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Grafo existencial

Un grafo existencial es un tipo de notación diagramática o visual para expresiones lógicas, creada por Charles Sanders Peirce , quien escribió sobre lógica gráfica ya en 1882, [...

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Un grafo existencial es un tipo de notación diagramática o visual para expresiones lógicas, creada por Charles Sanders Peirce , quien escribió sobre lógica gráfica ya en 1882, [ 1 ] y continuó desarrollando el método hasta su muerte en 1914. Incluyen tanto una notación gráfica separada para enunciados lógicos como un cálculo lógico, un sistema formal de reglas de inferencia que se puede utilizar para derivar teoremas.

Fondo

Peirce consideró que la notación algebraica (es decir, la notación simbólica) de la lógica, especialmente la de la lógica de predicados, [ 2 ] que aún era muy novedosa durante su vida y en cuyo desarrollo desempeñó un papel fundamental, era filosóficamente insatisfactoria, porque los símbolos tenían su significado por mera convención. En contraste, se esforzó por un estilo de escritura en el que los signos llevaran literalmente su significado en sí mismos [ 3 ] —en la terminología de su teoría de los signos: un sistema de signos icónicos que se asemejan o se asemejan a los objetos y relaciones representados. [ 4 ]

Así, el desarrollo de un sistema lógico icónico, gráfico y, como él pretendía, intuitivo y fácil de aprender, fue un proyecto en el que Peirce trabajó durante toda su vida. Tras al menos un intento fallido —los «grafos existenciales»—, el sistema cerrado de «grafos existenciales» surgió finalmente a partir de 1896. Aunque su creador los consideraba un sistema claramente superior y más intuitivo, tanto en su forma de escritura como en su cálculo, no tuvieron una gran influencia en la historia de la lógica. Esto se ha atribuido, en primer lugar, a que Peirce publicó poco sobre este tema y a que los textos publicados no estaban escritos de forma muy comprensible; [ 5 ] y, en segundo lugar, a que la notación de fórmulas lineales en manos de los expertos es, de hecho, la herramienta menos compleja. [ 6 ] Por consiguiente, los grafos existenciales recibieron poca atención [ 7 ] o se consideraron engorrosos. [ 8 ] Desde 1963 en adelante, los trabajos de Don D. Roberts y J. Jay Zeman, en los que los sistemas gráficos de Peirce fueron examinados y presentados sistemáticamente, llevaron a una mejor comprensión; aun así, hoy en día solo han encontrado un uso práctico en una aplicación moderna: los grafos conceptuales introducidos por John F. Sowa en 1976, que se utilizan en ciencias de la computación para representar el conocimiento. Sin embargo, los grafos existenciales están reapareciendo cada vez más como objeto de investigación en relación con un creciente interés en la lógica gráfica, [ 9 ] que también se expresa en intentos de reemplazar las reglas de inferencia dadas por Peirce con otras más intuitivas. [ 10 ]

El sistema general de grafos existenciales se compone de tres subsistemas que se complementan entre sí: los grafos alfa, los grafos beta y los grafos gamma. Los grafos alfa constituyen un sistema lógico puramente proposicional. A partir de este, los grafos beta representan un cálculo lógico de primer orden. Los grafos gamma, que aún no han sido investigados en profundidad y que Peirce no completó, se entienden como un desarrollo posterior de los grafos alfa y beta. Interpretados adecuadamente, los grafos gamma abarcan la lógica de predicados de nivel superior, así como la lógica modal. Ya en 1903, Peirce inició un nuevo enfoque, los "Grafos Existenciales Tinturados", con el que pretendía reemplazar los sistemas anteriores de grafos alfa, beta y gamma, combinando su expresividad y rendimiento en un único sistema. Al igual que los grafos gamma, los "Grafos Existenciales Tinturados" quedaron inconclusos.

Como cálculos, los grafos alfa, beta y gamma son correctos (es decir, todas las expresiones derivadas como grafos son semánticamente válidas). Los grafos alfa y beta también son completos (es decir, todas las expresiones proposicionales o semánticamente válidas desde el punto de vista de la lógica de predicados pueden derivarse como grafos alfa o beta). [ 11 ]

Los gráficos

Peirce propuso tres sistemas de grafos existenciales:

Alfa se anida en beta y gamma . Beta no se anida en gamma , ya que la lógica modal cuantificada es más general de lo que plantea Peirce.

