haz afín

En matemáticas, un fibrado afín es un fibrado cuya fibra típica, fibras, morfismos de trivialización y funciones de transición son afines. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$sea ​​un fibrado vectorial con una fibra típica un espacio vectorial${\displaystyle {\overline {F}}}$Un fibrado afín modelado a partir de un fibrado vectorial .${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$es un haz de fibras${\displaystyle \pi :Y\to X}$cuya fibra típica${\displaystyle F}$es un espacio afín modelado en${\displaystyle {\overline {F}}}$de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

(i) Cada fibra${\displaystyle Y_{x}}$de${\displaystyle Y}$es un espacio afín modelado sobre las fibras correspondientes${\displaystyle {\overline {Y}}_{x}}$de un haz vectorial${\displaystyle {\overline {Y}}}$.

(ii) Existe un atlas de haces afines de${\displaystyle Y\to X}$cuyos morfismos de trivializaciones locales y funciones de transición son isomorfismos afines .

Al trabajar con haces afines, solo se utilizan las coordenadas del haz afín.${\displaystyle (x^{\mu },y^{i})}$que poseen funciones de transición afines

${\displaystyle y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu })y^{j}+b^{i}(x^{\nu }).}$

Existen los morfismos de haces

${\displaystyle Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad (y^{i},{\overline {y}}^{i})\longmapsto y^{i}+{\overline {y}}^{i},}$

${\displaystyle Y\times _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y}},\qquad (y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i},}$

dónde${\displaystyle ({\overline {y}}^{i})}$son coordenadas de fibrado lineal en un fibrado vectorial${\displaystyle {\overline {Y}}}$, que poseen funciones de transición lineales${\displaystyle {\overline {y}}'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }){\overline {y}}^{j}}$.

Un fibrado afín tiene una sección global , pero a diferencia de los fibrados vectoriales, no existe una sección global canónica de un fibrado afín.${\displaystyle \pi :Y\to X}$sea ​​un fibrado afín modelado sobre un fibrado vectorial${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$Cada sección global${\displaystyle s}$de un haz afín${\displaystyle Y\to X}$produce los morfismos de fibrado

${\displaystyle Y\ni y\to ys(\pi (y))\in {\overline {Y}},\qquad {\overline {Y}}\ni {\overline {y}}\to s(\pi (y))+{\overline {y}}\in Y.}$

En particular, cada haz vectorial${\displaystyle Y}$tiene una estructura natural de un haz afín debido a estos morfismos donde${\displaystyle s=0}$es la sección canónica de valor cero de${\displaystyle Y}$Por ejemplo, el fibrado tangente .${\displaystyle TX}$de un colector${\displaystyle X}$naturalmente es un paquete afín.

Un haz afín${\displaystyle Y\to X}$es un haz de fibras con un grupo de estructura afín general${\displaystyle GA(m,\mathbb {R} )}$de transformaciones afines de su fibra típica${\displaystyle V}$de dimensión${\displaystyle m}$Este grupo de estructuras siempre es reducible a un grupo lineal general .${\displaystyle GL(m,\mathbb {R} )}$, es decir, un fibrado afín admite un atlas con funciones de transición lineales.

Por morfismo de haces afines se entiende un morfismo de haces${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$cuya restricción a cada fibra de${\displaystyle Y}$es un mapa afín. Cada morfismo de haces afines${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$de un haz afín${\displaystyle Y}$modelado sobre un haz vectorial${\displaystyle {\overline {Y}}}$a un haz afín${\displaystyle Y'}$modelado sobre un haz vectorial${\displaystyle {\overline {Y}}'}$produce un morfismo de fibrado lineal único

${\displaystyle {\overline {\Phi }}:{\overline {Y}}\to {\overline {Y}}',\qquad {\overline {y}}'^{i}={\frac {\partial \Phi ^{i}}{\partial y^{j}}}{\overline {y}}^{j},}$

llamada la derivada lineal de${\displaystyle \Phi }$.

• haz de fibras
• colector de fibra
• Paquete vectorial
• espacio afín

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• Sardanashvily, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Fibrados, variedades de jets y teoría lagrangiana , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv : 0908.1886 .
• Saunders, DJ (1989), La geometría de los haces de jets , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7