Estimador adaptativo

En estadística , un estimador adaptativo es un estimador en un modelo paramétrico o semiparamétrico con parámetros de perturbación , de tal manera que la presencia de estos parámetros de perturbación no afecta la eficiencia de la estimación .

Formalmente, supongamos que el parámetro θ en un modelo paramétrico consta de dos partes: el parámetro de interés ν ∈ N ⊆ R ^k , y el parámetro de perturbación η ∈ H ⊆ R ^m . Por lo tanto , θ = ( ν,η ) ∈ N×H ⊆ R ^k+m . Entonces diremos que${\displaystyle \scriptstyle {\sombrero {\nu }}_{n}}$es un estimador adaptativo de ν en presencia de η si este estimador es regular y eficiente para cada uno de los submodelos ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\nu }(\eta _{0})={\big \{}P_{\theta }:\nu \in N,\,\eta =\eta _{0}{\big \}}.}$

El estimador adaptativo estima el parámetro de interés con la misma precisión, independientemente de si se conoce o no el valor del parámetro de perturbación.

La condición necesaria para que un modelo paramétrico regular tenga un estimador adaptativo es que

${\displaystyle I_{\nu \eta }(\theta )=\operatorname {E} [\,z_{\nu }z_{\eta }'\,]=0\quad {\text{para todo }}\theta ,}$

donde z _ν y z _η son componentes de la función de puntuación correspondientes a los parámetros ν y η respectivamente, y por lo tanto I _νη es el bloque k×m superior derecho de la matriz de información de Fisher I ( θ ).

Suponer${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$es la familia normal de localización-escala :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}\ {\Big |}\ \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

Luego, el estimador habitual${\displaystyle {\hat {\mu }}\,=\,{\bar {x}}}$Es adaptativo: podemos estimar la media igual de bien tanto si conocemos la varianza como si no.

• IV Blagouchine y E. Moreau: "Estimaciones adaptativas insesgadas del cumulante de cuarto orden para señales aleatorias reales de media cero", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 57, n.º 9, págs. 3330–3346, septiembre de 2009.