Axioma del infinito

En la teoría axiomática de conjuntos y en las ramas de las matemáticas y la filosofía que la utilizan, el axioma del infinito es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito , concretamente un conjunto que contiene los números naturales . Fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo como parte de su teoría de conjuntos en 1908. ^{[ 1 ]}

Utilizando símbolos primitivos de lógica de primer orden , el axioma se puede expresar de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \ (\exists o\ (o\in \mathrm {I} \ \land \lnot \exists n\ (n\in o))\ \land \ \forall x\ (x\in \mathrm {I} \Rightarrow \exists y\ (y\in \mathrm {I} \ \land \ \forall a\ (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x))))).}$

Si definimos${\displaystyle \varnothing }$ser el conjunto vacío y reconocer la operación sucesora:

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \,(\varnothing \in \mathrm {I} \,\land \,\forall x\,(x\in \mathrm {I} \Rightarrow \,(x\cup \{x\})\in \mathrm {I} )).}$

Algunos matemáticos pueden llamar a un conjunto construido de esta manera un conjunto inductivo .

Una formulación en lenguaje natural de este axioma puede leerse como: " Existe un conjunto 𝐈 tal que el conjunto vacío es un elemento de él, y para cada elemento${\displaystyle x}$de 𝐈 , existe un elemento${\displaystyle y}$de 𝐈 tal que los elementos de${\displaystyle y}$consistir en${\displaystyle x}$sí mismo y los elementos de${\displaystyle x}$"

Este axioma está estrechamente relacionado con la construcción de von Neumann de los números naturales en la teoría de conjuntos, en la que el sucesor de x se define como x ∪ { x }. Si x es un conjunto, entonces se deduce de los demás axiomas de la teoría de conjuntos que este sucesor también es un conjunto definido de forma única. Los sucesores se utilizan para definir la codificación usual de los números naturales en la teoría de conjuntos . En esta codificación, cero es el conjunto vacío:

0 = {}.

El número 1 es el sucesor del 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Asimismo, 2 es el sucesor de 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

etcétera:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Una consecuencia de esta definición es que todo número natural es igual al conjunto de todos los números naturales precedentes. La cantidad de elementos en cada conjunto, en el nivel superior, es igual al número natural representado, y la profundidad de anidamiento del conjunto vacío más anidado {}, incluyendo su anidamiento en el conjunto que representa el número del cual forma parte, también es igual al número natural que representa dicho conjunto.

Esta construcción forma los números naturales. Sin embargo, los demás axiomas son insuficientes para probar la existencia del conjunto de todos los números naturales,${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$Por lo tanto, su existencia se toma como un axioma: el axioma del infinito. Este axioma afirma que existe un conjunto I que contiene al 0 y es cerrado bajo la operación de tomar el sucesor; es decir, para cada elemento de I , el sucesor de ese elemento también está en I.

Por lo tanto, la esencia del axioma es:

Existe un conjunto, I , que incluye todos los números naturales.

El axioma del infinito es también uno de los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel .

El conjunto infinito I es un superconjunto de los números naturales. Para demostrar que los números naturales constituyen un conjunto, se puede aplicar el esquema axiomático de especificación para eliminar los elementos no deseados, obteniendo así el conjunto N de todos los números naturales. Este conjunto es único por el axioma de extensionalidad .

Para extraer los números naturales, necesitamos una definición de qué conjuntos son números naturales. Los números naturales se pueden definir sin asumir ningún axioma, excepto el axioma de extensionalidad y el axioma de inducción : un número natural es cero o sucesor, y cada uno de sus elementos es cero o sucesor de otro de sus elementos. En lenguaje formal, la definición dice:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

O, incluso de forma más formal:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

Algunos textos antiguos utilizan una versión aparentemente más débil del axioma del infinito, a saber:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.}$

Esto dice que x no es vacío y que para cada elemento y de x hay otro elemento z de x tal que y es un subconjunto de z y y no es igual a z . Esto implica que x es un conjunto infinito sin decir mucho sobre su estructura. Sin embargo, con la ayuda de los otros axiomas de ZF, podemos demostrar que esto implica la existencia de ω. Primero, si tomamos el conjunto potencia de cualquier conjunto infinito x , entonces ese conjunto potencia contendrá elementos que son subconjuntos de x de cada cardinalidad finita (entre otros subconjuntos de x ). Demostrar la existencia de esos subconjuntos finitos puede requerir el axioma de separación o los axiomas de emparejamiento y unión. Luego podemos aplicar el axioma de reemplazo para reemplazar cada elemento de ese conjunto potencia de x por el número ordinal inicial de la misma cardinalidad (o cero, si no hay tal ordinal). El resultado será un conjunto infinito de ordinales. Entonces podemos aplicar el axioma de unión para obtener un ordinal mayor o igual que ω.

El axioma de infinito no puede demostrarse a partir de los demás axiomas de ZFC si estos son consistentes. (Para comprender por qué, observe que ZFC implica la consistencia de ZFC − Infinito y utilice el segundo teorema de incompletitud de Gödel ).

La negación del axioma del infinito no puede derivarse del resto de los axiomas de ZFC, si estos son consistentes. (Esto equivale a decir que ZFC es consistente si los demás axiomas lo son). Por lo tanto, ZFC no implica ni el axioma del infinito ni su negación, y es compatible con ambos.

De hecho, utilizando la jerarquía de von Neumann , podemos construir un modelo de ZFC − Infinito + (¬Infinito). Es${\displaystyle V_{\omega }\!}$, la clase de conjuntos hereditariamente finitos , con la relación de pertenencia heredada. Nótese que si el axioma del conjunto vacío no se toma como parte de este sistema (ya que se puede derivar de ZF – Vacío), entonces el dominio vacío también satisface ZFC − Infinito + ¬Infinito, ya que todos sus axiomas están cuantificados universalmente y, por lo tanto, se satisfacen trivialmente si no existe ningún conjunto.

La cardinalidad del conjunto de números naturales, aleph nulo (${\displaystyle \aleph _{0}}$), posee muchas de las propiedades de un axioma de gran cardinalidad . Por lo tanto, el axioma del infinito a veces se considera el primer axioma de gran cardinalidad , y, a la inversa, los axiomas de gran cardinalidad a veces se denominan axiomas de infinito más fuertes.

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