Estructura algebraica

En matemáticas , una estructura algebraica o sistema algebraico ^{[ 1 ]} consiste en un conjunto no vacío A (llamado conjunto subyacente , conjunto portador o dominio ), una colección de operaciones en A (típicamente operaciones binarias como la suma y la multiplicación) y un conjunto finito de identidades (conocidas como axiomas ) que estas operaciones deben satisfacer.

Una estructura algebraica puede basarse en otras estructuras algebraicas con operaciones y axiomas que involucran varias estructuras. Por ejemplo, un espacio vectorial involucra una segunda estructura llamada cuerpo y una operación llamada multiplicación escalar entre elementos del cuerpo (llamados escalares ) y elementos del espacio vectorial (llamados vectores ).

El álgebra abstracta es el nombre que se suele dar al estudio de las estructuras algebraicas. La teoría general de las estructuras algebraicas se ha formalizado en el álgebra universal . La teoría de categorías es otra formalización que incluye otras estructuras matemáticas y funciones entre estructuras del mismo tipo ( homomorfismos ).

En álgebra universal, una estructura algebraica se llama álgebra ; ^{[ 2 ]} este término puede ser ambiguo, ya que, en otros contextos, un álgebra es una estructura algebraica que es un espacio vectorial sobre un cuerpo o un módulo sobre un anillo conmutativo .

En álgebra universal, el conjunto de todas las estructuras de un tipo dado (con las mismas operaciones y leyes) se denomina variedad ; este término también se utiliza con un significado completamente diferente en geometría algebraica , como abreviatura de variedad algebraica . En teoría de categorías, el conjunto de todas las estructuras de un tipo dado y los homomorfismos entre ellas forman una categoría concreta .

Introducción

La suma y la multiplicación son ejemplos prototípicos de operaciones que combinan dos elementos de un conjunto para producir un tercer elemento del mismo conjunto. Estas operaciones obedecen varias leyes algebraicas. Por ejemplo, $a + (b + c) = (a + b) + c$ y $a (bc) = (ab) c$ son leyes asociativas , y $a + b = b + a$ y $ab = ba$ son leyes conmutativas . Muchos sistemas estudiados por los matemáticos tienen operaciones que obedecen algunas, pero no necesariamente todas, las leyes de la aritmética ordinaria. Por ejemplo, los posibles movimientos de un objeto en el espacio tridimensional se pueden combinar realizando un primer movimiento del objeto y luego un segundo movimiento desde su nueva posición. Dichos movimientos, formalmente llamados movimientos rígidos , obedecen la ley asociativa, pero no satisfacen la ley conmutativa.

Los conjuntos con una o más operaciones que obedecen leyes específicas se denominan estructuras algebraicas . Cuando un nuevo problema involucra las mismas leyes que dicha estructura algebraica, todos los resultados que se hayan demostrado utilizando únicamente las leyes de la estructura pueden aplicarse directamente al nuevo problema.

En términos generales, las estructuras algebraicas pueden incluir una colección arbitraria de operaciones, entre las que se encuentran aquellas que combinan más de dos elementos ( operaciones de aridad superior ) y aquellas que toman un solo argumento ( operaciones unarias ) o incluso ninguno ( operaciones nulas ). Los ejemplos que se presentan a continuación no constituyen una lista exhaustiva, pero incluyen las estructuras más comunes que se enseñan en los cursos de pregrado.

Axiomas comunes

Axiomas de ecuaciones

Un axioma de una estructura algebraica suele tener la forma de una identidad , es decir, una ecuación en la que ambos lados del signo de igualdad son expresiones que involucran operaciones de la estructura algebraica y variables . Si las variables de la identidad se reemplazan por elementos arbitrarios de la estructura algebraica, la igualdad debe seguir siendo verdadera. He aquí algunos ejemplos comunes.

Conmutatividad: Una operación $*$ es conmutativa si $x*y=y*x$ para cada $x$ e $y$ en la estructura algebraica.
Asociatividad: Una operación $*$ es asociativo si $(x*y)*z=x*(y*z)$ para cada $x$ , $y$ y $z$ en la estructura algebraica.
Distributividad izquierda: Una operación $*$ es distributiva por la izquierda con respecto a otra operación $+$ si $x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$ para cada $x$ , $y$ y $z$ en la estructura algebraica (la segunda operación se denota aquí como $+$ , porque la segunda operación es la suma en muchos ejemplos comunes).
Distributividad derecha: Una operación $*$ es distributiva derecha con respecto a otra operación $+$ si $(y+z)*x=(y*x)+(z*x)$ para cada $x$ , $y$ y $z$ en la estructura algebraica.
Distributividad: Una operación $*$ es distributiva con respecto a otra operación $+$ si es distributiva por la izquierda y distributiva por la derecha. Si la operación $*$ es conmutativa, la distributividad izquierda y derecha son ambas equivalentes a la distributividad.

