Anelasticidad

La anelasticidad es una propiedad de los materiales que describe su comportamiento al deformarse . Su definición formal no incluye los mecanismos físicos o atómicos , pero interpreta el comportamiento anelástico como una manifestación de procesos de relajación interna . Se trata de un comportamiento que difiere (generalmente muy poco) del comportamiento elástico .

Definición y elasticidad

Considerando primero un material elástico ideal, la ley de Hooke define la relación entre la tensión $\sigma$ y tensión $\epsilon$ como:

\sigma =M\epsilon

\epsilon =J\sigma

M={\frac {1}{J}}

La constante $M$ se denomina módulo de elasticidad (o simplemente módulo) mientras que su recíproco $J$ se denomina módulo de conformidad (o simplemente conformidad).

Existen tres postulados que definen el comportamiento elástico ideal:

(1) la respuesta de deformación a cada nivel de tensión aplicada (o viceversa) tiene un valor de equilibrio único;
(2) la respuesta de equilibrio se alcanza instantáneamente;
(3) la respuesta es lineal .

Estas condiciones pueden eliminarse en diversas combinaciones para describir diferentes tipos de comportamiento, resumidos en la siguiente tabla:

La anelasticidad se define, por lo tanto, por la existencia de una reacción dependiente del tiempo , además de la elástica, en el material considerado. Esta reacción suele representar una fracción muy pequeña de la respuesta total, por lo que, en este sentido, el significado habitual de "anelasticidad" como "ausencia de elasticidad" resulta impropio desde un punto de vista físico.

La definición formal de linealidad es: "Si una historia de tensión dada $\sigma _{1}(t)$ produce la cepa $\epsilon _ {1}(t)$ y si hay estrés $\sigma _{2}(t)$ da lugar a $\epsilon _ {2}(t)$ , luego el estrés $\sigma _{1}(t)+\sigma _{2}(t)$ dará lugar a la tensión $\epsilon _{1}(t)+\epsilon _{2}(t)$ El postulado de linealidad se utiliza por su utilidad práctica. De lo contrario, la teoría se complicaría mucho más, pero en el caso de materiales sometidos a baja tensión, este postulado puede considerarse cierto.

En general, el cambio de una variable externa de un sistema termodinámico provoca una respuesta del sistema denominada relajación térmica, que lo conduce a un nuevo estado de equilibrio. En el caso de cambios mecánicos , la respuesta se conoce como relajación anelástica, y de la misma forma formal puede describirse también, por ejemplo, la relajación dieléctrica o magnética . Los valores internos están acoplados a la tensión y la deformación mediante procesos cinéticos como la difusión . De este modo, la manifestación externa de los comportamientos de relajación interna es la relación tensión-deformación, que en este caso depende del tiempo.

Funciones de respuesta estática

Se pueden realizar experimentos en los que la tensión o la deformación se mantienen constantes durante un tiempo determinado. Estos se denominan cuasiestáticos y, en este caso, los materiales anelásticos presentan fluencia, efecto elástico posterior y relajación de la tensión .

En estos experimentos se aplica una tensión que se mantiene constante mientras se observa la deformación en función del tiempo. Esta función de respuesta se denomina fluencia y se define por $J(t)\equiv \epsilon (t)/\sigma _{0}$ y caracteriza las propiedades del sólido. El valor inicial de $J(t)$ Se denomina cumplimiento no relajado, el valor de equilibrio se denomina cumplimiento relajado. $J_{R}$ y su diferencia $\delta J$ Se denomina relajación del cumplimiento.

Tras un experimento de fluencia prolongado, al liberar la tensión, la recuperación elástica suele ir seguida de una disminución de la deformación que depende del tiempo. Este efecto se denomina efecto posterior elástico o «recuperación de la fluencia». El sólido elástico ideal recupera la deformación cero inmediatamente, sin ningún efecto posterior, mientras que en el caso de la anelasticidad la recuperación total requiere tiempo, y ese es el efecto posterior. El sólido viscoelástico lineal solo se recupera parcialmente, ya que la contribución viscosa a la deformación no se puede recuperar.

En un experimento de relajación de tensión, se observa la tensión σ en función del tiempo mientras se mantiene una deformación constante. $\epsilon _{0}$ y definiendo una función de relajación de la tensión $M(t)\equiv \sigma (t)/\epsilon _{0}$ De forma similar a la función de fluencia, con módulos no relajados y relajados M _U y M _R .

