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Computación bayesiana aproximada

La computación bayesiana aproximada ( ABC ) constituye una clase de métodos computacionales basados ​​en la estadística bayesiana que pueden utilizarse para estimar las distribu...

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Este artículo se publicó en la revista científica revisada por pares PLOS Computational Biology (2013). Haga clic para ver la versión publicada.

La computación bayesiana aproximada ( ABC ) constituye una clase de métodos computacionales basados ​​en la estadística bayesiana que pueden utilizarse para estimar las distribuciones posteriores de los parámetros del modelo.

En toda inferencia estadística basada en modelos , la función de verosimilitud es fundamental, ya que expresa la probabilidad de los datos observados bajo un modelo estadístico particular y, por lo tanto, cuantifica el respaldo que los datos brindan a valores específicos de los parámetros y a la elección entre diferentes modelos. Para modelos simples, generalmente se puede derivar una fórmula analítica para la función de verosimilitud. Sin embargo, para modelos más complejos, puede resultar difícil obtener una fórmula analítica o la evaluación de la función de verosimilitud puede ser computacionalmente muy costosa.

Los métodos ABC evitan la evaluación de la función de verosimilitud. De esta forma, amplían el ámbito de los modelos para los que se puede considerar la inferencia estadística. Si bien los métodos ABC tienen una sólida base matemática, inevitablemente implican suposiciones y aproximaciones cuyo impacto debe evaluarse cuidadosamente. Además, el mayor dominio de aplicación de los métodos ABC agrava los desafíos de la estimación de parámetros y la selección de modelos .

ABC ha ganado popularidad rápidamente en los últimos años y en particular para el análisis de problemas complejos que surgen en las ciencias biológicas , por ejemplo en genética de poblaciones , ecología , epidemiología , biología de sistemas y propagación de radio . [ 1 ]

Historia

Las primeras ideas relacionadas con ABC se remontan a la década de 1980. Donald Rubin , al analizar la interpretación de enunciados bayesianos en 1984, [ 2 ] describió un mecanismo de muestreo hipotético que produce una muestra de la distribución posterior . Este esquema era más bien un experimento mental conceptual para demostrar qué tipo de manipulaciones se realizan al inferir las distribuciones posteriores de los parámetros. La descripción del mecanismo de muestreo coincide exactamente con la del esquema de rechazo ABC , y este artículo puede considerarse el primero en describir la computación bayesiana aproximada. Sin embargo, Francis Galton construyó un quincunx de dos etapas a finales del siglo XIX que puede verse como una implementación física de un esquema de rechazo ABC para una sola incógnita (parámetro) y una sola observación. [ 3 ] Otro punto premonitorio fue planteado por Rubin al argumentar que, en la inferencia bayesiana, los estadísticos aplicados no deberían conformarse únicamente con modelos analíticamente manejables, sino considerar métodos computacionales que les permitan estimar la distribución posterior de interés. De esta manera, se puede considerar una gama más amplia de modelos. Estos argumentos son particularmente relevantes en el contexto de ABC.

En 1984, Peter Diggle y Richard Gratton sugirieron utilizar un esquema de simulación sistemática para aproximar la función de verosimilitud en situaciones donde su forma analítica es intratable . [ 4 ] Su método se basaba en definir una cuadrícula en el espacio de parámetros y usarla para aproximar la verosimilitud ejecutando varias simulaciones para cada punto de la cuadrícula. La aproximación se mejoraba luego aplicando técnicas de suavizado a los resultados de las simulaciones. Si bien la idea de usar la simulación para la prueba de hipótesis no era nueva, [ 5 ] [ 6 ] Diggle y Gratton aparentemente introdujeron el primer procedimiento que utilizaba la simulación para hacer inferencia estadística en una circunstancia donde la verosimilitud es intratable.

Aunque el enfoque de Diggle y Gratton abrió una nueva frontera, su método aún no era exactamente idéntico a lo que ahora se conoce como ABC, ya que buscaba aproximar la probabilidad en lugar de la distribución posterior. Un artículo de Simon Tavaré y coautores fue el primero en proponer un algoritmo ABC para la inferencia posterior. [ 7 ] En su trabajo fundamental, se consideró la inferencia sobre la genealogía de datos de secuencias de ADN, y en particular el problema de decidir la distribución posterior del tiempo hasta el ancestro común más reciente de los individuos muestreados. Dicha inferencia es analíticamente intratable para muchos modelos demográficos, pero los autores presentaron formas de simular árboles coalescentes bajo los modelos putativos. Se obtuvo una muestra de la distribución posterior de los parámetros del modelo aceptando/rechazando propuestas basadas en la comparación del número de sitios segregantes en los datos sintéticos y reales. Este trabajo fue seguido por un estudio aplicado sobre el modelado de la variación en el cromosoma Y humano por Jonathan K. Pritchard y coautores utilizando el método ABC. [ 8 ] Finalmente, Mark Beaumont y sus coautores establecieron el término computación bayesiana aproximada, [ 9 ] extendiendo aún más la metodología ABC y analizando la idoneidad del enfoque ABC más específicamente para problemas en genética de poblaciones. Desde entonces, ABC se ha extendido a aplicaciones fuera de la genética de poblaciones, como la biología de sistemas, la epidemiología y la filogeografía .