Alfa

Gráficos alfa

La sintaxis es:

  • La página en blanco;
  • Letras o frases sueltas escritas en cualquier parte de la página;
  • Cualquier grafo puede ser delimitado por una curva cerrada simple llamada corte o separación . Un corte puede estar vacío. Los cortes pueden anidarse y concatenarse libremente, pero nunca deben intersecarse.

Cualquier parte bien formada de un grafo es un subgrafo .

La semántica es:

  • La página en blanco representa la Verdad ;
  • Las letras, frases, subgráficos y gráficos completos pueden ser verdaderos o falsos ;
  • Encerrar un subgrafo con un corte es equivalente a la negación lógica o complementación booleana . Por lo tanto, un corte vacío denota Falso ;
  • Todos los subgrafos dentro de un corte dado están tácitamente unidos .

Por lo tanto, los grafos alfa son una notación minimalista para la lógica proposicional , basada en la adecuación expresiva de "Y" y "No" . Los grafos alfa constituyen una simplificación radical del álgebra booleana de dos elementos y de los functores de verdad .

La profundidad de un objeto es el número de cortes que lo encierran.

Reglas de inferencia :

  • Inserción: Cualquier subgráfico puede insertarse en una profundidad impar. La página blanca circundante es la profundidad 1. La profundidad 2 corresponde a las letras y líneas negras que rodean los elementos. La profundidad 3 consiste en entrar en la siguiente área blanca dentro de un elemento cerrado.
  • Borrado: Cualquier subgrafo en una profundidad par puede ser borrado.

Reglas de equivalencia :

  • Doble corte: Se pueden dibujar dos cortes sin separación entre ellos alrededor de cualquier subgrafo. Del mismo modo, se pueden eliminar dos cortes anidados sin separación entre ellos. Esta regla es equivalente a la involución booleana y a la eliminación por doble negación .
  • Iteración/Deiteración: Para comprender esta regla, conviene visualizar un grafo como una estructura de árbol con nodos y ancestros . Cualquier subgrafo P en el nodo n puede copiarse en cualquier nodo que dependa de n . Del mismo modo, cualquier subgrafo P en el nodo n puede eliminarse si existe una copia de P en algún nodo ancestro de n (es decir, algún nodo del que dependa n ). Para una regla equivalente en un contexto algebraico, véase C2 en Leyes de la Forma .

Una demostración manipula un grafo mediante una serie de pasos, cada uno justificado por una de las reglas anteriores. Si un grafo puede reducirse mediante pasos a una página en blanco o a un corte vacío, se trata de lo que hoy se denomina una tautología (o su complemento, una contradicción). Los grafos que no pueden simplificarse más allá de cierto punto son análogos a las fórmulas satisfacibles de la lógica de primer orden .

Beta

Gráfico existencial de la afirmación "Hay algo que no es humano"
gráficos existenciales beta

En el caso de los betagrafos, las expresiones atómicas ya no son letras proposicionales (P, Q, R,...) ni enunciados ("Llueve", "Peirce murió en la pobreza"), sino predicados en el sentido de la lógica de predicados (véase allí para más detalles), posiblemente abreviados como letras predicativas (F, G, H,...). Un predicado en el sentido de la lógica de predicados es una secuencia de palabras con espacios claramente definidos que se convierte en una oración proposicional si se inserta un nombre propio en cada espacio. Por ejemplo, la secuencia de palabras "_ es un humano" es un predicado porque da lugar a la oración declarativa "Peirce es un humano" si se introduce el nombre propio "Peirce" en el espacio en blanco. Del mismo modo, la secuencia de palabras "_ 1 es más rico que _ 2 " es un predicado, porque da como resultado el enunciado "Sócrates es más rico que Platón" si se insertan los nombres propios "Sócrates" o "Platón" en los espacios.

Notación de betagrafos

El recurso lingüístico básico es la línea de identidad, una línea gruesa de cualquier forma. La línea de identidad se inserta en el espacio en blanco de un predicado para indicar que este se aplica al menos a un individuo. Para expresar que el predicado "_ es un ser humano" se aplica al menos a un individuo —es decir, para decir que existe (al menos) un ser humano— se escribe una línea de identidad en el espacio en blanco del predicado "_ es un ser humano":

Gráfico existencial de la afirmación "Un hombre se come a otro hombre".

Los gráficos beta pueden interpretarse como un sistema en el que todas las fórmulas se consideran cerradas, ya que todas las variables están cuantificadas implícitamente. Si la parte más superficial de una línea de identidad tiene profundidad par, la variable asociada está cuantificada tácitamente de forma existencial ( universal ).

