Topología de Appert

En topología general , una rama de las matemáticas, la topología de Appert , llamada así por Antoine Appert (1934), es una topología sobre el conjunto X = {1, 2, 3, ... } de números enteros positivos . ^[1] En la topología de Appert, los conjuntos abiertos son aquellos que no contienen 1, y aquellos que contienen asintóticamente casi todos los números enteros positivos. El espacio X con la topología de Appert se llama espacio de Appert . ^[1]

Para un subconjunto S de X , sea N( n , S ) el número de elementos de S que son menores o iguales a n :

${\displaystyle \mathrm {N}(n,S)=\#\{m\en S:m\leq n\}.}$

S se define como abierto en la topología de Appert si no contiene 1 o si tiene una densidad asintótica igual a 1, es decir, satisface

${\displaystyle \lim _{n\to \infty} {\frac {{\text{N}}(n,S)}{n}}=1}$.

El conjunto vacío es abierto porque no contiene al 1, y todo el conjunto X es abierto ya que para todo n . ${\displaystyle {\text{N}}(n,X)/n=1}$

La topología de Appert está estrechamente relacionada con la topología del espacio de Fort que surge de dar al conjunto de números enteros mayores que uno la topología discreta y luego tomar el punto 1 como el punto en el infinito en una compactificación de un punto del espacio. ^[1] La topología de Appert es más fina que la topología del espacio de Fort, ya que cualquier subconjunto cofinito de X tiene una densidad asintótica igual a 1.

• Los subconjuntos cerrados S de X son aquellos que contienen 1 o que tienen densidad asintótica cero, es decir .${\displaystyle \lim _{n\to \infty}\mathrm {N} (n,S)/n=0}$
• Cada punto de X tiene una base local de conjuntos clopen , es decir, X es un espacio de dimensión cero . ^[1]
  Demostración : Todo entorno abierto de 1 también es cerrado. Para cualquier , es tanto cerrado como abierto.${\displaystyle x\neq 1}$${\estilo de visualización \{x\}}$
• X es Hausdorff y perfectamente normal (T ₆ ).
  Demostración : X es T ₁ . Dados dos conjuntos cerrados disjuntos A y B , al menos uno de ellos, digamos A , no contiene 1. A es entonces clopen y A y su complemento son vecindades disjuntas respectivas de A y B , lo que muestra que X es normal y Hausdorff. Finalmente, cualquier subconjunto, en particular cualquier subconjunto cerrado, en un espacio numerable T _{1 es un G δ} , por lo que X es perfectamente normal.
• X es contable, pero no primer contable , ^[1] y por lo tanto no segundo contable y no metrizable .
• Un subconjunto de X es compacto si y solo si es finito. En particular, X no es localmente compacto , ya que no existe un entorno compacto de 1.
• X no es numerablemente compacto . ^[1]
  Demostración: El conjunto infinito tiene densidad asintótica cero, por lo tanto es cerrado en X. Cada uno de sus puntos está aislado. Como X contiene un subconjunto discreto cerrado infinito, no es compacto en puntos límite y, por lo tanto, no es numerablemente compacto.${\displaystyle \{2^{n}:n\geq 1\}}$

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

• Appert, Antoine (1934), Propriétés des Espaces Abstraits les Plus Généraux, Actual. Ciencia. Indiana, Hermann, MR  3533016.
• Steen, LA; Seebach, JA (1995), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X.