La computación bayesiana aproximada puede entenderse como una especie de versión bayesiana de la inferencia indirecta . [ 10 ] [ 11 ]

Se han desarrollado varios enfoques eficientes basados ​​en Monte Carlo para realizar muestreos de la distribución posterior ABC con fines de estimación y predicción. Una opción popular es el algoritmo SMC Samplers [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] adaptado al contexto ABC en el método (SMC-ABC). [ 15 ] [ 11 ] [ 16 ] [ 17 ]

Método

Motivación

Una encarnación común del teorema de Bayes relaciona la probabilidad condicional (o densidad) de un valor de parámetro particular.θ{\displaystyle \theta }datos proporcionadosD{\displaystyle D}a la probabilidad deD{\displaystyle D}dadoθ{\displaystyle \theta }por la regla

pag(θ|D)=pag(D|θ)pag(θ)pag(D){\displaystyle p(\theta |D)={\frac {p(D|\theta )p(\theta )}{p(D)}}},

dóndepag(θ|D){\displaystyle p(\theta |D)}denota la posterior,pag(D|θ){\displaystyle p(D|\theta )}la probabilidad,pag(θ){\displaystyle p(\theta )}lo anterior, ypag(D){\displaystyle p(D)}la evidencia (también denominada probabilidad marginal o probabilidad predictiva previa de los datos). Tenga en cuenta que el denominadorpag(D){\displaystyle p(D)}está normalizando la probabilidad total de la densidad posteriorpag(θ|D){\displaystyle p(\theta |D)}a uno y se puede calcular de esa manera.

La información previa representa creencias o conocimientos (como por ejemplo, restricciones físicas) sobreθ{\displaystyle \theta }antesD{\displaystyle D}está disponible. Dado que la distribución a priori reduce la incertidumbre, las estimaciones a posteriori tienen menos varianza, pero podrían estar sesgadas. Por conveniencia, la distribución a priori a menudo se especifica eligiendo una distribución particular entre un conjunto de familias de distribuciones bien conocidas y manejables, de modo que tanto la evaluación de las probabilidades a priori como la generación aleatoria de valores deθ{\displaystyle \theta }son relativamente sencillos. Para ciertos tipos de modelos, es más pragmático especificar la distribución a priori.pag(θ){\displaystyle p(\theta )}utilizando una factorización de la distribución conjunta de todos los elementos deθ{\displaystyle \theta }en términos de una secuencia de sus distribuciones condicionales. Si uno solo está interesado en las plausibilidades posteriores relativas de diferentes valores deθ{\displaystyle \theta }la evidenciapag(D){\displaystyle p(D)}Puede ignorarse, ya que constituye una constante de normalización que se cancela para cualquier razón de probabilidades posteriores. Sin embargo, sigue siendo necesario evaluar la probabilidad.pag(D|θ){\displaystyle p(D|\theta )}y el anteriorpag(θ){\displaystyle p(\theta )}Para numerosas aplicaciones, es computacionalmente costoso , o incluso completamente inviable, evaluar la probabilidad, [ 18 ] lo que motiva el uso de ABC para sortear este problema.

El algoritmo de rechazo ABC

Todos los métodos basados ​​en ABC aproximan la función de verosimilitud mediante simulaciones, cuyos resultados se comparan con los datos observados. [ 19 ] [ 11 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] Más específicamente, con el algoritmo de rechazo ABC —la forma más básica de ABC— primero se muestrea un conjunto de puntos de parámetros de la distribución previa. Dado un punto de parámetro muestreadoθ^{\displaystyle {\sombrero {\theta }}}, un conjunto de datosD^{\displaystyle {\hat {D}}}Luego se simula bajo el modelo estadístico.METRO{\displaystyle M}especificado porθ^{\displaystyle {\sombrero {\theta }}}. Si el generadoD^{\displaystyle {\hat {D}}}es demasiado diferente de los datos observadosD{\displaystyle D}, el valor del parámetro muestreado se descarta. En términos precisos,D^{\displaystyle {\hat {D}}}es aceptado con toleranciaϵ≥0{\displaystyle \epsilon \geq 0}si:

ρ(D^,D)≤ϵ{\displaystyle \rho ({\hat {D}},D)\leq \epsilon },

donde la medida de distanciaρ(D^,D){\displaystyle \rho ({\hat {D}},D)}determina el nivel de discrepancia entreD^{\displaystyle {\hat {D}}}yD{\displaystyle D}basado en una métrica dada (por ejemplo, distancia euclidiana ). Por lo general, es necesaria una tolerancia estrictamente positiva, ya que la probabilidad de que el resultado de la simulación coincida exactamente con los datos (eventoD^=D{\displaystyle {\hat {D}}=D}) es insignificante salvo en aplicaciones triviales de ABC, que en la práctica llevarían al rechazo de casi todos los puntos de parámetros muestreados. El resultado del algoritmo de rechazo de ABC es una muestra de valores de parámetros distribuidos aproximadamente según la distribución posterior deseada y, lo que es crucial, se obtiene sin necesidad de evaluar explícitamente la función de verosimilitud.

Estimación de parámetros mediante computación bayesiana aproximada: una visión general conceptual.

Estadísticas descriptivas

La probabilidad de generar un conjunto de datosD^{\displaystyle {\hat {D}}}con una pequeña distancia aD{\displaystyle D}Por lo general, disminuye a medida que aumenta la dimensionalidad de los datos. Esto conlleva una disminución sustancial en la eficiencia computacional del algoritmo básico de rechazo ABC mencionado anteriormente. Un enfoque común para mitigar este problema es reemplazarD{\displaystyle D}con un conjunto de estadísticas descriptivas de menor dimensiónS(D){\displaystyle S(D)}, que se seleccionan para capturar la información relevante enD{\displaystyle D}El criterio de aceptación en el algoritmo de rechazo ABC se convierte en:

ρ(S(D^),S(D))≤ϵ{\displaystyle \rho (S({\hat {D}}),S(D))\leq \epsilon }.

Si las estadísticas descriptivas son suficientes con respecto a los parámetros del modeloθ{\displaystyle \theta }, el aumento de eficiencia obtenido de esta manera no introduce ningún error. [ 23 ] De hecho, por definición, la suficiencia implica que toda la información enD{\displaystyle D}acerca deθ{\displaystyle \theta }es capturado porS(D){\displaystyle S(D)}.

