Matriz antidiagonal

En matemáticas , una matriz antidiagonal es una matriz cuadrada donde todas las entradas son cero excepto aquellas en la diagonal que va desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha (↗) , conocida como la antidiagonal (a veces diagonal de Harrison, diagonal secundaria, diagonal de arrastre, diagonal menor, diagonal fuera de la diagonal o diagonal mala).

Una matriz A de n × n es una matriz antidiagonal si el elemento ( i , j ) aij es cero para todas las filas i y columnas j cuyos índices no suman n + 1. _{Simbólicamente} , $${\displaystyle a_{ij}=0\ \forall i,j\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\ (i+j\neq n+1).}$$

Un ejemplo de matriz antidiagonal es $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&2\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

Otro ejemplo es $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{bmatrix}},}$$ que se puede utilizar para invertir los elementos de una matriz (como una matriz columna) multiplicando por la izquierda.

Todas las matrices antidiagonales son también persimétricas .

El producto de dos matrices antidiagonales es una matriz diagonal . Además, el producto de una matriz antidiagonal por una matriz diagonal también es antidiagonal, al igual que el producto de una matriz diagonal por otra matriz antidiagonal.

Una matriz antidiagonal es invertible si y solo si los elementos de la diagonal principal, desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha, son distintos de cero. La inversa de una matriz antidiagonal invertible también es antidiagonal, como se puede observar en el párrafo anterior. El determinante de una matriz antidiagonal tiene un valor absoluto dado por el producto de los elementos de la diagonal principal, desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Sin embargo, el signo de este determinante varía porque el único producto elemental con signo distinto de cero de una matriz antidiagonal tiene un signo diferente según si la permutación relacionada con él es par o impar.

Más precisamente, el signo del producto elemental necesario para calcular el determinante de una matriz antidiagonal está relacionado con si el número triangular correspondiente es par o impar. Esto se debe a que el número de inversiones en la permutación del único producto elemental con signo distinto de cero de una matriz antidiagonal n × n es igual al enésimo número de este tipo.

• Diagonal principal : en una matriz diagonal, todos los elementos fuera de la diagonal son cero.
• Matriz de intercambio , una matriz antidiagonal con unos a lo largo de la contradiagonal.

• "Matriz antidiagonal" . PlanetMath .