Efecto acústico elástico

El efecto acústico-elástico es cómo cambian las velocidades del sonido (tanto las velocidades de onda longitudinal como las de onda transversal ) de un material elástico si se somete a un campo de tensión estática inicial . Este es un efecto no lineal de la relación constitutiva entre la tensión mecánica y la deformación finita en un material de masa continua . En la teoría clásica de elasticidad lineal , las pequeñas deformaciones de la mayoría de los materiales elásticos se pueden describir mediante una relación lineal entre la tensión aplicada y la deformación resultante. Esta relación se conoce comúnmente como la ley de Hooke generalizada . La teoría elástica lineal implica constantes elásticas de segundo orden (por ejemplo, y ) y produce velocidades de sonido longitudinales y transversales constantes en un material elástico, no afectadas por una tensión aplicada. El efecto acústico-elástico, por otro lado, incluye una expansión de orden superior de la relación constitutiva (teoría de elasticidad no lineal ^[1] ) entre la tensión aplicada y la deformación resultante, que produce velocidades de sonido longitudinales y transversales dependientes del estado de tensión del material. En el límite de un material no estresado, se reproducen las velocidades del sonido de la teoría elástica lineal. ${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización \mu}$

El efecto acústico-elástico fue investigado ya en 1925 por Brillouin ^[2] . Descubrió que la velocidad de propagación de las ondas acústicas disminuiría proporcionalmente a la presión hidrostática aplicada. Sin embargo, una consecuencia de su teoría fue que las ondas sonoras dejarían de propagarse a una presión suficientemente grande. Más tarde se demostró que este efecto paradójico era causado por la suposición incorrecta de que los parámetros elásticos no se veían afectados por la presión ^{[3] .}

En 1937, Francis Dominic Murnaghan ^[4] presentó una teoría matemática que extendía la teoría elástica lineal para incluir también la deformación finita en materiales isotrópicos elásticos . Esta teoría incluía tres constantes elásticas de tercer orden , , y . En 1953, Huges y Kelly ^[5] utilizaron la teoría de Murnaghan en su trabajo experimental para establecer valores numéricos para constantes elásticas de orden superior para varios materiales elásticos, incluidos el poliestireno , el hierro Armco y el Pyrex , sometidos a presión hidrostática y compresión uniaxial . ${\estilo de visualización l}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$

El efecto acústico-elástico es un efecto de la deformación finita de los materiales elásticos no lineales. Una explicación moderna y completa de este efecto se puede encontrar en ^[1] . Este libro trata la aplicación de la teoría de la elasticidad no lineal y el análisis de las propiedades mecánicas de los materiales sólidos capaces de grandes deformaciones elásticas. El caso especial de la teoría acústico-elástica para un material hiperelástico isótropo compresible , como el acero policristalino , ^[6] se reproduce y se muestra en este texto a partir de la teoría de la elasticidad no lineal presentada por Ogden. ^[1]

Téngase en cuenta que la configuración en este texto así como en ^[1] es isotérmica y no se hace referencia a la termodinámica .

Un material hiperelástico es un caso especial de un material elástico de Cauchy en el que la tensión en cualquier punto es objetiva y está determinada únicamente por el estado actual de deformación con respecto a una configuración de referencia arbitraria (para más detalles sobre la deformación, consulte también las páginas Deformación (mecánica) y Deformación finita ). Sin embargo, el trabajo realizado por las tensiones puede depender de la trayectoria que tome la deformación. Por lo tanto, un material elástico de Cauchy tiene una estructura no conservativa y la tensión no se puede derivar de una función de potencial elástico escalar . El caso especial de materiales elásticos de Cauchy donde el trabajo realizado por las tensiones es independiente de la trayectoria de deformación se conoce como material elástico de Green o hiperelástico. Dichos materiales son conservativos y las tensiones en el material se pueden derivar de un potencial elástico escalar, más comúnmente conocido como la función de densidad de energía de deformación .