En equilibrio, $M_{\text{R}}=1/J_{\text{R}}$ y en una escala de tiempo corta, cuando el material se comporta como si fuera idealmente elástico, $M_{\text{U}}=1/J_{\text{U}}$ También se sostiene.

Funciones de respuesta dinámica y ángulo de pérdida

Para obtener información sobre el comportamiento de un material en periodos cortos de tiempo, se necesitan experimentos dinámicos. En este tipo de experimento, se aplica una tensión (o deformación) periódica al sistema y se determina el desfase de dicha tensión (o deformación).

La tensión se puede escribir como un número complejo. $\sigma =\sigma _{0}a^{i\omega t}$ dónde $\sigma _{0}$ es la amplitud y $\omega$ la frecuencia de vibración . Entonces la deformación es periódica con la misma frecuencia. $\epsilon =\epsilon _{0}a^{i(\omega t-\phi )}$ dónde $\epsilon _{0}$ es la amplitud de deformación y $\varphi$ es el ángulo por el cual la deformación se retrasa, llamado ángulo de pérdida. Para elasticidad ideal $\varphi =0$ . Para el caso anelástico $\varphi$ en general no es cero, por lo que la razón $\epsilon /\sigma$ es complejo. Esta magnitud se denomina cumplimiento complejo. $J^{\star }(\omega )$ . De este modo,

J^{*}(\omega )={\frac {\epsilon }{\sigma }}=|J|(\omega )e^{-i\phi (\omega )}

dónde $|J|(\omega )$ , el valor absoluto de $J^{\star }$ , se denomina cumplimiento dinámico absoluto, dado por $\epsilon _{0}/\sigma _{0}$ .

De esta forma se definen dos funciones de respuesta dinámica reales, $|J|(\omega )$ y $\varphi (\omega)$ También se pueden introducir otras dos funciones de respuesta reales escribiendo la ecuación anterior con otra notación:

J^{*}(\omega )=J_{1}(\omega )-iJ_{2}(\omega )

donde la parte real se llama "cumplimiento de almacenamiento" y la parte imaginaria se llama "cumplimiento de pérdida".

Es significativo que J ₁ y J ₂ se denominen respectivamente "conformidad de almacenamiento" y "conformidad de pérdida", ya que el cálculo de la energía almacenada y la energía disipada en un ciclo de vibración da como resultado las siguientes ecuaciones:

\Delta W=\oint \sigma d\epsilon =\pi J_{2}\sigma _{0}^{2}

dónde $\Delta W$ es la energía disipada en un ciclo completo por unidad de volumen, mientras que la energía máxima almacenada $W$ por unidad de volumen viene dada por:

W=\int _{\omega t=0}^{\pi /2}\sigma d\epsilon ={\frac {1}{2}}J_{1}\sigma _{0}^{2}

La relación entre la energía disipada y la energía máxima almacenada se denomina "capacidad de amortiguación específica". Esta relación se puede expresar como una función del ángulo de pérdida mediante $\Delta W/W=2\pi \tan \phi$ .

Esto demuestra que el ángulo de pérdida $\varphi$ Proporciona una medida de la fracción de energía perdida por ciclo debido al comportamiento anelástico, por lo que se conoce como la fricción interna del material.

Métodos de resonancia y propagación de ondas

Las funciones de respuesta dinámica solo se pueden medir experimentalmente a frecuencias inferiores a cualquier resonancia del sistema utilizado. Si bien teóricamente es fácil de hacer, en la práctica el ángulo $\varphi (\omega)$ Es difícil de medir cuando es muy pequeño, por ejemplo en materiales cristalinos . Por lo tanto, los métodos subresonantes no se utilizan generalmente. En su lugar, se utilizan métodos que consideran la inercia del sistema. Estos se pueden dividir en dos categorías:

métodos que emplean sistemas resonantes a una frecuencia natural (vibración forzada o decaimiento libre)
métodos de propagación de ondas

Vibraciones forzadas

La respuesta de un sistema en un experimento de vibración forzada con una fuerza periódica tiene un desplazamiento máximo. $x_{0}$ a una determinada frecuencia de la fuerza. Esto se conoce como resonancia y $\omega _{\text{r}}$ la frecuencia de resonancia. La ecuación de resonancia se simplifica en el caso de $\phi \ll 1$ . En este caso la dependencia de $x_{0}^{2}$ La frecuencia se representa como una curva lorentziana. Si los dos valores $\omega _{1}$ y $\omega _{2}$ son los que en $x_{0}^{2}$ cae a la mitad de su valor máximo, entonces:

{\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{\omega _{\text{r}}}}=Q^{-1}=\phi

El ángulo de pérdida, que mide la fricción interna, se puede obtener directamente de la gráfica, ya que corresponde al ancho del pico de resonancia a la mitad de su altura máxima. Con este valor y la frecuencia de resonancia, es posible obtener las funciones de respuesta primarias. Al variar la inercia de la muestra, cambia la frecuencia de resonancia y, por lo tanto, se pueden obtener las funciones de respuesta a diferentes frecuencias.

vibraciones libres

La forma más común de obtener la respuesta anelástica es midiendo la amortiguación de las vibraciones libres de una muestra. La resolución de la ecuación de movimiento para este caso incluye la constante $\delta$ llamado decremento logarítmico. Su valor es constante y es $\delta \simeq \pi \phi$ Representa el logaritmo natural de la relación de las amplitudes de vibraciones sucesivas:

\delta =\ln \left({\frac {A_{n}}{A_{n+1}}}\right)

Es una forma práctica y directa de medir la amortiguación, ya que está directamente relacionada con la fricción interna.

propagación de ondas

Los métodos de propagación de ondas utilizan una onda que viaja a lo largo de la muestra en una sola dirección para evitar interferencias. Si la muestra es lo suficientemente larga y la amortiguación lo suficientemente alta, esto se puede lograr mediante propagación continua de ondas. Más comúnmente, para materiales cristalinos con baja amortiguación, se utiliza un método de propagación por pulsos. Este método emplea un paquete de ondas cuya longitud es pequeña en comparación con la de la muestra. El pulso es producido por un transductor en un extremo de la muestra, y su velocidad se determina por el tiempo que tarda en llegar al final de la muestra o por el tiempo que tarda en regresar después de una reflexión en el extremo. La atenuación del pulso se determina por la disminución de la amplitud después de reflexiones sucesivas.

principio de superposición de Boltzmann

Cada función de respuesta constituye una representación completa de las propiedades anelásticas del sólido. Por lo tanto, cualquiera de las funciones de respuesta puede utilizarse para describir completamente el comportamiento anelástico del sólido, y cualquier otra función de respuesta puede derivarse de la elegida.

El principio de superposición de Boltzmann establece que cada esfuerzo aplicado en un momento diferente deforma el material como si fuera el único. Esto se puede escribir de forma general para una serie de esfuerzos. $\sigma _{i}(i=1,2,...,m)$ que se aplican en momentos sucesivos $t_{1}',t_{2}',...,t_{m}'$ En esta situación, la tensión total será:

\epsilon (t)=\sum _{i=1}^{m}\sigma _{i}J(t-t_{i}')

o en forma integral, la tensión se varía continuamente:

\epsilon (t)=\int _{-\infty }^{t}J(t-t'){\frac {d\sigma (t')}{dt'}}dt'

La variable controlada siempre se puede cambiar, expresando el estrés como una función del tiempo de manera similar:

\sigma (t)=\int _{-\infty }^{t}M(t-t'){\frac {d\epsilon (t')}{dt'}}dt'

Estas expresiones integrales son una generalización de la ley de Hooke en el caso de la anelasticidad, y muestran que el material actúa casi como si tuviera memoria de su historial de esfuerzos y deformaciones. Estas dos ecuaciones implican que existe una relación entre J(t) y M(t). Para obtenerla se puede utilizar el método de las transformadas de Laplace , o bien se pueden relacionar implícitamente mediante:

1=M_{U}J(t)+\int _{0}^{t}J(t-t'){d\sigma (t') \over dt'}dt'

De esta forma, sin embargo, están correlacionadas de manera compleja y no es fácil evaluar una de estas funciones conociendo la otra. No obstante, en principio, aún es posible derivar la función de relajación de tensiones a partir de la función de fluencia y viceversa gracias al principio de Boltzmann.

Modelos mecánicos

Es posible describir el comportamiento anelástico considerando un conjunto de parámetros del material. Dado que la definición de anelasticidad incluye linealidad y una relación tensión-deformación dependiente del tiempo, se puede describir mediante una ecuación diferencial con términos que incluyan tensión, deformación y sus derivadas.