Como se explica más adelante , fuera de la familia exponencial de distribuciones , suele ser imposible identificar un conjunto finito de estadísticas suficientes. Sin embargo, en aplicaciones donde se realiza inferencia con métodos ABC, a menudo se utilizan estadísticas descriptivas informativas, aunque posiblemente insuficientes.

Ejemplo

Un modelo de Markov oculto biestable dinámico

Un ejemplo ilustrativo es un sistema biestable que puede caracterizarse mediante un modelo oculto de Markov (HMM) sujeto a ruido de medición. Dichos modelos se emplean para muchos sistemas biológicos: se han utilizado, por ejemplo, en el desarrollo, la señalización celular , la activación /desactivación, el procesamiento lógico y la termodinámica del no equilibrio . Por ejemplo, el comportamiento del factor de transcripción Sonic hedgehog (Shh) en Drosophila melanogaster puede modelarse con un HMM. [ 24 ] El modelo dinámico (biológico) consta de dos estados: A y B. Si la probabilidad de una transición de un estado al otro se define comoθ{\displaystyle \theta }en ambas direcciones, entonces la probabilidad de permanecer en el mismo estado en cada paso de tiempo es1−θ{\displaystyle {1-\theta }}. La probabilidad de medir el estado correctamente esγ{\displaystyle \gamma }(y a la inversa, la probabilidad de una medición incorrecta es1−γ{\displaystyle {1-\gamma }}).

Debido a las dependencias condicionales entre estados en diferentes momentos, el cálculo de la probabilidad de los datos de series temporales es algo tedioso, lo que ilustra la motivación para usar ABC. Un problema computacional para ABC básico es la gran dimensionalidad de los datos en una aplicación como esta. La dimensionalidad se puede reducir usando la estadística de resumen.S{\displaystyle S}, que es la frecuencia de conmutaciones entre los dos estados. La diferencia absoluta se utiliza como medida de distancia.ρ(⋅,⋅){\displaystyle \rho (\cdot ,\cdot )}con toleranciaϵ=2{\displaystyle \epsilon =2}. La inferencia posterior sobre el parámetroθ{\displaystyle \theta }puede hacerse siguiendo los cinco pasos presentados en.

Paso 1: Suponga que los datos observados forman la secuencia de estados AAAABAABBAAAAAABAAAA, que se genera utilizandoθ=0,25{\displaystyle \theta =0.25}yγ=0,8{\displaystyle \gamma =0.8}. La estadística descriptiva asociada —el número de cambios entre los estados en los datos experimentales— esωmi=6{\displaystyle \omega _{E}=6}.

Paso 2: Suponiendo que no se sabe nada sobreθ{\displaystyle \theta }, una distribución a priori uniforme en el intervalo[0,1]{\displaystyle [0,1]}se emplea. El parámetroγ{\displaystyle \gamma }Se supone que es conocido y fijo al valor generador de datos.γ=0,8{\displaystyle \gamma =0.8}, pero en general también podría estimarse a partir de las observaciones. Un total denorte{\displaystyle n}Los puntos de los parámetros se extraen de la distribución a priori y el modelo se simula para cada uno de los puntos de los parámetros.θi: i=1,…,norte{\displaystyle \theta _{i}:{\text{ }}i=1,\ldots ,n}, lo que resulta ennorte{\displaystyle n}secuencias de datos simulados. En este ejemplo,norte=5{\displaystyle n=5}, con cada parámetro dibujado y conjunto de datos simulado registrado en la Tabla 1, columnas 2-3 . En la práctica,norte{\displaystyle n}Sería necesario que fuera mucho mayor para obtener una aproximación adecuada.

Paso 3: Se calcula la estadística descriptiva para cada secuencia de datos simulados.ωS,i: i=1,…,norte{\displaystyle \omega _{S,i}:{\text{ }}i=1,\ldots ,n}.

Paso 4: La distancia entre las frecuencias de transición observadas y simuladasρ(ωS,i,ωmi)=|ωS,i−ωmi|{\displaystyle \rho (\omega _{S,i},\omega _{E})=|\omega _{S,i}-\omega _{E}|}se calcula para todos los puntos de parámetros. Puntos de parámetros para los cuales la distancia es menor o igual aϵ{\displaystyle \epsilon }se aceptan como muestras aproximadas de la parte posterior.

Posterior deθ{\displaystyle \theta }obtenido en el ejemplo (rojo), comparado con la verdadera distribución posterior (negro) y simulaciones ABC con grandesnorte{\displaystyle n}. El uso de la estadística de resumen insuficienteω{\displaystyle \omega }introduce sesgos, incluso cuando se requiereϵ=0{\displaystyle \epsilon =0}(verde claro).

Paso 5: La distribución posterior se aproxima con los puntos de parámetros aceptados. La distribución posterior debe tener una probabilidad no despreciable para los valores de los parámetros en una región alrededor del valor verdadero deθ{\displaystyle \theta }en el sistema si los datos son suficientemente informativos. En este ejemplo, la probabilidad posterior se divide equitativamente entre los valores 0,08 y 0,43.

Las probabilidades posteriores se obtienen mediante ABC con grandesnorte{\displaystyle n}mediante la utilización de la estadística descriptiva (conϵ=0{\displaystyle \epsilon =0}yϵ=2{\displaystyle \epsilon =2}) y la secuencia completa de datos (conϵ=0{\displaystyle \epsilon =0}). Estos se comparan con la verdadera posterior, que se puede calcular de forma exacta y eficiente utilizando el algoritmo de Viterbi . La estadística de resumen utilizada en este ejemplo no es suficiente, ya que la desviación de la posterior teórica es significativa incluso bajo el estricto requisito deϵ=0{\displaystyle \epsilon =0}Se necesitaría una secuencia de datos observados mucho más larga para obtener una distribución posterior concentrada alrededor deθ=0,25{\displaystyle \theta =0.25}, el verdadero valor deθ{\displaystyle \theta }.