Axiomas existenciales

Algunos axiomas comunes contienen una cláusula existencial . En general, dicha cláusula puede evitarse introduciendo operaciones adicionales y reemplazando la cláusula existencial por una identidad que involucre la nueva operación. Más precisamente, consideremos un axioma de la forma "para todo $X$ existe $y$ tal que $f(X,y)=g(X,y)$ ", donde $X$ es una $k$ - tupla de variables. Elegir un valor específico de $y$ para cada valor de $X$ define una función $\varphi :X\mapsto y,$ que puede verse como una operación de aridad $k$ , y el axioma se convierte en la identidad $f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).$

La introducción de dicha operación auxiliar complica ligeramente el enunciado de un axioma, pero tiene algunas ventajas. Dada una estructura algebraica específica, la prueba de que se satisface un axioma existencial consiste generalmente en la definición de la función auxiliar, completada con verificaciones directas. Además, al calcular en una estructura algebraica, generalmente se utilizan explícitamente las operaciones auxiliares. Por ejemplo, en el caso de los números , el inverso aditivo viene dado por la operación de resta unaria. $x\mapsto -x.$

Asimismo, en álgebra universal , una variedad es una clase de estructuras algebraicas que comparten las mismas operaciones y los mismos axiomas, con la condición de que todos los axiomas sean identidades. Lo anterior demuestra que los axiomas existenciales de la forma mencionada se aceptan en la definición de variedad.

Aquí están algunos de los axiomas existenciales más comunes.

Elemento de identidad: Una operación binaria $*$ tiene un elemento identidad si existe un elemento $e$ tal que $x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x$ para todo $x$ en la estructura. Aquí, la operación auxiliar es la operación de aridad cero que tiene $e$ como resultado.
Elemento inverso: Dada una operación binaria $*$ que tiene un elemento identidad $e$ , un elemento $x$ es invertible si tiene un elemento inverso, es decir, si existe un elemento $\operatorname {inv} (x)$ de tal manera que $\operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.$ Por ejemplo, un grupo es una estructura algebraica con una operación binaria asociativa, que tiene un elemento neutro y cuyos elementos son invertibles.

Axiomas no ecuacionales

Los axiomas de una estructura algebraica pueden ser cualquier fórmula de primer orden , es decir, una fórmula que involucre conectores lógicos (como "y" , "o" y "no" ) y cuantificadores lógicos ( $\forall ,\exists$ ) que se aplican a los elementos (no a los subconjuntos) de la estructura.

Un axioma típico de este tipo es la inversión en cuerpos . Este axioma no puede reducirse a axiomas de tipos precedentes. (De ello se deduce que los cuerpos no forman una variedad en el sentido del álgebra universal ). Se puede afirmar: "Todo elemento no nulo de un cuerpo es invertible "; o, equivalentemente: la estructura tiene una operación unaria $inv$ tal que

\forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.

La operación $inv$ puede verse como una operación parcial que no está definida para $x = 0$ ; o como una función ordinaria cuyo valor en 0 es arbitrario y no debe usarse.

Estructuras algebraicas comunes

Un conjunto con operaciones

Estructuras simples : sin operaciones binarias :

Conjunto : una estructura algebraica degenerada S que no tiene operaciones.

Estructuras de tipo grupo : una operación binaria. La operación binaria puede indicarse con cualquier símbolo o sin símbolo (yuxtaposición), como se hace en la multiplicación ordinaria de números reales.

Grupo : un monoide con una operación unaria (inverso), que da lugar a elementos inversos .
Grupo abeliano : un grupo cuya operación binaria es conmutativa .

Estructuras en forma de anillo o Ringoides : dos operaciones binarias, a menudo llamadas suma y multiplicación , donde la multiplicación se distribuye sobre la suma.

Anillo : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
Anillo de división : un anillo no trivial en el que se define la división por elementos distintos de cero.
Anillo conmutativo : un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa.
Cuerpo : un anillo de división conmutativo (es decir, un anillo conmutativo que contiene un inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero).

