Teoría algebraica

En lógica matemática , una teoría algebraica se define informalmente como aquella que utiliza axiomas expresados ​​exclusivamente en términos de ecuaciones con variables libres . Se prohíben específicamente las desigualdades y los cuantificadores . La lógica proposicional es el subconjunto de la lógica de primer orden que involucra únicamente proposiciones algebraicas.

Esta noción es muy similar a la de estructura algebraica , que, posiblemente, sea simplemente un sinónimo.

Decir que una teoría es algebraica es una condición más fuerte que decir que es elemental .

Una teoría algebraica consiste en una colección de símbolos de operaciones n -arias con reglas adicionales (axiomas).

Por ejemplo, la teoría de grupos es una teoría algebraica porque tiene tres símbolos de operación: una operación binaria a × b , una operación nula 1 ( elemento neutro ) y una operación unaria x ↦ x ⁻¹ con las reglas de asociatividad , neutralidad e inversos respectivamente. Otros ejemplos incluyen:

• la teoría de los semigrupos
• la teoría de las redes
• la teoría de los anillos

Esto se opone a las teorías geométricas , que implican funciones parciales (o relaciones binarias ) o cuantificadores existenciales ; véase, por ejemplo, la geometría euclidiana , donde se postula la existencia de puntos o líneas.

En teoría de categorías , una teoría algebraica T es una categoría cuyos objetos son los números naturales 0, 1, 2,..., y que, para cada n , tiene una n -tupla de morfismos :

proj _i : n → 1, i = 1, ..., n

Esto permite interpretar n como un producto cartesiano de n copias de 1.

Ejemplo: Definamos una teoría algebraica T tomando hom( n , m ) como m -tuplas de polinomios de n variables libres X ₁ , ..., X _n con coeficientes enteros y con la sustitución como composición. En este caso, proj _i es igual a X _i . Esta teoría T se llama teoría de anillos conmutativos .

En una teoría algebraica, cualquier morfismo n → m puede describirse como m morfismos de signatura n → 1. Estos últimos morfismos se denominan operaciones n -arias de la teoría.

Si E es una categoría con productos finitos , la subcategoría completa Alg( T , E ) de la categoría de functores [ T , E ] que consta de aquellos functores que preservan productos finitos se llama categoría de T - modelos o T - álgebras .

Nótese que, en el caso de un morfismo 2 → 1, el álgebra A apropiada definirá un morfismo

A (2) ≈ A (1) × A (1) → A (1).

• Clonar (álgebra)

• Lawvere, FW , 1963, Semántica funtorial de las teorías algebraicas, Actas de la Academia Nacional de Ciencias 50, n.° 5 (noviembre de 1963), 869-872
• Adámek, J., Rosický, J., Vitale, EM, Teorías algebraicas. Una introducción categórica al álgebra general
• Kock, A., Reyes, G., Doctrinas en lógica categórica, en Manual de lógica matemática, ed. J. Barwise , North Holland 1977
• Teoría algebraica en el Laboratorio n