Este ejemplo de aplicación de ABC utiliza simplificaciones con fines ilustrativos. Existen aplicaciones más realistas de ABC en un número creciente de artículos revisados ​​por pares. [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 25 ] [ 26 ]

Comparación de modelos con ABC

Fuera de la estimación de parámetros, el marco ABC se puede utilizar para calcular las probabilidades posteriores de diferentes modelos candidatos. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] En tales aplicaciones, una posibilidad es utilizar el muestreo por rechazo de manera jerárquica. Primero, se muestrea un modelo de la distribución a priori para los modelos. Luego, se muestrean los parámetros de la distribución a priori asignada a ese modelo. Finalmente, se realiza una simulación como en ABC de un solo modelo. Las frecuencias de aceptación relativas para los diferentes modelos ahora aproximan la distribución posterior para estos modelos. Nuevamente, se han propuesto mejoras computacionales para ABC en el espacio de modelos, como la construcción de un filtro de partículas en el espacio conjunto de modelos y parámetros. [ 29 ]

Una vez estimadas las probabilidades posteriores de los modelos, se pueden aprovechar al máximo las técnicas de comparación de modelos bayesianos . Por ejemplo, para comparar las plausibilidades relativas de dos modelos.METRO1{\displaystyle M_{1}}yMETRO2{\displaystyle M_{2}}Se puede calcular su razón posterior, que está relacionada con el factor de Bayes.B1,2{\displaystyle B_{1,2}}:

pag(METRO1|D)pag(METRO2|D)=pag(D|METRO1)pag(D|METRO2)pag(METRO1)pag(METRO2)=B1,2pag(METRO1)pag(METRO2){\displaystyle {\frac {p(M_{1}|D)}{p(M_{2}|D)}}={\frac {p(D|M_{1})}{p(D|M_{2})}}{\frac {p(M_{1})}{p(M_{2})}}=B_{1,2}{\frac {p(M_{1})}{p(M_{2})}}}.

Si las probabilidades a priori del modelo son iguales, es decir,pag(METRO1)=pag(METRO2){\displaystyle p(M_{1})=p(M_{2})}—el factor de Bayes es igual a la razón posterior.

En la práctica, como se explica más adelante , estas medidas pueden ser muy sensibles a la elección de las distribuciones previas de los parámetros y las estadísticas descriptivas, por lo que las conclusiones sobre la comparación de modelos deben extraerse con precaución.

Peligros y soluciones

Como ocurre con todos los métodos estadísticos, la aplicación de los métodos basados ​​en ABC a problemas de modelado reales requiere inherentemente una serie de supuestos y aproximaciones. Por ejemplo, establecer el parámetro de tolerancia.ϵ{\displaystyle \epsilon }A cero garantiza un resultado exacto, pero normalmente hace que los cálculos sean prohibitivamente costosos. Por lo tanto, los valores deϵ{\displaystyle \epsilon }En la práctica, se utilizan valores mayores que cero, lo que introduce un sesgo. Asimismo, normalmente no se dispone de estadísticas suficientes y, en su lugar, se utilizan otras estadísticas descriptivas, lo que introduce un sesgo adicional debido a la pérdida de información. Otras fuentes de sesgo —por ejemplo, en el contexto de la selección de modelos— pueden ser más sutiles. [ 23 ] [ 31 ]

Al mismo tiempo, algunas de las críticas dirigidas a los métodos ABC, en particular en el campo de la filogeografía , [ 30 ] [ 32 ] [ 33 ] no son específicas de ABC y se aplican a todos los métodos bayesianos o incluso a todos los métodos estadísticos (por ejemplo, la elección de la distribución previa y los rangos de parámetros). [ 20 ] [ 34 ] Sin embargo, debido a la capacidad de los métodos ABC para manejar modelos mucho más complejos, algunos de estos inconvenientes generales son de particular relevancia en el contexto de los análisis ABC.

Esta sección analiza estos riesgos potenciales y revisa las posibles maneras de abordarlos.

Aproximación de la parte posterior

Una cantidad no despreciableϵ{\displaystyle \epsilon }viene con el precio que uno muestra depag(θ|ρ(D^,D)≤ϵ){\displaystyle p(\theta |\rho ({\hat {D}},D)\leq \epsilon )}en lugar de la verdadera posteriorpag(θ|D){\displaystyle p(\theta |D)}Con una tolerancia suficientemente pequeña y una medida de distancia razonable, la distribución resultantepag(θ|ρ(D^,D)≤ϵ){\displaystyle p(\theta |\rho ({\hat {D}},D)\leq \epsilon )}a menudo debería aproximarse a la distribución objetivo real.pag(θ|D){\displaystyle p(\theta |D)}razonablemente bien. Por otro lado, una tolerancia lo suficientemente grande como para que cada punto en el espacio de parámetros sea aceptado producirá una réplica de la distribución previa. Hay estudios empíricos de la diferencia entrepag(θ|ρ(D^,D)≤ϵ){\displaystyle p(\theta |\rho ({\hat {D}},D)\leq \epsilon )}ypag(θ|D){\displaystyle p(\theta |D)}como función deϵ{\displaystyle \epsilon }, [ 35 ] [ 11 ] y resultados teóricos para un valor superiorϵ{\displaystyle \epsilon }límite dependiente para el error en las estimaciones de parámetros. [ 36 ] La precisión de la posterior (definida como la pérdida cuadrática esperada) proporcionada por ABC en función deϵ{\displaystyle \epsilon }También se ha investigado. [ 37 ] Sin embargo, la convergencia de las distribuciones cuandoϵ{\displaystyle \epsilon }La aproximación a cero, y cómo depende de la medida de distancia utilizada, es un tema importante que aún requiere mayor investigación. En particular, sigue siendo difícil distinguir los errores introducidos por esta aproximación de los errores debidos a una especificación incorrecta del modelo. [ 20 ]

