Triángulo de pedales

En geometría plana , un triángulo pedal se obtiene proyectando un punto sobre los lados de un triángulo .

Más concretamente, consideremos un triángulo △ ABC y un punto P que no sea ninguno de los vértices A, B o C. Tracemos perpendiculares desde P a los tres lados del triángulo (puede que sea necesario extenderlas ). Denominemos L, M y N a las intersecciones de las rectas que parten de P con los lados BC, AC y AB . El triángulo pedal es entonces △ LMN .

Si △ ABC no es un triángulo obtusángulo y P es el ortocentro , entonces los ángulos de △ LMN son 180° − 2 A , 180° − 2 B y 180° − 2 C . ^{[ 1 ]}

Los cuadriláteros PMAN, PLBN, PLCM son cuadriláteros cíclicos .

La ubicación del punto P elegido con respecto al triángulo ABC elegido da lugar a algunos casos especiales:

• Si P es el ortocentro , entonces △ LMN es el triángulo órtico .
• Si P es el incentro , entonces △ LMN es el triángulo de contacto .
• Si P es el circuncentro , entonces △ LMN es el triángulo medial .
• Si P está en la circunferencia circunscrita del triángulo, △ LMN se reduce a una línea (la línea pedal o línea de Simson ).

Los vértices del triángulo pedal de un punto interior P , como se muestra en el diagrama superior, dividen los lados del triángulo original de tal manera que satisfacen el teorema de Carnot : ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle |AN|^{2}+|BL|^{2}+|CM|^{2}=|NB|^{2}+|LC|^{2}+|MA|^{2}.}$$

Si P tiene coordenadas trilineales p  : q  : r , entonces los vértices L, M, N del triángulo pedal de P están dados por $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}L&=&0&:&q+p\cos C&:&r+p\cos B\\[2pt]M&=&p+q\cos C&:&0&:&r+q\cos A\\[2pt]N&=&p+r\cos B&:&q+r\cos A&:&0\end{array}}}$$

Un vértice, L' , del triángulo antipedal de P es el punto de intersección de la perpendicular a BP que pasa por B y la perpendicular a CP que pasa por C. Sus otros vértices, M' y N' , se construyen de forma análoga. Las coordenadas trilineales vienen dadas por $${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}L'&=&-(q+p\cos C)(r+p\cos B)&:&(r+p\cos B)(p+q\cos C)&:&(q+p\cos C)(p+r\cos B)\\[2pt]M'&=&(r+q\cos A)(q+p\cos C)&:&-(r+q\cos A)(p+q\cos C)&:&(p+q\cos C)(q+r\cos A)\\[2pt]N'&=&(q+r\cos A)(r+p\cos B)&:&(p+r\cos B)(r+q\cos A)&:&-(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}}}$$

Por ejemplo, el triángulo excentral es el triángulo antipedal del incentro.

Supongamos que P no se encuentra en ninguno de los lados extendidos BC, CA, AB , y sea P ⁻¹ el conjugado isogonal de P. El triángulo pedal de P es homotético al triángulo antipedal de P ⁻¹ . El centro homotético (que es el centro de un triángulo si y solo si P es el centro de un triángulo) es el punto dado en coordenadas trilineales por

$${\displaystyle ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\$$ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C)\  :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)}

El producto de las áreas del triángulo pedal de P y del triángulo antipedal de P ⁻¹ es igual al cuadrado del área de △ ABC .

El círculo pedal se define como la circunferencia circunscrita al triángulo pedal. Cabe destacar que el círculo pedal no está definido para los puntos que se encuentran sobre la circunferencia circunscrita al triángulo.

• Mathworld: Triángulo pedal
• Línea Simson
• Triángulo pedal y conjugación isogonal
• Triángulo de pedales y círculo de pedales : ilustración interactiva
• Teorema de perpendicularidad de Carnot (o de Bottema) y algunas generalizaciones : boceto interactivo y dinámico.