La relación constitutiva entre la tensión y la deformación se puede expresar de diferentes formas en función de las formas de tensión y deformación elegidas. Seleccionando el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff (que es la transpuesta del tensor de tensión nominal ), la ecuación constitutiva para un material hiperelástico compresible se puede expresar en términos de la deformación de Green lagrangiana ( ) como: donde es el tensor de gradiente de deformación , y donde la segunda expresión utiliza la convención de suma de Einstein para la notación de índice de tensores . es la función de densidad de energía de deformación para un material hiperelástico y se han definido por unidad de volumen en lugar de por unidad de masa, ya que esto evita la necesidad de multiplicar el lado derecho con la densidad de masa de la configuración de referencia. ^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}={\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{o}}\qquad P_{ij}=F_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial E_{kj}}},\qquad i,j=1,2,3~,}$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\estilo de visualización W}$ ${\displaystyle \rho_{0}}$

Suponiendo que la función de densidad de energía de deformación escalar se puede aproximar mediante una expansión en serie de Taylor en la deformación actual , se puede expresar (en notación de índice) como: Imponiendo las restricciones de que la función de energía de deformación debe ser cero y tener un mínimo cuando el material está en el estado no deformado (es decir ) es claro que no hay términos constantes o lineales en la función de energía de deformación, y por lo tanto: donde es un tensor de cuarto orden de módulos elásticos de segundo orden , mientras que es un tensor de sexto orden de módulos elásticos de tercer orden. La simetría de junto con la función de densidad de energía de deformación escalar implica que los módulos de segundo orden tienen la siguiente simetría: lo que reduce el número de constantes elásticas independientes de 81 a 36. Además, la expansión de potencia implica que los módulos de segundo orden también tienen la simetría mayor, lo que reduce aún más el número de constantes elásticas independientes a 21. Los mismos argumentos se pueden utilizar para los módulos elásticos de tercer orden . Estas simetrías también permiten que los módulos elásticos se expresen mediante la notación Voigt (es decir, y ). ${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$$${\displaystyle W\aproximadamente C_{0}+C_{ij}E_{ij}+{\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1} {3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots }$$${\displaystyle W(E_{ij}=0)=0}$$${\displaystyle W\approx {\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_ {kl}E_ {mn}+\cdots,}$$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle E_{ij}=E_{ji}}$${\estilo de visualización W}$${\displaystyle C_{ijkl}}$$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk},}$$$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij},}$$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{IJ}}$${\displaystyle C_{ijklmn}=C_{IJK}}$

El tensor de gradiente de deformación se puede expresar en forma de componente como donde es el desplazamiento de un punto material desde la coordenada en la configuración de referencia a la coordenada en la configuración deformada (ver Figura 2 en la página de teoría de deformaciones finitas). Incluyendo la expansión de potencia de la función de energía de deformación en la relación constitutiva y reemplazando el tensor de deformación de Lagrange con la expansión dada en la página del tensor de deformación finita se obtiene (nótese que se han usado minúsculas en esta sección en comparación con las mayúsculas en la página de deformación finita ) la ecuación constitutiva donde y se han descuidado los términos de orden superior ^{[7] [8]} (ver ^[9] para derivaciones detalladas). Para referenciaM al descuidar los términos de orden superior en esta expresión se reduce a que es una versión de la ley de Hooke generalizada donde es una medida de estrés mientras que es una medida de deformación, y es la relación lineal entre ellos. $${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+\delta _{ij},}$$${\displaystyle u_{i}}$${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización X_{i}}$$Estilo de visualización x_{i}}$${\displaystyle E_{kl}}$${\estilo de visualización u}$ $${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}+{\frac {1}{2}}M_{ijklmn}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}+{\frac {1}{3}}M_{ijklmnpq}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}{\frac {\partial u_{p}}{\partial X_{q}}}+\cdots ,}$$$${\displaystyle M_{ijklmn}=C_{ijklmn}+C_{ijln}\delta _{km}+C_{jnkl}\delta _{im}+C_{jlmn}\delta _{ik},}$$${\displaystyle \parcial u_{k}/\parcial X_{l}}$${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}},}$$Estilo de visualización P_{ij}}$${\displaystyle \parcial u_{k}/\parcial X_{l}}$${\displaystyle C_{ijkl}}$