Estructuras reticulares : dos o más operaciones binarias, incluidas las operaciones llamadas encuentro y unión , conectadas por la ley de absorción . ^{[ 3 ]}

Retículo completo : un retículo en el que existen uniones y cruces arbitrarias .
Retículo acotado : un retículo con un elemento máximo y un elemento mínimo.
Retículo distributivo : un retículo en el que cada intersección y unión distribuye sobre el otro. Un conjunto potencia bajo la unión y la intersección forma un retículo distributivo.
Álgebra booleana : un retículo distributivo complementado. Tanto la operación de encuentro como la de unión pueden definirse en términos de la otra y de la complementación.

Dos conjuntos con operaciones

Módulo : un grupo abeliano M y un anillo R que actúan como operadores sobre M. Los elementos de R se denominan a veces escalares , y la operación binaria de multiplicación escalar es una función R × M → M , que satisface varios axiomas. Si se cuentan las operaciones del anillo, estos sistemas tienen al menos tres operaciones.
Espacio vectorial : un módulo donde el anillo R es un cuerpo o, en algunos contextos, un anillo de división .

Álgebra sobre un cuerpo : un módulo sobre un cuerpo que también incluye una operación de multiplicación compatible con la estructura del módulo. Esto implica la propiedad distributiva respecto de la suma y la linealidad respecto de la multiplicación.
Espacio con producto interno : un cuerpo F y un espacio vectorial V con una forma bilineal definida V × V → F.

Estructuras híbridas

Las estructuras algebraicas también pueden coexistir con estructuras añadidas de naturaleza no algebraica, como el orden parcial o una topología . La estructura añadida debe ser compatible, en cierto sentido, con la estructura algebraica.

Grupo topológico : un grupo con una topología compatible con la operación de grupo.
Grupo de Lie : un grupo topológico con una estructura de variedad suave compatible.
Grupos ordenados , anillos ordenados y campos ordenados : cada tipo de estructura con un orden parcial compatible .
Grupo arquimediano : un grupo ordenado linealmente para el cual se cumple la propiedad arquimediana .
Espacio vectorial topológico : un espacio vectorial cuya M tiene una topología compatible.
Espacio vectorial normado : un espacio vectorial con una norma compatible . Si dicho espacio es completo (como un espacio métrico), entonces se denomina espacio de Banach .
Espacio de Hilbert : un espacio con producto interno sobre los números reales o complejos cuyo producto interno da lugar a una estructura de espacio de Banach.
álgebra de operadores de vértice
Álgebra de Von Neumann : un *-álgebra de operadores en un espacio de Hilbert equipado con la topología de operador débil .

Álgebra universal

Las estructuras algebraicas se definen mediante diferentes configuraciones de axiomas . El álgebra universal estudia abstractamente dichos objetos. Una dicotomía importante se establece entre las estructuras axiomatizadas completamente por identidades y las que no lo están. Si todos los axiomas que definen una clase de álgebras son identidades, entonces esta clase es una variedad (que no debe confundirse con las variedades algebraicas de la geometría algebraica ).

Las identidades son ecuaciones formuladas utilizando únicamente las operaciones que permite la estructura y variables cuantificadas universalmente de forma tácita sobre el universo relevante . Las identidades no contienen conectores , variables cuantificadas existencialmente ni relaciones de ningún tipo, salvo las operaciones permitidas. El estudio de las variedades es una parte importante del álgebra universal . Una estructura algebraica en una variedad puede entenderse como el álgebra cociente del álgebra de términos (también llamada " álgebra absolutamente libre ") dividida por las relaciones de equivalencia generadas por un conjunto de identidades. Así, una colección de funciones con signaturas dadas genera un álgebra libre, el álgebra de términos T. Dado un conjunto de identidades ecuacionales (los axiomas), se puede considerar su clausura simétrica y transitiva E. El álgebra cociente T / E es entonces la estructura algebraica o variedad. Así, por ejemplo, los grupos tienen una signatura que contiene dos operadores: el operador de multiplicación m , que toma dos argumentos, y el operador inverso i , que toma un argumento, y el elemento identidad e , una constante, que puede considerarse un operador que no toma argumentos. Dado un conjunto (contable) de variables x , y , z , etc., el álgebra de términos es la colección de todos los términos posibles que involucran m , i , e y las variables; por ejemplo, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) sería un elemento del álgebra de términos. Uno de los axiomas que definen un grupo es la identidad m ( x , i ( x )) = e ; otro es m ( x , e ) = x . Los axiomas pueden representarse como árboles . Estas ecuaciones inducen clases de equivalencia en el álgebra libre; el álgebra cociente tiene entonces la estructura algebraica de un grupo.

