Mapa biarmónico

En el campo matemático de la geometría diferencial , un mapa biarmónico es un mapa entre variedades riemannianas o pseudoriemannianas que satisface una cierta ecuación diferencial parcial de cuarto orden . Una subvariedad biarmónica se refiere a una incrustación o inmersión en una variedad riemanniana o pseudoriemanniana que es un mapa biarmónico cuando el dominio está equipado con su métrica inducida. El problema de entender los mapas biarmónicos fue planteado por James Eells y Luc Lemaire en 1983. ^{[ 1 ]} El estudio de los mapas armónicos , del cual el estudio de los mapas biarmónicos es una extensión (cualquier mapa armónico es también un mapa biarmónico), ha sido (y sigue siendo) un campo de estudio activo durante los últimos veinte años. ^{[ 2 ]} Un caso simple de mapas biarmónicos viene dado por las funciones biarmónicas .

Dadas las variedades riemannianas o pseudoriemannianas ( M , g ) y ( N , h ) , una aplicación f de M a N que es diferenciable al menos cuatro veces se llama aplicación biarmónica si $${\displaystyle \Delta \Delta f+\sum _{i=1}^{m}R^{h}{\big (}\Delta f,df(e_{i}),df(e_{i}){\big )}=0;}$$ Dado cualquier punto p de M , cada lado de esta ecuación es un elemento del espacio tangente a N en f ( p ) . ^{[ 3 ]} En otras palabras, la ecuación anterior es una igualdad de secciones del fibrado vectorial f ^* TN → M . En la ecuación, e ₁ , ..., e _m es una base g -ortonormal arbitraria del espacio tangente a M y R ^h es el tensor de curvatura de Riemann , siguiendo la convención R ( u , v , w ) = ∇ _u ∇ _v w − ∇ _v ∇ _u w − ∇ _{[ u , v ]} w . La cantidad ∆ f es el "campo de tensión" o "laplaciano" de f , como fue introducido por Eells y Sampson en el estudio de las aplicaciones armónicas. ^{[ 4 ]}

En términos de las operaciones de traza , producto interior y retroceso , la ecuación del mapa biarmónico se puede escribir como $${\displaystyle \Delta \Delta f+\operatorname {tr} _{g}{\Big (}f^{\ast }{\big (}\iota _{\Delta f}R^{h}{\big )}{\Big )}=0.}$$ En términos de coordenadas locales x ⁱ para M y coordenadas locales y ^α para N , la ecuación del mapa biarmónico se escribe como $${\displaystyle g^{ij}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma }\right)-\Gamma _{ij}^{k}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{k}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma }\right)+{\frac {\partial f^{\delta }}{\partial x^{i}}}\Gamma _{\delta \epsilon }^{\alpha }\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\epsilon }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\epsilon }(\Delta f)^{\gamma }\right)\right)+g^{ij}R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }(\Delta f)^{\beta }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\delta }}{\partial x^{j}}}=0,}$$ en la que se utiliza la convención de suma de Einstein con las siguientes definiciones de los símbolos de Christoffel , el tensor de curvatura de Riemann y el campo de tensión : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right)\\\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \delta }\left({\frac {\partial h_{\gamma \delta }}{\partial y^{\beta }}}+{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\gamma }}}-{\frac {\partial h_{\beta \gamma }}{\partial y^{\delta }}}\right)\\R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }&={\frac {\partial \Gamma _{\gamma \delta }^{\alpha }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\beta \delta }^{\alpha }}{\partial y^{\gamma }}}+\Gamma _{\beta \rho }^{\alpha }\Gamma _{\gamma \delta }^{\rho }-\Gamma _{\gamma \rho }^{\alpha }\Gamma _{\beta \delta }^{\rho }\\\left(\Delta f\right)^{\alpha }&=g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\right).\end{aligned}}}$$ De cualquiera de estas representaciones de la ecuación se desprende claramente que cualquier mapeo armónico es automáticamente biarmónico. Por esta razón, un mapeo biarmónico propiamente dicho se refiere a un mapeo biarmónico que no es armónico.

En el caso particular en que f es una inmersión (pseudo)riemanniana, es decir, una inmersión donde g es igual a la métrica inducida f ^* h , se dice que se tiene una subvariedad biarmónica en lugar de una aplicación biarmónica. Dado que el vector de curvatura media de f es igual al laplaciano de f  : ( M , f ^* h ) → ( N , h ) , se sabe que una inmersión es mínima si y solo si es armónica. En particular, cualquier inmersión mínima es automáticamente una subvariedad biarmónica . Una subvariedad biarmónica propiamente dicha se refiere a una subvariedad biarmónica que no es mínima.

La motivación para la ecuación del mapa biarmónico proviene del funcional de bienergia.$${\displaystyle E_{2}(f)={\frac {1}{2}}\,\int _{M}\left|\Delta f\right|_{h}^{2}\,dv_{g},}$$ en el contexto donde M es cerrado y g y h son ambos riemannianos; dv _g denota la medida de volumen en${\displaystyle M}$inducido por g . Eells y Lemaire, en 1983, sugirieron el estudio de los puntos críticos de este funcional. ^{[ 5 ]} Guo Ying Jiang, en 1986, calculó su primera fórmula de variación, encontrando así la ecuación del mapa biarmónico anterior como la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente . ^{[ 6 ]} Los mapas armónicos corresponden a puntos críticos para los cuales el funcional de bioenergía toma su valor mínimo posible de cero.