Para visualizar mejor el comportamiento anelástico, se pueden utilizar modelos mecánicos adecuados. El más sencillo consta de tres elementos (dos resortes y un amortiguador ), ya que este es el número mínimo de parámetros necesarios para una ecuación de tensión-deformación que describe un sólido anelástico simple. Este comportamiento básico específico es tan importante que un material que lo presenta se denomina sólido anelástico estándar.

Ecuaciones diferenciales de tensión-deformación

Dado que la definición de anelasticidad exige linealidad, todas las ecuaciones diferenciales de tensión-deformación de la anelasticidad deben ser de primer grado. Estas ecuaciones pueden contener diversas constantes para describir el sólido específico. La más general se puede escribir como:

a_{0}\sigma +a_{1}{\dot {\sigma }}+a_{2}{\ddot {\sigma }}+\cdot \cdot \cdot =b_{0}\epsilon +b_{1}{\dot {\epsilon }}+b_{2}{\ddot {\epsilon }}+\cdot \cdot \cdot

Para el caso específico de la anelasticidad, que requiere la existencia de una relación de equilibrio, deben imponerse restricciones adicionales a esta ecuación.

Cada ecuación de tensión-deformación puede ir acompañada de un modelo mecánico que ayude a visualizar el comportamiento de los materiales.

Modelos mecánicos

En el caso en que solo las constantes $a_{0}$ y $b_{0}$ no son cero, el cuerpo es idealmente elástico y está modelado por el resorte de Hooke.

Para añadir fricción interna a un modelo, se utiliza el amortiguador newtoniano, representado por un pistón que se mueve en un líquido idealmente viscoso. Su velocidad es proporcional a la fuerza aplicada, por lo que disipa completamente el trabajo en forma de calor.

Estos dos elementos mecánicos pueden combinarse en serie o en paralelo. En una combinación en serie, las tensiones son iguales, mientras que las deformaciones son aditivas. De manera similar, en una combinación en paralelo de los mismos elementos, las deformaciones son iguales y las tensiones aditivas. Dicho esto, los dos modelos más sencillos que combinan más de un elemento son los siguientes:

un resorte y un amortiguador en paralelo, llamado modelo Voigt (o Kelvin).
un resorte y un amortiguador en serie, llamado modelo Maxwell.

El modelo de Voigt, descrito por la ecuación $J\sigma =\epsilon +\tau {\dot {\epsilon }}$ , no permite deformación instantánea, por lo tanto no es una representación realista de un sólido cristalino.

La ecuación generalizada de tensión-deformación para el modelo de Maxwell es $\tau {\dot {\sigma }}+\sigma =\tau M{\dot {\epsilon }}$ y dado que muestra una fluencia viscosa constante en lugar de una fluencia recuperable, tampoco es adecuado para describir un material anelástico.

sólido anelástico estándar

Considerando el modelo de Voigt, lo que le falta es la respuesta elástica instantánea, característica de los cristales. Para obtener esta característica faltante, se conecta un resorte en serie con el modelo de Voigt. Esto se denomina unidad de Voigt. Un resorte en serie con una unidad de Voigt muestra todas las características de un material anelástico a pesar de su simplicidad. Por lo tanto, es interesante la ecuación diferencial tensión-deformación, que se puede calcular como:

J_{\text{R}}\sigma +\tau _{\sigma }J_{\text{U}}{\dot {\sigma }}=\epsilon +\tau _{\sigma }{\dot {\epsilon }}

El sólido cuyas propiedades se definen mediante esta ecuación se denomina sólido anelástico estándar. La solución de esta ecuación para la función de fluencia es:

J(t)={\frac {\epsilon (t)}{\sigma _{0}}}=J_{\text{R}}-(J_{\text{R}}-J_{\text{U}})e^{-{\frac {t}{\tau _{\sigma }}}}=J_{\text{U}}+\delta (1-e^{-{\frac {t}{\tau _{\sigma }}}}),

dónde $\tau _{\sigma }$ Se denomina tiempo de relajación bajo estrés constante.

Para describir el comportamiento de relajación de tensiones, también se puede considerar otro modelo de tres parámetros más adecuado para el experimento de relajación de tensiones, que consiste en una unidad de Maxwell colocada en paralelo con un resorte. Su ecuación diferencial tensión-deformación es la misma que la del otro modelo considerado, por lo que ambos modelos son equivalentes. El modelo de tipo Voigt es más conveniente para el análisis de fluencia, mientras que el de tipo Maxwell lo es para la relajación de tensiones.

