Teoría de la deformación infinitesimal

Consideremos una deformación bidimensional de un elemento material rectangular infinitesimal con dimensiones${\displaystyle dx}$por${\displaystyle dy}$(Figura 1), que después de la deformación, toma la forma de un rombo. A partir de la geometría de la Figura 1 tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Para gradientes de desplazamiento muy pequeños, es decir,${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$, tenemos $${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

La tensión normal en el${\displaystyle x}$-La dirección del elemento rectangular se define por $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$ y sabiendo que${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$, tenemos $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

De manera similar, la tensión normal en el${\displaystyle y}$-dirección y${\displaystyle z}$-dirección, se convierte $${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

La deformación cortante de ingeniería , o el cambio de ángulo entre dos líneas de material originalmente ortogonales, en este caso la línea${\displaystyle {\overline {AC}}}$y${\displaystyle {\overline {AB}}}$, se define como $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

A partir de la geometría de la Figura 1 tenemos $${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

Para rotaciones pequeñas, es decir,${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son${\displaystyle \ll 1}$tenemos $${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$ y, de nuevo, para pequeños gradientes de desplazamiento, tenemos $${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ de este modo $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ Mediante el intercambio${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$y${\displaystyle u_{x}}$y${\displaystyle u_{y}}$, se puede demostrar que${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$.

De manera similar, para el${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$y${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$aviones, tenemos $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Se puede observar que los componentes de deformación cortante tensorial del tensor de deformación infinitesimal se pueden expresar utilizando la definición de deformación de ingeniería,${\displaystyle \gamma }$, como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

A partir de la teoría de deformación finita tenemos $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Para deformaciones infinitesimales entonces tenemos $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Dividiendo por${\displaystyle (dX)^{2}}$tenemos $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

Para pequeñas deformaciones asumimos que${\displaystyle dx\approx dX}$, por lo tanto, el segundo término del lado izquierdo se convierte en:${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$.

Entonces tenemos $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$ dónde${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$, es el vector unitario en la dirección de${\displaystyle d\mathbf {X} }$y la expresión del lado izquierdo es la cepa normal.${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$en dirección de${\displaystyle \mathbf {N} }$. Para el caso particular de${\displaystyle \mathbf {N} }$en el${\displaystyle X_{1}}$dirección, es decir,${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$, tenemos $${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

De manera similar, para${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$podemos encontrar las cepas normales${\displaystyle \varepsilon _{22}}$y${\displaystyle \varepsilon _{33}}$, respectivamente. Por lo tanto, los elementos diagonales del tensor de deformación infinitesimal son las deformaciones normales en las direcciones de las coordenadas.

Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal (${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$) podemos escribir el tensor en términos de componentes con respecto a esos vectores base como $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$ En forma matricial, $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$ Podemos optar fácilmente por utilizar otro sistema de coordenadas ortonormales (${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$) en cambio. En ese caso, los componentes del tensor son diferentes, por ejemplo $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$ Los componentes de la deformación en los dos sistemas de coordenadas están relacionados por $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$donde se ha utilizado la convención de suma de Einstein para índices repetidos y${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$En forma matricial $${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$ o $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

Ciertas operaciones sobre el tensor de deformación dan el mismo resultado independientemente del sistema de coordenadas ortonormales que se utilice para representar los componentes de la deformación. Los resultados de estas operaciones se denominan invariantes de deformación . Los invariantes de deformación más utilizados son: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$ En términos de componentes $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

Se puede demostrar que es posible encontrar un sistema de coordenadas (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) en el que los componentes del tensor de deformación son $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$ Los componentes del tensor de deformación en el (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) sistema de coordenadas se denominan deformaciones principales y direcciones${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$Se denominan direcciones de deformación principal. Dado que en este sistema de coordenadas no existen componentes de deformación cortante, las deformaciones principales representan los estiramientos máximo y mínimo de un volumen elemental.

Si se nos dan los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas ortonormal arbitrario, podemos encontrar las deformaciones principales utilizando una descomposición en valores propios determinada resolviendo el sistema de ecuaciones. $${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$ Este sistema de ecuaciones es equivalente a encontrar el vector${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$a lo largo de la cual el tensor de deformación se convierte en un estiramiento puro sin componente de corte.

La deformación volumétrica , también llamada deformación macroscópica , es la variación relativa del volumen, resultante de la dilatación o compresión ; es el primer invariante de deformación o traza del tensor: $${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$ En realidad, si consideramos un cubo con una longitud de arista a , es un cuasicubo después de la deformación (las variaciones de los ángulos no cambian el volumen) con las dimensiones${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$y V ₀ = a ³ , por lo tanto $${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$ al considerar pequeñas deformaciones, $${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$ Por lo tanto, la fórmula.

