cuadrados , se puede factorizar como ^el producto de otros dos binomios ^:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(xy)(x+y).}$

Este es un caso especial de la fórmula más general:

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(xy)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{nk}.}$

Al trabajar con números complejos , esto también se puede extender a:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• El producto de un par de binomios lineales ( ax + b ) y ( cx + d ) es un trinomio :

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• Un binomio elevado a la enésima potencia , representado como ( x + y ) ^{ⁿ, puede} expandirse mediante el teorema del binomio o, equivalentemente, utilizando el triángulo de Pascal . Por ejemplo, el cuadrado ( x + y ) ^² del binomio ( x + y ) es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos y el doble del producto de los términos, es decir:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Los números (1,  2,  1) que aparecen como multiplicadores de los términos en esta expansión son los coeficientes binomiales que se encuentran dos filas más abajo de la parte superior del triángulo de Pascal. La expansión de la enésima potencia utiliza los números que se ^encuentran n filas más abajo de la parte superior del triángulo.

• Una aplicación de la fórmula anterior para el cuadrado de un binomio es la " fórmula ( m , n ) " para generar ternas pitagóricas :

Para m < n , sea a = n ² − m ² , b = 2 mn , y c = n ² + m ² ; entonces a ² + b ² = c ² .

• Los binomios que son sumas o diferencias de cubos se pueden factorizar en polinomios de menor grado de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(xy)(x^{2}+xy+y^{2})}$

• Completando el cuadrado
• Distribución binomial
• Lista de temas sobre factorial y binomial (que contiene una gran cantidad de enlaces relacionados)

• Bostock, L .; Chandler, S. (1978). Matemáticas puras 1. Oxford University Press . pág.  36. ISBN 0-85950-092-6.