En un intento de corregir parte del error debido a un valor distinto de ceroϵ{\displaystyle \epsilon }Se ha sugerido el uso de regresión lineal ponderada local con ABC para reducir la varianza de las estimaciones posteriores. [ 9 ] El método asigna ponderaciones a los parámetros según la concordancia entre los resúmenes simulados y los observados, y realiza una regresión lineal entre los resúmenes y los parámetros ponderados en las proximidades de los resúmenes observados. Los coeficientes de regresión obtenidos se utilizan para corregir los parámetros muestreados en la dirección de los resúmenes observados. Se sugirió una mejora mediante regresión no lineal utilizando un modelo de red neuronal de propagación directa. [ 38 ] Sin embargo, se ha demostrado que las distribuciones posteriores obtenidas con estos enfoques no siempre son consistentes con la distribución previa, lo que llevó a una reformulación del ajuste de regresión que respeta la distribución previa. [ 39 ]

Finalmente, inferencia estadística utilizando ABC con una tolerancia distinta de cero.ϵ{\displaystyle \epsilon }no es inherentemente defectuoso: bajo el supuesto de errores de medición, el óptimoϵ{\displaystyle \epsilon }De hecho, se puede demostrar que no es cero. [ 37 ] [ 40 ] En efecto, el sesgo causado por una tolerancia distinta de cero puede caracterizarse y compensarse introduciendo una forma específica de ruido en las estadísticas descriptivas. Se ha establecido la consistencia asintótica para este "ABC ruidoso", junto con fórmulas para la varianza asintótica de las estimaciones de los parámetros para una tolerancia fija. [ 37 ]

Selección y suficiencia de las estadísticas descriptivas

Las estadísticas descriptivas pueden utilizarse para aumentar la tasa de aceptación de ABC para datos de alta dimensión. Las estadísticas suficientes de baja dimensión son óptimas para este propósito, ya que capturan toda la información relevante presente en los datos de la forma más simple posible. [ 22 ] [ 41 ] [ 42 ] Sin embargo, las estadísticas suficientes de baja dimensión suelen ser inalcanzables para modelos estadísticos donde la inferencia basada en ABC es más relevante y, en consecuencia, suele ser necesario algún método heurístico para identificar estadísticas descriptivas de baja dimensión útiles. El uso de un conjunto de estadísticas descriptivas mal elegidas a menudo conduce a intervalos de credibilidad inflados debido a la pérdida de información implícita, [ 22 ] lo que también puede sesgar la discriminación entre modelos. Existe una revisión de métodos para elegir estadísticas descriptivas, [ 43 ] que puede proporcionar una guía valiosa en la práctica.

Una forma de capturar la mayor parte de la información presente en los datos sería utilizar muchas estadísticas, pero la precisión y estabilidad del método ABC parecen disminuir rápidamente con un número creciente de estadísticas descriptivas. [ 20 ] [ 22 ] En cambio, una mejor estrategia es centrarse únicamente en las estadísticas relevantes; la relevancia depende del problema de inferencia en su conjunto, del modelo utilizado y de los datos disponibles. [ 44 ]

Se ha propuesto un algoritmo para identificar un subconjunto representativo de estadísticas de resumen, evaluando iterativamente si una estadística adicional introduce una modificación significativa de la posterior. [ 45 ] Uno de los desafíos aquí es que un gran error de aproximación ABC puede influir fuertemente en las conclusiones sobre la utilidad de una estadística en cualquier etapa del procedimiento. Otro método [ 44 ] se descompone en dos pasos principales. Primero, se construye una aproximación de referencia de la posterior minimizando la entropía . Luego, se evalúan conjuntos de resúmenes candidatos comparando las posteriores aproximadas ABC con la posterior de referencia.

Con ambas estrategias, se selecciona un subconjunto de estadísticas de un gran conjunto de estadísticas candidatas. En cambio, el enfoque de regresión de mínimos cuadrados parciales utiliza información de todas las estadísticas candidatas, cada una ponderada adecuadamente. [ 46 ] Recientemente, un método para construir resúmenes de manera semiautomática ha alcanzado un interés considerable. [ 37 ] Este método se basa en la observación de que la elección óptima de estadísticas de resumen, al minimizar la pérdida cuadrática de las estimaciones puntuales de los parámetros, se puede obtener a través de la media posterior de los parámetros, que se aproxima realizando una regresión lineal basada en los datos simulados. Se han obtenido estadísticas de resumen para la selección de modelos utilizando regresión logística multinomial en datos simulados, tratando los modelos competidores como la etiqueta a predecir. [ 47 ]

Se ha propuesto un marco unificador basado en la minimización de la entropía posterior esperada (EPE) para guiar la selección de estadísticas resumen. [ 48 ] Este enfoque demuestra que minimizar la EPE es matemáticamente equivalente a maximizar la información mutua entre resúmenes y parámetros o minimizar la divergencia esperada de Kullback-Leibler con respecto a la distribución posterior verdadera para aproximarla. Además, se demuestra que otras estrategias comunes, como minimizar el riesgo de Bayes, maximizar la información de Fisher y la selección de modelos probabilísticos, son casos especiales o límites de muestras grandes de este marco.

Los métodos para identificar estadísticas descriptivas que también permitan evaluar simultáneamente su influencia en la aproximación de la distribución posterior serían de gran utilidad. [ 49 ] Esto se debe a que la elección de las estadísticas descriptivas y la elección de la tolerancia constituyen dos fuentes de error en la distribución posterior resultante. Estos errores pueden distorsionar la clasificación de los modelos y también pueden conducir a predicciones incorrectas.