En el caso de cizallamiento puro, podemos ver que no hay cambio de volumen.

El tensor de deformación infinitesimal${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$, de forma similar al tensor de tensiones de Cauchy , puede expresarse como la suma de otros dos tensores:

1. un tensor de deformación medio o tensor de deformación volumétrico o tensor de deformación esférico ,${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$, relacionado con la dilatación o el cambio de volumen; y
2. un componente desviador llamado tensor desviador de deformación ,${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$, relacionado con la distorsión.

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$ dónde${\displaystyle \varepsilon _{M}}$es la deformación media dada por $${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

El tensor de deformación desviadora se puede obtener restando el tensor de deformación media del tensor de deformación infinitesimal: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Dejar (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) sean las direcciones de las tres deformaciones principales. Un plano octaédrico es aquel cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones principales. La deformación cortante ingenieril en un plano octaédrico se denomina deformación cortante octaédrica y viene dada por $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$ dónde${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$son las cepas principales.

La deformación normal en un plano octaédrico viene dada por $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

Una magnitud escalar llamada deformación equivalente , o deformación equivalente de von Mises , se utiliza a menudo para describir el estado de deformación en los sólidos. En la literatura se pueden encontrar varias definiciones de deformación equivalente. Una definición que se utiliza comúnmente en la literatura sobre plasticidad es: $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$ Esta cantidad es el trabajo conjugado a la tensión equivalente definida como $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

En los componentes de ingeniería reales, la tensión (y la deformación) son tensores tridimensionales, pero en estructuras prismáticas como un lingote metálico largo, la longitud de la estructura es mucho mayor que las otras dos dimensiones. Las deformaciones asociadas con la longitud, es decir, la deformación normal${\displaystyle \varepsilon _{33}}$y las deformaciones por cizallamiento${\displaystyle \varepsilon _{13}}$y${\displaystyle \varepsilon _{23}}$(si la longitud es la dirección 3) están restringidas por el material cercano y son pequeñas en comparación con las deformaciones de la sección transversal . Por lo tanto, la deformación plana es una aproximación aceptable. El tensor de deformación para la deformación plana se escribe como: $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$ donde el doble subrayado indica un tensor de segundo orden . Este estado de deformación se denomina deformación plana . El tensor de tensión correspondiente es: $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ en el que el distinto de cero${\displaystyle \sigma _{33}}$es necesario para mantener la restricción${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$Este término de tensión se puede eliminar temporalmente del análisis para dejar solo los términos en el plano, reduciendo efectivamente el problema 3D a un problema 2D mucho más simple.

La deformación antiplana es otro estado especial de deformación que puede ocurrir en un cuerpo, por ejemplo, en una región cercana a una dislocación de tornillo . El tensor de deformación para la deformación antiplana viene dado por $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

Un tensor de segundo orden antisimétrico tiene tres componentes escalares independientes. Estas tres componentes se utilizan para definir un vector axial ,${\displaystyle \mathbf {w} }$, como sigue $${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$ dónde${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$es el símbolo de permutación . En forma matricial $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$ El vector axial también se denomina vector de rotación infinitesimal . El vector de rotación está relacionado con el gradiente de desplazamiento mediante la relación $${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$ En notación de índices $${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$ Si${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$luego el material experimenta una rotación aproximada de cuerpo rígido de magnitud${\displaystyle |\mathbf {w} |}$alrededor del vector${\displaystyle \mathbf {w} }$.

Dado un campo de desplazamiento continuo y unívoco${\displaystyle \mathbf {u} }$y el tensor de deformación infinitesimal correspondiente${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$, tenemos (ver derivada tensorial (mecánica del continuo) ) $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$ Dado que un cambio en el orden de diferenciación no cambia el resultado,${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$. Por lo tanto $${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$ También $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$ Por eso $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

A partir de una identidad importante relativa al rotacional de un tensor, sabemos que para un campo de desplazamiento continuo y unívoco se cumple que${\displaystyle \mathbf {u} }$, $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$ Desde${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$tenemos $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

En coordenadas polares cilíndricas (${\displaystyle r,\theta ,z}$), el vector de desplazamiento se puede escribir como $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$ Los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas cilíndricas vienen dados por: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

En coordenadas esféricas (${\displaystyle r,\theta ,\phi }$), el vector de desplazamiento se puede escribir como $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$ Los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas esféricas vienen dados por ^{[ 2 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$