Suponiendo que una pequeña deformación dinámica (acústica) perturba un material ya estresado estáticamente, el efecto acustoelástico puede considerarse como el efecto de una pequeña deformación superpuesta a una deformación finita más grande (también llamada teoría de pequeño sobre grande). ^[8] Definamos tres estados de un punto material dado. En el estado de referencia (sin estrés), el punto está definido por el vector de coordenadas, mientras que el mismo punto tiene el vector de coordenadas en el estado estático inicialmente estresado (es decir, bajo la influencia de un preesfuerzo aplicado). Finalmente, supongamos que el punto material bajo una pequeña perturbación dinámica (campo de estrés acústico) tiene el vector de coordenadas . El desplazamiento total de los puntos materiales (bajo la influencia tanto de un preesfuerzo estático como de una perturbación acústica dinámica) puede entonces describirse mediante los vectores de desplazamiento donde describe el desplazamiento inicial estático (lagrangiano) debido al preesfuerzo aplicado y el desplazamiento (euleriano) debido a la perturbación acústica, respectivamente. La primera ley de movimiento de Cauchy (o equilibrio del momento lineal) para la perturbación euleriana adicional se puede derivar en términos de la deformación lagrangiana intermedia suponiendo que se cumple la suposición de pequeño sobre grande . Usando la forma lagrangiana de la primera ley de movimiento de Cauchy , donde se ha descuidado el efecto de una fuerza corporal constante (es decir, la gravedad), se obtiene ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x'}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {X}},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}},\qquad {\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {x}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$$${\displaystyle |{\boldsymbol {u}}^{(1)}|\ll |{\boldsymbol {u}}^{(0)}|}$$$${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}=\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}.}$$

Tenga en cuenta que el subíndice/superíndice "0" se utiliza en este texto para indicar el estado de referencia sin estrés, y una variable punteada es como siempre la derivada temporal (${\displaystyle t}$ ) de la variable, y es el operador de divergencia con respecto al sistema de coordenadas de Lagrangian .${\displaystyle \operatorname {Div} }$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$

El lado derecho (la parte dependiente del tiempo) de la ley del movimiento se puede expresar bajo el supuesto de que tanto el estado sin tensión como el estado de deformación inicial son estáticos y, por lo tanto . $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}+{\boldsymbol {X}})\\&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(1)}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$${\textstyle \partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(0)}/\partial t^{2}=\partial ^{2}{\boldsymbol {X}}/\partial t^{2}=0}$

Para el lado izquierdo (la parte dependiente del espacio) las derivadas parciales lagrangianas espaciales con respecto a se pueden expandir en el euleriano usando la regla de la cadena y cambiando las variables a través de la relación entre los vectores de desplazamiento como ^[8] donde se ha usado la forma corta . Por lo tanto, suponer además que la deformación inicial estática (el estado preesforzado) está en equilibrio significa que , y la ley del movimiento puede, en combinación con la ecuación constitutiva dada anteriormente, reducirse a una relación lineal (es decir, donde los términos de orden superior en ) entre la deformación inicial estática y la perturbación dinámica adicional como ^[7] (ver ^[9] para derivaciones detalladas) donde Esta expresión se reconoce como la ecuación de onda lineal . Considerando una onda plana de la forma donde es un vector unitario lagrangiano en la dirección de propagación (es decir, paralelo al número de onda normal al frente de onda), es un vector unitario denominado vector de polarización (que describe la dirección del movimiento de la partícula), es la velocidad de la onda de fase, y es una función dos veces continuamente diferenciable (por ejemplo, una función sinusoidal ). Insertando esta onda plana en la ecuación de onda lineal derivada anteriormente se obtiene ^[10] donde se introduce como el tensor acústico, y depende de como ^[10] Esta expresión se llama condición de propagación y determina para una dirección de propagación dada la velocidad y polarización de las posibles ondas correspondientes a las ondas planas. Las velocidades de onda se pueden determinar mediante la ecuación característica ^[10] donde es el determinante y es la matriz identidad . ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+u_{k,j}^{(0)}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\cdots }$$${\displaystyle u_{k,j}^{(0)}\equiv \partial u_{k}^{(0)}/\partial x_{j}}$$${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial X_{j}}}\approx {\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{j}}}+u_{p.j}^{(0)}{\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{p}}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}^{(0)}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle u_{m,n}^{(0)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)}$$${\displaystyle B_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}^{(1)}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u_{i}^{(1)}}{\partial t^{2}}},}$$$${\displaystyle B_{ijkl}=C_{ijkl}+\delta _{ik}C_{jlqr}u_{q,r}^{(0)}+C_{rjkl}u_{i,r}^{(0)}+C_{irkl}u_{j,r}^{(0)}+C_{ijrl}u_{k,r}^{(0)}+C_{ijkr}u_{l,r}^{(0)}+C_{ijklmn}u_{m,n}^{(0)}.}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {m}}\,f({\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {x}}-ct),}$$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}=k{\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}=\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {m}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})]_{ik}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}.}$$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ $${\displaystyle \det({\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})-\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {I}})=0,}$$${\displaystyle \det }$${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