Zeman (1964) fue el primero en señalar que los grafos beta son isomorfos a la lógica de primer orden con igualdad (véase también Zeman, 1967). Sin embargo, la literatura secundaria, especialmente Roberts (1973) y Shin (2002), no se pone de acuerdo sobre cómo se produce esto. Los escritos de Peirce no abordan esta cuestión, ya que la lógica de primer orden se articuló claramente por primera vez después de su muerte, en la primera edición de 1928 de los Principios de lógica matemática de David Hilbert y Wilhelm Ackermann .

Gama

A la sintaxis de alfa se le añade un segundo tipo de curva cerrada simple , escrita con una línea discontinua en lugar de una continua. Peirce propuso reglas para este segundo estilo de corte, que puede interpretarse como el operador unario primitivo de la lógica modal .

Zeman (1964) fue el primero en observar que los grafos gamma son equivalentes a las conocidas lógicas modales S4 y S5 . Por lo tanto, los grafos gamma pueden interpretarse como una forma peculiar de lógica modal normal . Este hallazgo de Zeman ha recibido poca atención hasta la fecha, pero se incluye aquí como un punto de interés.

El papel de Peirce

Los grafos existenciales son una curiosa creación de Peirce , el lógico /matemático, siendo Peirce el fundador de una importante corriente de la semiótica . La lógica gráfica de Peirce es solo uno de sus muchos logros en lógica y matemáticas. En una serie de artículos que comenzaron en 1867 y culminaron con su artículo clásico en el American Journal of Mathematics de 1885 , Peirce desarrolló gran parte del álgebra booleana de dos elementos , el cálculo proposicional , la cuantificación y el cálculo de predicados , así como algunos fundamentos de la teoría de conjuntos . Los teóricos de modelos consideran a Peirce el primero de su tipo. También extendió el álgebra de relaciones de De Morgan . No llegó a desarrollar la metalógica (que incluso se le escapó a Principia Mathematica ).

Pero la teoría semiótica en evolución de Peirce lo llevó a dudar del valor de la lógica formulada con la notación lineal convencional, y a preferir que la lógica y las matemáticas se escribieran en dos (o incluso tres) dimensiones. Su trabajo fue más allá de los diagramas de Euler y de la revisión que Venn hizo de ellos en 1880. La obra de Frege de 1879, Begriffsschrift, también empleó una notación bidimensional para la lógica, pero muy diferente de la de Peirce.

El primer artículo publicado de Peirce sobre lógica gráfica (reimpreso en el vol. 3 de sus Obras Completas ) propuso un sistema dual (en efecto) a los grafos existenciales alfa , llamados grafos entitativos . Muy pronto abandonó este formalismo en favor de los grafos existenciales. En 1911, Victoria, Lady Welby mostró los grafos existenciales a CK Ogden, quien consideró que podían combinarse útilmente con las ideas de Welby de una forma menos abstrusa. [ 12 ] Por lo demás, atrajeron poca atención durante su vida y fueron invariablemente denigrados o ignorados después de su muerte, hasta las tesis doctorales de Roberts (1964) y Zeman (1964).