Factor de Bayes con ABC y estadísticas descriptivas

Se ha demostrado que la combinación de estadísticas de resumen insuficientes y ABC para la selección de modelos puede ser problemática. [ 23 ] [ 31 ] De hecho, si se deja que el factor de Bayes se base en la estadística de resumenS(D){\displaystyle S(D)}ser denotado porB1,2s{\displaystyle B_{1,2}^{s}}, la relación entreB1,2{\displaystyle B_{1,2}}yB1,2s{\displaystyle B_{1,2}^{s}}toma la forma: [ 23 ]

B1,2=pag(D|METRO1)pag(D|METRO2)=pag(D|S(D),METRO1)pag(D|S(D),METRO2)pag(S(D)|METRO1)pag(S(D)|METRO2)=pag(D|S(D),METRO1)pag(D|S(D),METRO2)B1,2s{\displaystyle B_{1,2}={\frac {p(D|M_{1})}{p(D|M_{2})}}={\frac {p(D|S(D),M_{1})}{p(D|S(D),M_{2})}}{\frac {p(S(D)|M_{1})}{p(S(D)|M_{2})}}={\frac {p(D|S(D),M_{1})}{p(D|S(D),M_{2})}}B_{1,2}^{s}}.

Por lo tanto, una estadística descriptivaS(D){\displaystyle S(D)}es suficiente para comparar dos modelosMETRO1{\displaystyle M_{1}}yMETRO2{\displaystyle M_{2}}si y solo si :

pag(D|S(D),METRO1)=pag(D|S(D),METRO2){\displaystyle p(D|S(D),M_{1})=p(D|S(D),M_{2})},

lo cual resulta en queB1,2=B1,2s{\displaystyle B_{1,2}=B_{1,2}^{s}}También queda claro en la ecuación anterior que podría haber una gran diferencia entreB1,2{\displaystyle B_{1,2}}yB1,2s{\displaystyle B_{1,2}^{s}}si no se cumple la condición, como se puede demostrar con ejemplos de juguetes. [ 23 ] [ 28 ] [ 31 ] Fundamentalmente, se demostró que la suficiencia paraMETRO1{\displaystyle M_{1}}oMETRO2{\displaystyle M_{2}}por sí solo, o para ambos modelos, no garantiza la suficiencia para clasificar los modelos. [ 23 ] Sin embargo, también se demostró que cualquier estadística de resumen suficiente para un modeloMETRO{\displaystyle M}en el que ambosMETRO1{\displaystyle M_{1}}yMETRO2{\displaystyle M_{2}}son anidados es válido para clasificar los modelos anidados . [ 23 ]

El cálculo de los factores de Bayes enS(D){\displaystyle S(D)}Por lo tanto, puede resultar engañoso para fines de selección de modelos, a menos que la relación entre los factores de Bayes enD{\displaystyle D}yS(D){\displaystyle S(D)}Estarían disponibles, o al menos podrían aproximarse razonablemente bien. Alternativamente, recientemente se han derivado condiciones necesarias y suficientes sobre las estadísticas descriptivas para una elección consistente del modelo bayesiano, [ 50 ] que pueden proporcionar una guía útil.

Sin embargo, este problema solo es relevante para la selección de modelos cuando se ha reducido la dimensión de los datos. La inferencia basada en ABC, en la que se comparan directamente los conjuntos de datos reales —como ocurre en algunas aplicaciones de biología de sistemas (por ejemplo, véase [ 51 ] )—, evita este problema.

Controles de calidad indispensables

Como se desprende de la discusión anterior, cualquier análisis ABC requiere decisiones y compensaciones que pueden tener un impacto considerable en sus resultados. Específicamente, la elección de modelos/hipótesis en competencia, el número de simulaciones, la elección de estadísticas descriptivas o el umbral de aceptación no pueden basarse actualmente en reglas generales, sino que el efecto de estas decisiones debe evaluarse y probarse en cada estudio. [ 21 ]

Se han propuesto varios enfoques heurísticos para el control de calidad de ABC, como la cuantificación de la fracción de la varianza de los parámetros explicada por las estadísticas descriptivas. [ 21 ] Una clase común de métodos tiene como objetivo evaluar si la inferencia produce resultados válidos, independientemente de los datos observados. Por ejemplo, dado un conjunto de valores de parámetros, que generalmente se extraen de las distribuciones previa o posterior de un modelo, se puede generar un gran número de conjuntos de datos artificiales. De esta manera, la calidad y robustez de la inferencia ABC se pueden evaluar en un entorno controlado, midiendo qué tan bien el método de inferencia ABC elegido recupera los valores reales de los parámetros, y también los modelos si se consideran simultáneamente múltiples modelos estructuralmente diferentes.

Otro tipo de métodos evalúa si la inferencia fue exitosa a la luz de los datos observados, por ejemplo, comparando la distribución predictiva posterior de las estadísticas descriptivas con las estadísticas descriptivas observadas. [ 21 ] Además, las técnicas de validación cruzada [ 52 ] y las comprobaciones predictivas [ 53 ] [ 54 ] representan estrategias futuras prometedoras para evaluar la estabilidad y la validez predictiva fuera de la muestra de las inferencias ABC. Esto es particularmente importante al modelar grandes conjuntos de datos, porque entonces el soporte posterior de un modelo particular puede parecer abrumadoramente concluyente, incluso si todos los modelos propuestos son, de hecho, representaciones deficientes del sistema estocástico subyacente a los datos de observación. Las comprobaciones predictivas fuera de la muestra pueden revelar posibles sesgos sistemáticos dentro de un modelo y proporcionar pistas sobre cómo mejorar su estructura o parametrización.