Propiedades dinámicas del sólido anelástico estándar

Las funciones de respuesta dinámica $J_{1}$ y $J_{2}$ , son:

J_{1}(\omega )=J_{\text{U}}+{\frac {\delta J}{(1+\omega ^{2}\tau _{\sigma }^{2})}}

J_{2}(\omega )=\delta J{\frac {\omega \tau _{\sigma }}{(1+\omega ^{2}\tau _{\sigma }^{2})}}

Estas se denominan a menudo ecuaciones de Debye, ya que fueron derivadas por primera vez por P. Debye para el caso de fenómenos de relajación dieléctrica. El ancho del pico a la mitad del valor máximo para $J_{2}$ es dado por $\Delta (\log _{10}\omega \tau )=1.144$

La ecuación para la fricción interna $\phi$ También puede expresarse como un pico de Debye, en el caso donde $\delta J\ll J_{\text{U}}$ como:

\phi \cong \Delta {\frac {\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}

La fuerza de relajación $\Delta$ se puede obtener a partir de la altura de dicho pico, mientras que el tiempo de relajación $\tau$ a partir de la frecuencia en la que se produce el pico.

Propiedades dinámicas en función del tiempo

Las propiedades dinámicas representadas gráficamente en función de $\omega \tau$ se consideran mantener $\tau$ constante mientras varía $\omega$ Sin embargo, tomar una muestra a través de un pico de Debye variando la frecuencia continuamente no es posible con los métodos de resonancia más comunes. Sin embargo, es posible trazar el pico variando $\tau$ mientras se mantiene $\omega$ constante.

La base de por qué esto es posible es que en muchos casos la tasa de relajación $\tau ^{-1}$ se puede expresar mediante una ecuación de Arrhenius :

\tau ^{-1}=v_{0}e^{-Q/kT}

dónde $T$ es la temperatura absoluta , $v_{o}$ es un factor de frecuencia, $Q$ es la energía de activación , $k$ es la constante de Boltzmann .

Por lo tanto, donde se aplica esta ecuación, la cantidad $\tau$ Puede variar en un amplio rango simplemente cambiando la temperatura. De este modo, es posible tratar las funciones de respuesta dinámica como funciones de la temperatura.

Espectros discretos

El siguiente nivel de complejidad en la descripción de un sólido anelástico corresponde a un modelo con n unidades de Voigt conectadas en serie entre sí y con un resorte. Esto se traduce en una ecuación diferencial de tensión-deformación que incluye todos los términos hasta el orden n, tanto en la tensión como en la deformación. De manera similar, un modelo con n unidades de Maxwell conectadas en paralelo entre sí y con un resorte también equivale a una ecuación diferencial de tensión-deformación de la misma forma.

Para que exista un comportamiento tanto elástico como anelástico, la ecuación diferencial de tensión-deformación debe ser del mismo orden en la tensión y la deformación, y debe comenzar con términos de orden cero.

Un sólido descrito por dicha función muestra un “espectro discreto” de procesos de relajación, o simplemente un “espectro de relajación discreto”. Cada “línea” del espectro se caracteriza por un tiempo de relajación. $\tau _{\sigma }^{(i)}$ y una magnitud $\delta J_{\sigma }^{(i)}$ El sólido anelástico estándar considerado anteriormente es solo un caso particular de un espectro de una sola línea, que también puede denominarse que tiene un "único tiempo de relajación".

Aplicaciones de la espectroscopia mecánica

La técnica que mide la fricción interna y el módulo de elasticidad se denomina espectroscopia mecánica . Es extremadamente sensible y puede proporcionar información que no se puede obtener con otras metodologías experimentales.

A pesar de su escasa relevancia histórica, tiene una gran utilidad para resolver problemas prácticos relacionados con la producción industrial, donde el conocimiento y el control de la estructura microscópica de los materiales son cada vez más importantes. Algunas de estas aplicaciones son las siguientes:

Medición de la cantidad de C, N, O y H en solución en metales.

A diferencia de otros métodos químicos de análisis, la espectroscopia mecánica es la única técnica que puede determinar la cantidad de elementos intersticiales en una solución sólida .