Véase también

Referencias

  1. ↑ Peirce, CS, "[Sobre junturas y fracturas en lógica]" (título de los editores para MS 427 (el nuevo sistema de numeración), otoño-invierno de 1882), y "Carta de Peirce a OH Mitchell" (L 294, 21 de diciembre de 1882), Writings of Charles S. Peirce , vol. 4, "Junctures" en pp. 391-393 ( vista previa de Google ) y la carta en pp. 394-399 ( vista previa de Google ). Véase Sowa, John F. (1997), "Matching Logical Structure to Linguistic Structure", Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce , Nathan Houser, Don D. Roberts y James Van Evra, editores, Bloomington e Indianápolis: Indiana University Press, pp. 418-444, véase 420, 425, 426, 428.
  2. ↑ Smullyan, Raymond M. (1968), "Prenex Tableaux" , First-Order Logic , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 117–121 , doi : 10.1007/978-3-642-86718-7_13 , ISBN  978-3-642-86720-0, consultado el 10 de julio de 2024
  3. ↑ "Peirce busca un signo que no solo se entienda de forma convencional [...], sino que "muestre su significado abiertamente", por así decirlo" (Zeman 1964, página 21, citado de la edición en línea).
  4. ↑ "[Las fórmulas algebraicas] no son 'icónicas', es decir, no se asemejan a los objetos o relaciones que representan. Peirce consideró esto un defecto." (Roberts 1973, pág. 17)
  5. ↑ "[Las] publicaciones gráficas de Peirce eran escasas y difíciles de entender, como él mismo admitió." (Roberts 1973, página 12)
  6. ↑ "[L]a sintaxis de los grafos de Peirce carece, al menos en general, de la elegancia combinatoria y la simplicidad de las notaciones lineales" (Hammer 1998, página 502)
  7. ↑ Roberts señala que incluso en la obra estándar sobre la historia de la lógica, Kneale/Kneale: The Development of Logic. Clarendon Press. Oxford 1962, ISBN 0-19-824773-7No se mencionan los diagramas lógicos de Peirce.
  8. ↑ "Cabe cuestionar la eficacia de los diagramas de Peirce [...]. Su mecanismo básico es demasiado complejo [...]." (Quine: Reseña de Obras Completas de Charles Sanders Peirce, Volumen 4: Las Matemáticas Más Simples, Isis 22, página 552, citado en Roberts 1973, página 13)
  9. ↑ «Además de su interés histórico, los formalismos gráficos de Peirce son de interés actual. El sistema de grafos conceptuales de Sowa [...] se basa en la obra de Peirce. [Otros trabajos] también indican un creciente interés en la lógica del razonamiento gráfico.» (Hammer 1998, página 489)
  10. ↑ Véase, por ejemplo, Sun-Joo Shin, "Reconstituting Beta Graphs into an Efficacious System", Journal of Logic, Language and Information archive, Volumen 8, Número 3, julio de 1999, 273–295.
  11. ↑ La evidencia de esto fue proporcionada por J. Jay Zeman en su disertación de 1964 (véase la bibliografía); para gráficos alfa, véase también el trabajo de White, 1984.
  12. ↑ Petrilli, Susan (2017). Victoria Welby y la ciencia de los signos: signos, semiótica, filosofía del lenguaje . Routledge. ISBN 978-1-351-29598-7.

Lecturas adicionales

Literatura primaria

  • 1931–1935 y 1958. Obras completas de Charles Sanders Peirce . Volumen 4, Libro II: "Gráficos existenciales", que comprende los párrafos 347–584. También se incluye un análisis a partir del párrafo 617.
    • Párrafos 347–349 (II.1.1. "Diagrama lógico")—Definición de Peirce "Diagrama lógico (o gráfico)" en Baldwin 's Dictionary of Philosophy and Psychology (1902), vol. 2, pág. 28. Classics in the History of Psychology Eprint .
    • Párrafos 350–371 (II.1.2. "Sobre los diagramas de Euler")—de "Gráficos" (manuscrito 479) c. 1903.
    • Párrafos 372–584 Eprint .
    • Párrafos 372–393 (II.2. "Lógica simbólica"): la parte de Peirce de "Lógica simbólica" en el Diccionario de filosofía y psicología de Baldwin (1902), vol. 2, págs. 645–650 , comienza (cerca de la parte superior de la segunda columna) con "Si se define la lógica simbólica...". El párrafo 393 (DPP2 de Baldwin, pág.  650) es de Peirce y Christine Ladd-Franklin ("CSP, CLF").
    • Párrafos 394–417 (II.3. "Grafos existenciales")—del folleto de Peirce A Syllabus of Certain Topics of Logic , pp.  15–23, Alfred Mudge & Son, Boston (1903).
    • Párrafos 418–509 (II.4. "Sobre grafos existenciales, diagramas de Euler y álgebra lógica")—de "Tratados lógicos, n.° 2" (manuscrito 492), c. 1903.
    • Párrafos 510–529 (II.5. "La parte gamma de los grafos existenciales")—de "Conferencias Lowell de 1903", Conferencia IV (manuscrito 467).
    • Párrafos 530–572 (II.6.)—"Prolegómenos a una apología del pragmatismo" (1906), The Monist , vol. XVI, n.º 4, pp. 492-546 . Correcciones (1907) en The Monist , vol. XVII, p. 160 .
    • Párrafos 573–584 (II.7. "Una mejora en los gráficos gamma")—de "Para la Academia Nacional de Ciencias, Reunión de abril de 1906 en Washington" (manuscrito 490).
    • Párrafos 617–623 (al menos) (en el Libro III, Cap. 2, §2, párrafos 594–642)—de "Some Amazing Mazes: Explanation of Curiosity the First", The Monist , vol. XVIII, 1908, n.º 3, págs. 416-464, véase a partir de la pág. 440 .
  • 1992. «Tercera conferencia: La lógica de los parientes», Razonamiento y lógica de las cosas , págs.  146-164. Ketner, Kenneth Laine (edición e introducción) y Hilary Putnam (comentario). Harvard University Press . Conferencias de Peirce de 1898 en Cambridge, Massachusetts.
  • 1977, 2001. Semiótica y significados : la correspondencia entre C.S. Peirce y Victoria Lady Welby . Hardwick, C.S., ed. Lubbock, TX: Texas Tech University Press. 2.ª edición, 2001.
  • Transcripción del manuscrito MS 514 de Peirce (1909), editada con comentarios de John Sowa .