Recientemente se han propuesto enfoques fundamentalmente novedosos para la selección de modelos que incorporan el control de calidad como un paso integral del proceso. ABC permite, por definición, la estimación de las discrepancias entre los datos observados y las predicciones del modelo, con respecto a un conjunto completo de estadísticas. Estas estadísticas no son necesariamente las mismas que las utilizadas en el criterio de aceptación. Las distribuciones de discrepancia resultantes se han utilizado para seleccionar modelos que concuerdan con muchos aspectos de los datos simultáneamente [ 55 ] , y la inconsistencia del modelo se detecta a partir de resúmenes contradictorios y codependientes. Otro método basado en el control de calidad para la selección de modelos emplea ABC para aproximar el número efectivo de parámetros del modelo y la desviación de las distribuciones predictivas posteriores de los resúmenes y parámetros [ 56 ] . El criterio de información de desviación se utiliza entonces como medida del ajuste del modelo. También se ha demostrado que los modelos preferidos en función de este criterio pueden entrar en conflicto con aquellos respaldados por factores de Bayes . Por esta razón, es útil combinar diferentes métodos para la selección de modelos para obtener conclusiones correctas.

Los controles de calidad son factibles y, de hecho, se realizan en muchos trabajos basados ​​en ABC, pero para ciertos problemas, la evaluación del impacto de los parámetros relacionados con el método puede resultar compleja. Sin embargo, cabe esperar que el uso cada vez mayor de ABC proporcione una comprensión más profunda de las limitaciones y la aplicabilidad del método.

Los riesgos generales en la inferencia estadística se ven exacerbados en ABC.

Esta sección analiza riesgos que, estrictamente hablando, no son exclusivos del método ABC, pero que también son relevantes para otros métodos estadísticos. Sin embargo, la flexibilidad que ofrece el método ABC para analizar modelos muy complejos hace que su análisis sea sumamente pertinente en este contexto.

Distribución previa y rangos de parámetros

La especificación del rango y la distribución previa de los parámetros se beneficia enormemente del conocimiento previo sobre las propiedades del sistema. Una crítica ha sido que en algunos estudios "los rangos y distribuciones de los parámetros se estiman únicamente en función de la opinión subjetiva de los investigadores" [ 57 ] , lo cual está relacionado con las objeciones clásicas a los enfoques bayesianos [ 58 ] .

Con cualquier método computacional, normalmente es necesario restringir los rangos de parámetros investigados. Los rangos de parámetros deberían definirse, de ser posible, en función de las propiedades conocidas del sistema estudiado, pero para aplicaciones prácticas puede ser necesario realizar una estimación fundamentada. Sin embargo, existen resultados teóricos sobre distribuciones a priori objetivas , que pueden basarse, por ejemplo, en el principio de indiferencia o en el principio de máxima entropía . [ 59 ] [ 60 ] Por otro lado, los métodos automatizados o semiautomatizados para elegir una distribución a priori a menudo producen densidades impropias . Como la mayoría de los procedimientos ABC requieren generar muestras a partir de la distribución a priori, las distribuciones a priori impropias no son directamente aplicables a ABC.

Al elegir la distribución a priori, también se debe tener en cuenta el propósito del análisis. En principio, las distribuciones a priori poco informativas y uniformes, que exageran nuestra ignorancia subjetiva sobre los parámetros, aún pueden generar estimaciones razonables de los mismos. Sin embargo, los factores de Bayes son muy sensibles a la distribución a priori de los parámetros. Las conclusiones sobre la elección del modelo basadas en el factor de Bayes pueden ser engañosas a menos que se considere cuidadosamente la sensibilidad de dichas conclusiones a la elección de las distribuciones a priori.

Un número reducido de modelos

Los métodos basados ​​en modelos han sido criticados por no cubrir exhaustivamente el espacio de hipótesis. [ 33 ] De hecho, los estudios basados ​​en modelos a menudo giran en torno a un pequeño número de modelos, y debido al alto costo computacional para evaluar un solo modelo en algunos casos, puede ser difícil cubrir una gran parte del espacio de hipótesis.

Un límite superior para el número de modelos candidatos considerados viene determinado por el considerable esfuerzo necesario para definir los modelos y elegir entre muchas opciones alternativas. [ 21 ] No existe un procedimiento específico de ABC comúnmente aceptado para la construcción de modelos, por lo que se utilizan la experiencia y el conocimiento previo. [ 22 ] Si bien serían beneficiosos procedimientos más robustos para la elección y formulación de modelos a priori , no existe una estrategia universal para el desarrollo de modelos en estadística: la caracterización sensata de sistemas complejos siempre requerirá una gran cantidad de trabajo de investigación y el uso del conocimiento experto del dominio del problema.

Algunos detractores del ABC sostienen que, dado que solo unos pocos modelos —elegidos subjetivamente y probablemente todos erróneos— pueden considerarse de manera realista, los análisis ABC proporcionan una visión limitada. [ 33 ] Sin embargo, existe una distinción importante entre identificar una hipótesis nula plausible y evaluar el ajuste relativo de hipótesis alternativas. [ 20 ] Dado que las hipótesis nulas útiles, que potencialmente pueden ser ciertas, rara vez pueden plantearse en el contexto de modelos complejos, la capacidad predictiva de los modelos estadísticos como explicaciones de fenómenos complejos es mucho más importante que la prueba de una hipótesis nula estadística en este contexto. También es común promediar los modelos investigados, ponderados según su plausibilidad relativa, para inferir características del modelo (por ejemplo, valores de parámetros) y hacer predicciones.

Grandes conjuntos de datos

Los conjuntos de datos grandes pueden constituir un cuello de botella computacional para los métodos basados ​​en modelos. Se señaló, por ejemplo, que en algunos análisis basados ​​en ABC, parte de los datos deben omitirse. [ 33 ] Varios autores han argumentado que los conjuntos de datos grandes no son una limitación práctica, [ 21 ] [ 58 ] aunque la gravedad de este problema depende en gran medida de las características de los modelos. Varios aspectos de un problema de modelado pueden contribuir a la complejidad computacional, como el tamaño de la muestra, el número de variables o características observadas, la resolución temporal o espacial, etc. Sin embargo, con el aumento de la capacidad de cómputo, este problema será potencialmente menos importante.