En estructuras cúbicas centradas en el cuerpo , como la del hierro , los átomos intersticiales se posicionan en sitios octaédricos . En una red no deformada , todas las posiciones octaédricas son iguales, con la misma probabilidad de ser ocupadas. Al aplicar una tensión de tracción en una dirección paralela a un lado del cubo, este se dilata y los demás lados ortogonales se comprimen. Debido a esto, las posiciones octaédricas dejan de ser equivalentes, y las más grandes se ocupan en lugar de las más pequeñas, lo que provoca que el átomo intersticial salte de una a otra. Invertir la dirección de la tensión tiene, obviamente, el efecto contrario. Al aplicar una tensión alterna, el átomo intersticial seguirá saltando de un sitio a otro de forma reversible, causando disipación de energía y produciendo el llamado pico de Snoek. Cuantos más átomos participen en este proceso, más intenso será el pico de Snoek. Conociendo la disipación de energía de un solo evento y la altura del pico de Snoek, es posible determinar la concentración de átomos involucrados en el proceso.

Estabilidad estructural en materiales nanocristalinos

En los materiales nanocristalinos, los límites de grano son lo suficientemente importantes como para determinar algunas propiedades específicas de estos materiales. Tanto su tamaño como su estructura influyen en sus efectos mecánicos. La microscopía de alta resolución muestra que los materiales sometidos a una deformación plástica severa presentan distorsiones y dislocaciones significativas sobre y cerca de los límites de grano.

Mediante técnicas de espectroscopia mecánica se puede determinar si los metales nanocristalinos sometidos a tratamientos térmicos modifican su comportamiento mecánico al alterar la estructura de sus límites de grano. Un ejemplo de ello es el aluminio nanocristalino.

Determinación de puntos críticos en transformaciones martensíticas

La espectroscopia mecánica permite determinar los puntos críticos del inicio de la martensita. $M_{\text{s}}$ y acabado martensítico $M_{\text{f}}$ en transformaciones martensíticas para acero y otros metales y aleaciones . Se pueden identificar por anomalías en la tendencia del módulo. Tomando como ejemplo el acero AISI 304 , una anomalía en la distribución de los elementos en la aleación puede causar un aumento local en $M_{\text{s}}$ , especialmente en áreas con menos níquel, y cuando normalmente la formación de martensita solo puede ser inducida por deformación plástica, alrededor del 9% puede formarse de todos modos durante el enfriamiento.

Efectos magnetoelásticos en materiales ferromagnéticos

Los materiales ferromagnéticos tienen efectos anelásticos específicos que influyen en la fricción interna y el módulo dinámico .

Un material ferromagnético no magnetizado forma dominios de Weiss , cada uno con una magnetización espontánea y aleatoria . Las zonas límite, llamadas paredes de Bloch, tienen aproximadamente cien átomos de longitud, y en ellas la orientación de un dominio cambia gradualmente a la del adyacente. Al aplicar un campo magnético externo , los dominios con la misma orientación aumentan de tamaño hasta que se eliminan todas las paredes de Bloch y el material se magnetiza.

Los defectos cristalinos tienden a anclar los dominios, oponiéndose a su movimiento. Por lo tanto, los materiales se pueden clasificar como magnéticamente blandos o duros según el grado de anclaje de sus paredes.

En este tipo de materiales, los fenómenos magnéticos y elásticos están correlacionados, como en el caso de la magnetostricción , que es la propiedad de cambiar de tamaño al estar bajo un campo magnético, o, por el contrario, el cambio de propiedades magnéticas al aplicar una tensión mecánica. Estos efectos dependen de los dominios de Weiss y de su capacidad de reorientación.

Cuando un material magnetoelástico se somete a tensión, la deformación se produce por la suma de las deformaciones elásticas y magnetoelásticas. La presencia de esta última modifica la fricción interna, al añadir un mecanismo de disipación adicional.

Referencias

AS Nowick, BS Berry, Relajación anelástica en sólidos cristalinos, Academic Press, Nueva York y Londres, 1972
R. Montanari, E. Bonetti, Spettroscopia Meccanica, AIM (2010) ISBN 97-88-88529-87-81
CM Zener, Elasticidad y anelasticidad de los metales, University of Chicago Press, Chicago, Illinois, 1948.
MS Blanter, Igor S. Golovin, H. Neuhauser, Hans-Rainer Sinning, Fricción interna en materiales metálicos, Springer Series in Materials Science, 2007