Actualmente, la edición crítica cronológica de las obras de Peirce, los Escritos , abarca solo hasta 1892. Gran parte de su trabajo sobre grafos lógicos consiste en manuscritos posteriores a esa fecha que aún permanecen inéditos. Por lo tanto, es probable que nuestra comprensión de la lógica gráfica de Peirce cambie a medida que se publiquen los 23 volúmenes restantes de la edición cronológica.

Literatura secundaria

  • Hammer, Eric M. (1998), "Semántica para grafos existenciales", Journal of Philosophical Logic 27 : 489–503.
  • Ketner, Kenneth Laine
    • (1981), "El mejor ejemplo de semiosis y su uso en la enseñanza de la semiótica", American Journal of Semiotics , vol. I, n.º 1-2, págs.  47-83. El artículo es una introducción a los grafos existenciales.
    • (1990), Elementos de lógica: una introducción a los grafos existenciales de Peirce , Texas Tech University Press, Lubbock, TX, 99 páginas, encuadernado en espiral.
  • Queiroz, João y Stjernfelt, Frederik
    • (2011), "Razonamiento diagramático y representación lógica peirceana", Semiotica vol.  186 (1/4). (Número especial sobre la lógica diagramática de Peirce).
  • Roberts, Don D.
    • (1964), "Grafos existenciales y deducción natural" en Moore, EC y Robin, RS (eds.), Estudios sobre la filosofía de CS Peirce, 2.ª serie . Amherst, MA: University of Massachusetts Press . La primera publicación que muestra simpatía y comprensión por la lógica gráfica de Peirce.
    • (1973). Los gráficos existenciales de C.S. Peirce. John Benjamins. Una continuación de su tesis de 1963.
  • Shin, Sun-Joo (2002), La lógica icónica de los gráficos de Peirce . MIT Press.
  • Zalamea, Fernando . La lógica de la continuidad de Peirce. Docent Press, Boston, MA. 2012. ISBN 9 780983 700494.
    • Parte II: Los gráficos existenciales de Peirce, págs.  76-162.
  • Zeman, JJ
    • (1964), La lógica gráfica de CS Peirce. Archivado el 14 de septiembre de 2018 en Wayback Machine. Tesis doctoral inédita presentada a la Universidad de Chicago .
    • (1967), "Un sistema de cuantificación implícita", Journal of Symbolic Logic 32 : 480–504.
  • Enciclopedia de Filosofía de Stanford : La lógica de Peirce, por Sun-Joo Shin y Eric Hammer.
  • Dau, Frithjof, Los gráficos existenciales de Peirce: lecturas y enlaces. Una bibliografía anotada sobre los gráficos existenciales.
  • Gottschall, Christian, Proof Builder Archivado el 12/02/2006 en Wayback Machine — Applet de Java para derivar gráficos Alpha.
  • Liu, Xin-Wen, " La literatura de los gráficos existenciales de C.S. Peirce " (a través de Wayback Machine), Instituto de Filosofía, Academia China de Ciencias Sociales, Pekín, República Popular China.
  • Sowa, John F. "Leyes, hechos y contextos: fundamentos para el razonamiento multimodal" . Recuperado el 23 de octubre de 2009 .(Nota: Gráficos existenciales y gráficos conceptuales .)
  • Van Heuveln, Bram, " Gráficos existenciales. Archivado el 29/08/2009 en Wayback Machine ". Departamento de Ciencias Cognitivas, Instituto Politécnico Rensselaer . Solo versión alfa.
  • Zeman, Jay J., " Grafos existenciales ". Con cuatro artículos en línea de Peirce.