Para un material hiperelástico es simétrico (pero no en general), y los valores propios ( ) son por lo tanto reales. Para que las velocidades de onda también sean reales, los valores propios deben ser positivos. ^[1] Si este es el caso, existen tres ondas planas reales mutuamente ortogonales para la dirección de propagación dada . De las dos expresiones del tensor acústico queda claro que ^[10] y la desigualdad (también llamada condición de elipticidad fuerte) para todos los vectores distintos de cero y garantizan que la velocidad de las ondas planas homogéneas son reales. La polarización corresponde a una onda longitudinal donde el movimiento de la partícula es paralelo a la dirección de propagación (también denominada onda compresiva). Las dos polarizaciones donde corresponden a ondas transversales donde el movimiento de la partícula es ortogonal a la dirección de propagación (también denominadas ondas de corte). ^[10]${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$${\displaystyle \rho _{0}c^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ $${\displaystyle \rho _{0}c^{2}={\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {m}}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k},}$$${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}={\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {N}}=0}$

Para un tensor isótropo de segundo orden (es decir, un tensor que tiene los mismos componentes en cualquier sistema de coordenadas) como el tensor de deformación de Lagrangian, tienen los invariantes donde es el operador de traza , y . La función de energía de deformación de un material isótropo puede expresarse por tanto por , o una superposición de las mismas, que puede reescribirse como ^[8] donde son constantes. Las constantes y son los módulos elásticos de segundo orden mejor conocidos como los parámetros de Lamé , mientras que y son los módulos elásticos de tercer orden introducidos por, ^[11] que son alternativos pero equivalentes a y introducidos por Murnaghan. ^[4] Combinando esto con la expresión general para la función de energía de deformación, queda claro que ^[8] donde . Históricamente, se han utilizado diferentes selecciones de estas constantes elásticas de tercer orden, y algunas de las variaciones se muestran en la Tabla 1. ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}}$${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle q\in \left\{1,2,3,\dots \right\}}$${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})=W(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}),\,k\in \left\{1,2,3,\ldots \right\}}$ $${\displaystyle W={\frac {\lambda }{2}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{2}+\mu \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {C}{3}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{3}+B(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {A}{3}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{3}+\cdots ,}$$${\displaystyle \lambda ,\mu ,A,B,C}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle l,m,}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+2\mu \delta I_{ijkl},\\C_{ijklmn}&=2C\delta _{ij}\delta _{kl}\delta _{mn}+2B(\delta _{ij}I_{klmn}+\delta _{kl}I_{mnij}+\delta _{mn}I_{ijkl})+{\frac {1}{2}}A(\delta _{ik}I_{jlmn}+\delta _{il}I_{jkmn}+\delta _{jk}I_{ilmn}+\delta _{jl}I_{ikmn}),\end{aligned}}\!\,}$$${\displaystyle I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$

Las Tablas 2 y 3 presentan las constantes elásticas de segundo y tercer orden para algunos tipos de acero presentados en la literatura.

Una muestra cuboide de un sólido compresible en una configuración de referencia sin tensiones se puede expresar mediante las coordenadas cartesianas , donde la geometría está alineada con el sistema de coordenadas de Lagrange, y es la longitud de los lados del cuboide en la configuración de referencia. Someter el cuboide a una tensión uniaxial en la dirección - de modo que se deforme con una deformación homogénea pura de modo que las coordenadas de los puntos del material en la configuración deformada se puedan expresar mediante , que da los alargamientos en la dirección - . Aquí significa la longitud actual (deformada) del lado del cuboide y donde la relación entre la longitud de los lados en la configuración actual y de referencia se denotan por llamados estiramientos principales. Para un material isótropo esto corresponde a una deformación sin ninguna rotación (véase descomposición polar del tensor de gradiente de deformación donde y la rotación ). Esto se puede describir a través de la representación espectral por los estiramientos principales como valores propios, o equivalentemente por los alargamientos . ${\displaystyle X_{i}\in [0,L_{i}],\,i=1,2,3}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}=\lambda _{1}X_{1},x_{2}=\lambda _{2}X_{2},x_{3}=\lambda _{3}X_{3}}$$${\displaystyle e_{i}\equiv l_{i}/L_{i}-1=\lambda _{i}-1}$$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle l_{i}}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \lambda _{i}\equiv l_{i}/L_{i}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {RU}}={\boldsymbol {VR}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {I}}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