En lugar de muestrear parámetros para cada simulación a partir de la distribución a priori, se ha propuesto como alternativa combinar el algoritmo de Metropolis-Hastings con ABC, lo que, según se informó, resultó en una tasa de aceptación más alta que para ABC simple. [ 49 ] Naturalmente, este enfoque hereda las cargas generales de los métodos MCMC, como la dificultad para evaluar la convergencia, la correlación entre las muestras de la distribución a posteriori, [ 35 ] y una paralelización relativamente baja. [ 21 ]

Asimismo, las ideas de los métodos de Monte Carlo secuencial (SMC) y Monte Carlo poblacional (PMC) se han adaptado al contexto ABC. [ 35 ] [ 61 ] La idea general es aproximarse iterativamente a la distribución posterior a partir de la distribución previa mediante una secuencia de distribuciones objetivo. Una ventaja de estos métodos, en comparación con ABC-MCMC, es que las muestras de la distribución posterior resultante son independientes. Además, con los métodos secuenciales, los niveles de tolerancia no deben especificarse antes del análisis, sino que se ajustan de forma adaptativa. [ 62 ]

Es relativamente sencillo paralelizar varios pasos en algoritmos ABC basados ​​en muestreo por rechazo y métodos secuenciales de Monte Carlo . También se ha demostrado que los algoritmos paralelos pueden acelerar significativamente la inferencia basada en MCMC en filogenética [ 63 ] , lo que podría ser un enfoque viable también para los métodos basados ​​en ABC. Sin embargo, es muy probable que un modelo adecuado para un sistema complejo requiera una computación intensiva, independientemente del método de inferencia elegido, y corresponde al usuario seleccionar el método más apropiado para la aplicación en cuestión.

Maldición de la dimensionalidad

Los conjuntos de datos de alta dimensión y los espacios de parámetros de alta dimensión pueden requerir la simulación de un número extremadamente grande de puntos de parámetros en estudios basados ​​en ABC para obtener un nivel razonable de precisión en las inferencias posteriores. En tales situaciones, el costo computacional aumenta considerablemente y, en el peor de los casos, puede hacer que el análisis computacional sea intratable. Estos son ejemplos de fenómenos bien conocidos, que generalmente se engloban bajo el término general de maldición de la dimensionalidad . [ 64 ]

Para evaluar la gravedad con la que la dimensionalidad de un conjunto de datos afecta el análisis en el contexto de ABC, se han derivado fórmulas analíticas para el error de los estimadores de ABC en función de la dimensión de las estadísticas descriptivas. [ 65 ] [ 66 ] Además, Blum y François han investigado cómo la dimensión de las estadísticas descriptivas se relaciona con el error cuadrático medio para diferentes ajustes de corrección al error de los estimadores de ABC. También se argumentó que las técnicas de reducción de dimensionalidad son útiles para evitar la maldición de la dimensionalidad, debido a una estructura subyacente potencialmente de menor dimensión de las estadísticas descriptivas. [ 65 ] Motivados por minimizar la pérdida cuadrática de los estimadores de ABC, Fearnhead y Prangle han propuesto un esquema para proyectar datos (posiblemente de alta dimensión) en estimaciones de las medias posteriores de los parámetros; estas medias, que ahora tienen la misma dimensión que los parámetros, se utilizan como estadísticas descriptivas para ABC. [ 66 ]

ABC puede utilizarse para inferir problemas en espacios de parámetros de alta dimensión, aunque se debe tener en cuenta la posibilidad de sobreajuste (por ejemplo, véanse los métodos de selección de modelos en [ 55 ] y [ 56 ] ). Sin embargo, la probabilidad de aceptar los valores simulados para los parámetros bajo una tolerancia dada con el algoritmo de rechazo ABC suele disminuir exponencialmente con el aumento de la dimensionalidad del espacio de parámetros (debido al criterio de aceptación global). [ 22 ] Aunque ningún método computacional (basado en ABC o no) parece ser capaz de romper la maldición de la dimensionalidad, recientemente se han desarrollado métodos para manejar espacios de parámetros de alta dimensión bajo ciertas suposiciones (por ejemplo, basados ​​en la aproximación polinómica en cuadrículas dispersas, [ 67 ] lo que podría reducir considerablemente los tiempos de simulación para ABC). Sin embargo, la aplicabilidad de tales métodos depende del problema, y ​​la dificultad de explorar espacios de parámetros no debe subestimarse en general. Por ejemplo, la introducción de la estimación global de parámetros determinista llevó a informes de que los óptimos globales obtenidos en varios estudios previos de problemas de baja dimensión eran incorrectos. [ 68 ] Para ciertos problemas, por lo tanto, podría ser difícil saber si el modelo es incorrecto o, como se mencionó anteriormente , si la región explorada del espacio de parámetros es inapropiada. [ 33 ] Enfoques más pragmáticos consisten en reducir el alcance del problema mediante la reducción del modelo, [ 22 ] la discretización de variables y el uso de modelos canónicos como los modelos ruidosos. Los modelos ruidosos aprovechan la información sobre la independencia condicional entre variables. [ 69 ]

Software

Actualmente existen varios paquetes de software disponibles para la aplicación del método ABC a clases particulares de modelos estadísticos.

La idoneidad de cada paquete de software depende de la aplicación específica, del entorno del sistema informático y de los algoritmos necesarios.

Véase también

Referencias

Este artículo fue adaptado de la siguiente fuente bajo una licencia CC BY 4.0 ( 2013 ) ( informes de revisión ): Mikael Sunnåker; Alberto Giovanni Busetto; Elina Numminen; Jukka Corander; Matthieu Foll; Christophe Dessimoz (2013). "Computación bayesiana aproximada" . PLOS Computational Biology . 9 (1) e1002803. doi : 10.1371/JOURNAL.PCBI.1002803 . ISSN 1553-734X . PMC 3547661. PMID 23341757. Wikidata Q4781761 .    

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