Dominio vacío

En lógica de primer orden , el dominio vacío es el conjunto vacío , sin elementos. En lógica tradicional y clásica, los dominios son restringidos a no vacíos para que ciertos teoremas sean válidos. Se demuestra que las interpretaciones con un dominio vacío son un caso trivial mediante una convención que se originó al menos en 1927 con Bernays y Schönfinkel (aunque posiblemente antes) , pero que a menudo se atribuye a la Lógica Matemática de Quine de 1951. ^[¹^] La convención consiste en asignar el valor de verdad a cualquier fórmula que comience con un cuantificador universal , mientras que a cualquier fórmula que comience con un cuantificador existencial se le asigna el valor de falsedad . Esto se deriva de la idea de que las proposiciones cuantificadas existencialmente tienen una implicación existencial (es decir, implican la existencia de algo), mientras que las proposiciones cuantificadas universalmente no. Se dice que esta interpretación proviene de George Boole a finales del siglo XIX, pero esto es discutible. En la teoría de modelos moderna , se deduce inmediatamente para las condiciones de verdad de las proposiciones cuantificadas:

$A\models \exists x\phi (x){\text{ si y solo si existe un }}a\in A{\text{ tal que }}A\models \phi [a]$
$A\models \forall x\phi (x){\text{ si y solo si todo }}a\in A{\text{ es tal que }}A\models \phi [a]$

En otras palabras, una cuantificación existencial de la fórmula abierta φ es verdadera en un modelo si y solo si existe algún elemento en el dominio (del modelo) que satisface la fórmula; es decir, si y solo si ese elemento tiene la propiedad denotada por la fórmula abierta. Una cuantificación universal de una fórmula abierta φ es verdadera en un modelo si y solo si todo elemento en el dominio satisface esa fórmula. (Nótese que en el metalenguaje, "todo lo que es tal que X es tal que Y" se interpreta como una generalización universal del condicional material "si algo es tal que X entonces es tal que Y". Además, a los cuantificadores se les dan sus lecturas objetuales habituales, de modo que una proposición existencial positiva tiene una implicación existencial, mientras que una universal no la tiene). Un caso análogo concierne a la conjunción vacía y la disyunción vacía. Las cláusulas semánticas para, respectivamente, conjunciones y disyunciones están dadas por

$A\models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\iff \forall \phi _{i}(1\leq i\leq n),A\models \phi _{i}$
$A\models \phi _{1}\lor \dots \lor \phi _{n}\iff \exists \phi _{i}(1\leq i\leq n),A\models \phi _{i}$ .

Es fácil ver que la conjunción vacía es trivialmente verdadera, y la disyunción vacía trivialmente falsa.

Las lógicas cuyos teoremas son válidos en todos los dominios, incluido el vacío, fueron consideradas por primera vez por Jaskowski (1934), Mostowski (1951), Hailperin (1953), Quine (1954), Leonard (1956) y Hintikka (1959). Si bien Quine denominó a estas lógicas lógica "inclusiva", ahora se las conoce como lógica libre .

Véase también

Referencias

↑ Quine, WV (1951). Lógica matemática . Harvard University Press. doi : 10.4159/9780674042469 . ISBN 978-0-674-04246-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[1] Quine, WV (1951). Lógica matemática . Harvard University Press. doi : 10.4159/9780674042469 . ISBN 978-0-674-04246-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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