Sistema autónomo (matemáticas)

En matemáticas , un sistema autónomo o ecuación diferencial autónoma es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que no depende explícitamente de la variable independiente . Cuando la variable es el tiempo, también se les denomina sistemas invariantes en el tiempo .

Muchas leyes de la física , donde la variable independiente suele ser el tiempo , se expresan como sistemas autónomos porque se supone que las leyes de la naturaleza que rigen ahora son idénticas a las de cualquier punto del pasado o del futuro.

Un sistema autónomo es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma donde x toma valores en el espacio euclidiano n -dimensional ; t se interpreta a menudo como tiempo. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$$

Se distingue de los sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma en que la ley que rige la evolución del sistema no depende únicamente del estado actual del sistema sino también del parámetro t , que a menudo se interpreta como tiempo; dichos sistemas, por definición, no son autónomos. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$$

Las soluciones son invariantes bajo traslaciones horizontales:

Sea una solución única del problema de valor inicial para un sistema autónomo Entonces resuelve Denotando se obtiene y , por lo tanto Para la condición inicial, la verificación es trivial, ${\displaystyle x_{1}(t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.}$$${\displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.}$$${\displaystyle s=t-t_{0}}$${\displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)}$${\displaystyle ds=dt}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).}$$$${\displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.}$$

La ecuación es autónoma, ya que la variable independiente ( ) no aparece explícitamente en la ecuación. Para graficar el campo de pendientes y la isoclina para esta ecuación, se puede usar el siguiente código en GNU Octave / MATLAB.${\displaystyle y'=\left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$

Ffun = @( X , Y )( 2 - Y ) .* Y ; % función f(x,y)=(2-y)y [ X , Y ] = meshgrid ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % elegir los tamaños de la gráfica DY = Ffun ( X , Y ); DX = ones ( size ( DY )); % generar los valores de la gráfica quiver ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % graficar el campo de dirección en negro hold on ; contour ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % agregar las isoclinas(0 1 2) en verde title ( 'Campo de pendiente e isoclinas para f(x,y)=(2-y)y' )

Se puede observar en la gráfica que la función es invariante, y también lo es la forma de la solución, es decir, para cualquier desplazamiento . ${\displaystyle \left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y(x)=y(x-x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

Resolver la ecuación simbólicamente en MATLAB , ejecutando

syms y(x) ; ecuación = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y ); % resuelve la ecuación para obtener una solución general simbólicamente y_general = dsolve ( ecuación );

obtiene dos soluciones de equilibrio , y , y una tercera solución que involucra una constante desconocida , . ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=2}$${\displaystyle C_{3}}$-2/(exp(C3-2*x)-1)

Al seleccionar algunos valores específicos para la condición inicial , se puede agregar la gráfica de varias soluciones.

% resolver el problema de valor inicial simbólicamente % para diferentes condiciones iniciales y1 = dsolve ( ecuación , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( ecuación , y ( 2 ) == 1 ); y3 = dsolve ( ecuación , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( ecuación , y ( 1 ) == 3 ); y5 = dsolve ( ecuación , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( ecuación , y ( 3 ) == 3 ); % graficar las soluciones ezplot ( y1 , [ 0 6 ]); ezplot ( y2 , [ 0 6 ]); ezplot ( y3 , [ 0 6 ]); ezplot ( y4 , [ 0 6 ]); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]); título ( 'Campo de pendientes, isoclinas y soluciones para f(x,y)=(2-y)y' ) leyenda ( 'Campo de pendientes' , 'Isoclinas' , 'Soluciones y_{1..6}' ); texto ([ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_1' , 'y_2' , 'y_3' })); texto ([ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_4' , 'y_5' , 'y_6'})); cuadrícula en ;

Los sistemas autónomos pueden analizarse cualitativamente utilizando el espacio de fases ; en el caso de una variable, esta es la línea de fase .

Las siguientes técnicas se aplican a ecuaciones diferenciales autónomas unidimensionales. Cualquier ecuación unidimensional de orden es equivalente a un sistema de primer orden de dimensión (como se describe en la reducción a un sistema de primer orden ), pero no necesariamente a la inversa. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

La ecuación autónoma de primer orden es separable , por lo que puede resolverse reordenándola en su forma integral. $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$$$${\displaystyle t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

La ecuación autónoma de segundo orden es más difícil, pero se puede resolver ^{[ 2 ]} introduciendo la nueva variable y expresando la segunda derivada de mediante la regla de la cadena como de modo que la ecuación original se convierte en que es una ecuación de primer orden que no contiene ninguna referencia a la variable independiente . Resolviendo se obtiene como función de . Luego, recordando la definición de : $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$$$${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}}$$$${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}}$$

lo cual es una solución implícita.

El caso especial donde es independiente de${\displaystyle f}$${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}$$

se benefician de un tratamiento separado. ^{[ 3 ]} Este tipo de ecuaciones son muy comunes en la mecánica clásica porque siempre son sistemas hamiltonianos .

La idea es hacer uso de la identidad

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}}$$

lo cual se deduce de la regla de la cadena , salvo cualquier problema debido a la división por cero .

Al invertir ambos lados de un sistema autónomo de primer orden, se puede integrar inmediatamente con respecto a : ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

que es otra forma de ver la técnica de separación de variables. La segunda derivada debe expresarse como una derivada con respecto a en lugar de : ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}}$$

Para recalcar: lo que se ha logrado es que la segunda derivada con respecto a se ha expresado como una derivada de . Ahora se puede integrar la ecuación original de segundo orden: ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}}$$

Esta es una solución implícita. El mayor problema potencial radica en la incapacidad de simplificar las integrales, lo que implica dificultad o imposibilidad para evaluar las constantes de integración.

Utilizando el enfoque anterior, la técnica puede extenderse a la ecuación más general.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)}$$

donde es algún parámetro distinto de dos. Esto funcionará ya que la segunda derivada se puede escribir en una forma que involucre una potencia de . Reescribiendo la segunda derivada, reordenando y expresando el lado izquierdo como una derivada: ${\displaystyle n}$${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}}$$

La derecha llevará +/− si es par. El tratamiento debe ser diferente si : ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}}$$

No existe un método análogo para resolver ecuaciones autónomas de tercer orden o superior. Dichas ecuaciones solo pueden resolverse exactamente si presentan alguna otra propiedad simplificadora, como la linealidad o la dependencia del lado derecho de la ecuación únicamente con respecto a la variable dependiente ^{[ 4 ] [ 5 ]} (es decir, no con respecto a sus derivadas). Esto no debería sorprender, considerando que los sistemas autónomos no lineales en tres dimensiones pueden producir un comportamiento verdaderamente caótico , como el atractor de Lorenz y el atractor de Rössler .

Asimismo, las ecuaciones generales no autónomas de segundo orden no se pueden resolver explícitamente, ya que también pueden ser caóticas, como en un péndulo forzado periódicamente. ^{[ 6 ]}

En , donde es un vector columna de dimensión que depende de . ${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

La solución es donde es un vector constante. ^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle n\times 1}$

Para las EDO autónomas no lineales, es posible, bajo ciertas condiciones, desarrollar soluciones de duración finita ^{[ 8 ],} lo que significa que, debido a su propia dinámica, el sistema alcanzará el valor cero en un instante final y permanecerá en cero indefinidamente. Estas soluciones de duración finita no pueden ser funciones analíticas en toda la recta real y, dado que serán funciones no Lipschitz en el instante final, no cumplen con la unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Lipschitz.

Como ejemplo, la ecuación:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

Admite la solución de duración finita:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

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