Algunas estructuras no forman variedades, porque:

Es necesario que 0 ≠ 1, siendo 0 el elemento neutro aditivo y 1 un elemento neutro multiplicativo, pero esto no es una identidad;
Las estructuras como los cuerpos tienen ciertos axiomas que se cumplen solo para los elementos no nulos de S. Para que una estructura algebraica sea una variedad, sus operaciones deben estar definidas para todos los elementos de S ; no puede haber operaciones parciales.

Las estructuras cuyos axiomas incluyen inevitablemente no identidades se encuentran entre las más importantes en matemáticas, por ejemplo, los cuerpos y los anillos de división . Las estructuras con no identidades presentan desafíos que las variedades no presentan. Por ejemplo, el producto directo de dos cuerpos no es un cuerpo, porque $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ , pero los campos no tienen divisores cero .

Teoría de categorías

La teoría de categorías es otra herramienta para estudiar estructuras algebraicas (véase, por ejemplo, Mac Lane 1998). Una categoría es una colección de objetos con morfismos asociados . Toda estructura algebraica tiene su propia noción de homomorfismo , es decir, cualquier función compatible con la(s) operación(es) que definen la estructura. De esta manera, toda estructura algebraica da lugar a una categoría . Por ejemplo, la categoría de grupos tiene como objetos a todos los grupos y como morfismos a todos los homomorfismos de grupos . Esta categoría concreta puede considerarse una categoría de conjuntos con una estructura categórica añadida. Del mismo modo, la categoría de grupos topológicos (cuyos morfismos son los homomorfismos de grupos continuos) es una categoría de espacios topológicos con una estructura adicional. Un functor de olvido entre categorías de estructuras algebraicas "olvida" una parte de una estructura.

En la teoría de categorías existen diversos conceptos que intentan capturar el carácter algebraico de un contexto, por ejemplo:

Diferentes significados de "estructura"

En un ligero abuso de notación , la palabra "estructura" también puede referirse solo a las operaciones sobre una estructura, en lugar del conjunto subyacente en sí. Por ejemplo, la oración, "Hemos definido una estructura de anillo en el conjunto $A$ ", significa que hemos definido operaciones de anillo en el conjunto $A$ . Por otro ejemplo, el grupo $(\mathbb {Z} ,+)$ puede verse como un conjunto $\mathbb {Z}$ que está equipada con una estructura algebraica, a saber, la operación $+$ .

Véase también

Notas

↑ F.-V. Kuhlmann (creador). "Estructura" . Enciclopedia de Matemáticas . Springer-Verlag . ISBN 1402006098.
↑ PM Cohn . (1981) Álgebra Universal , Springer, p. 41.
↑ Los anillos y las redes se pueden distinguir claramente a pesar de que ambos poseen dos operaciones binarias definitorias. En el caso de los anillos, las dos operaciones están vinculadas por la ley distributiva ; en el caso de las redes, están vinculadas por la ley de absorción . Los anillos también tienden a tener modelos numéricos, mientras que las redes tienden a tener modelos de teoría de conjuntos .

Referencias

Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (2.ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Álgebra aplicada y análisis funcional , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), Un curso de álgebra universal , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3

Teoría de categorías

Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en ejercicio (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
Taylor, Paul (1999), Fundamentos prácticos de las matemáticas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5

Enlaces externos

Estructuras algebraicas de Jipsen. Incluye muchas estructuras no mencionadas aquí.
Página de Mathworld sobre álgebra abstracta.
Enciclopedia de Filosofía de Stanford : Álgebra, por Vaughan Pratt .

[1] F.-V. Kuhlmann (creador). "Estructura" . Enciclopedia de Matemáticas . Springer-Verlag . ISBN 1402006098.

[2] PM Cohn . (1981) Álgebra Universal , Springer, p. 41.

[3] Los anillos y las redes se pueden distinguir claramente a pesar de que ambos poseen dos operaciones binarias definitorias. En el caso de los anillos, las dos operaciones están vinculadas por la ley distributiva ; en el caso de las redes, están vinculadas por la ley de absorción . Los anillos también tienden a tener modelos numéricos, mientras que las redes tienden a tener modelos de teoría de conjuntos .

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