Se conocen varios ejemplos de mapas biarmónicos, como las inversas de proyecciones estereográficas en el caso especial de cuatro dimensiones y las inversiones del espacio euclidiano perforado . ^{[ 7 ]} Existen muchos ejemplos de subvariedades biarmónicas, como (para cualquier k ) el toro de Clifford generalizado.$${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+2}:x_{1}^{2}+\cdots +x_{k+1}^{2}=x_{k+2}^{2}+\cdots +x_{n+2}^{2}={\frac {1}{2}}\right\},}$$ como una subvariedad de la ( n + 1) -esfera. ^{[ 8 ]} Es mínima si y solo si n es par e igual a 2 k .

Las curvas biarmónicas en formas espaciales tridimensionales pueden estudiarse mediante las ecuaciones de Frenet . De ello se deduce fácilmente que toda curva biarmónica de velocidad constante en una forma espacial tridimensional de curvatura no positiva debe ser geodésica. ^{[ 9 ]} Cualquier curva biarmónica de velocidad constante en la esfera tridimensional redonda S ³ puede considerarse como la solución de una cierta ecuación diferencial ordinaria lineal de cuarto orden con coeficientes constantes para una función con valores en R ^{4. [ 10 ]} De este modo, la situación puede analizarse completamente, con el resultado de que cualquier curva de este tipo es, salvo una isometría de la esfera:

• una parametrización de velocidad constante de la intersección de S ³ ⊂ R ⁴ con el subespacio lineal bidimensional R × R × {0} × {0}
• una parametrización de velocidad constante de la intersección de S ³ ⊂ R ⁴ con el subespacio afín bidimensional R × R × { d ₁ } × { d ₂ } , para cualquier elección de ( d ₁ , d ₂ ) que se encuentre en el círculo de radio 2 ^−1/2 alrededor del origen en R ²
• una reparametrización a velocidad constante de$${\displaystyle t\mapsto {\Big (}{\frac {\cos at}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin at}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos bt}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin bt}{\sqrt {2}}}{\Big )}}$$para cualquier ( a , b ) en el círculo de radio 2 ^1/2 alrededor del origen en R ² .

En particular, cada curva biarmónica de velocidad constante en S ³ tiene una curvatura geodésica constante .

Como consecuencia del estudio puramente local de las ecuaciones de Gauss-Codazzi y la ecuación del mapa biarmónico, cualquier superficie biarmónica conexa en S ³ debe tener una curvatura media constante. ^{[ 11 ]} Si es distinta de cero (de modo que la superficie no es mínima), entonces la segunda forma fundamental debe tener una longitud constante igual a 2 ^1/2 , como se deduce de la ecuación del mapa biarmónico. Las superficies con tales condiciones geométricas estrictas pueden clasificarse completamente, con el resultado de que cualquier superficie biarmónica conexa en S ³ debe ser localmente (salvo isometría) parte de la hiperesfera. $${\displaystyle \left\{{\Big (}(w,x,y,{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big )}:w^{2}+x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}}\right\},}$$ o mínima. ^{[ 12 ]} De manera similar, cualquier hipersuperficie biarmónica del espacio euclidiano que tenga curvatura media constante debe ser mínima. ^{[ 13 ]}

Guo Ying Jiang demostró que si g y h son riemannianas, y si M es cerrada y h tiene curvatura seccional no positiva , entonces una aplicación de ( M , g ) a ( N , h ) es biarmónica si y solo si es armónica. ^{[ 14 ]} La demostración consiste en mostrar que, debido a la suposición de curvatura seccional, el laplaciano de | ∆f | ^² es no negativo, en cuyo punto se aplica el principio del máximo . Este resultado y demostración se pueden comparar con el teorema de anulación de Eells y Sampson, que dice que si además la curvatura de Ricci de g es no negativa, entonces una aplicación de ( M , g ) a ( N , h ) es armónica si y solo si es totalmente geodésica . ^{[ 15 ]} Como caso especial del resultado de Jiang, una subvariedad cerrada de una variedad riemanniana de curvatura seccional no positiva es biarmónica si y solo si es mínima. En parte basándose en estos resultados, R. Caddeo, S. Montaldo y C. Oniciuc conjeturaron que toda subvariedad biarmónica de una variedad riemanniana de curvatura seccional no positiva debe ser mínima. ^{[ 16 ]} Sin embargo, ahora se sabe que esto es falso. ^{[ 17 ]} El caso especial de subvariedades del espacio euclidiano es una conjetura anterior de Bang-Yen Chen . ^{[ 18 ]} La conjetura de Chen se ha demostrado en varios casos geométricamente especiales. ^{[ 19 ]}

• Ecuaciones de Bi-Yang-Mills , generalización no lineal