Para una tensión uniaxial en la dirección -( suponemos que el aumento en alguna cantidad. Si las caras laterales están libres de tracción (es decir, ) los alargamientos laterales y están limitados al rango . Para la simetría isótropa, los alargamientos laterales (o contracciones) también deben ser iguales (es decir, ). El rango corresponde al rango desde la contracción lateral total ( , que no es física), y a ningún cambio en las dimensiones laterales ( ). Se observa que teóricamente el rango podría expandirse a valores mayores que 0 correspondientes a un aumento en las dimensiones laterales como resultado del aumento en la dimensión axial. Sin embargo, muy pocos materiales (llamados materiales auxéticos ) exhiben esta propiedad. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle P_{11}>0}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle P_{22}=P_{33}=0}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle e_{2},e_{3}\in (-1,0]}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}=-1}$${\displaystyle e_{2}=e_{3}=0}$

Si se cumple la condición de elipticidad fuerte ( ), tres direcciones de polarización ortogonal ( darán una velocidad de sonido real y distinta de cero para una dirección de propagación dada . A continuación se derivarán las velocidades del sonido para una selección de tensión uniaxial aplicada, dirección de propagación y un conjunto ortonormal de vectores de polarización. Para una tensión uniaxial aplicada en la dirección -, y derivando las velocidades del sonido para ondas que se propagan ortogonalmente a la tensión aplicada (por ejemplo, en la dirección - con vector de propagación ), una selección de polarizaciones ortonormales puede ser que da las tres velocidades del sonido donde el primer índice de las velocidades del sonido indica la dirección de propagación (aquí la dirección -, mientras que el segundo índice indica la dirección de polarización seleccionada ( corresponde al movimiento de partículas en la dirección de propagación , es decir, onda longitudinal, y corresponde al movimiento de partículas perpendicular a la dirección de propagación, es decir, onda transversal). ${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=[0,0,1]}$$${\displaystyle \{{\boldsymbol {m}}\}={\begin{cases}\mathbf {m} _{1}=\mathbf {\hat {x}} _{1}=[1,0,0]&\|\,{\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{2}=\mathbf {\hat {x}} _{2}=[0,1,0]&\perp {\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{3}=\mathbf {\hat {x}} _{3}=[0,0,1]&\|\,{\textrm {to}}\,\mathbf {N} \end{cases}}}$$$${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=B_{3333},\qquad \rho _{0}c_{31}^{2}=B_{1313},\qquad \rho _{0}c_{32}^{2}=B_{2323},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle c_{ij}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$

Al expandir los coeficientes relevantes del tensor acústico y sustituir los módulos elásticos de segundo y tercer orden y con sus equivalentes isótropos, y respectivamente, se obtienen las velocidades del sonido expresadas como donde son los coeficientes acústico-elásticos relacionados con los efectos de las constantes elásticas de tercer orden. ^[18]${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{ijklmn}}$${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle A,B,C}$$${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=\lambda +2\mu +a_{33}e_{1},\qquad \rho _{0}c_{3k}^{2}=\mu +a_{3k}e_{1},\quad k=1,2}$$$${\displaystyle a_{33}=-{\frac {2\lambda (\lambda +2\mu )+\lambda A+2(\lambda -\mu )B-2\mu C}{\lambda +\mu }}}$$ $${\displaystyle a_{31}={\frac {(\lambda +2\mu )(4\mu +A)+4\mu B}{4(\lambda +\mu )}}}$$ $${\displaystyle a_{32}=-{\frac {\lambda (4\mu +A)-2\mu B}{2(\lambda +\mu )}}}$$

Para poder medir la velocidad del sonido, y más específicamente el cambio en la velocidad del sonido, en un material sometido a algún estado de tensión, se puede medir la velocidad de una señal acústica que se propaga a través del material en cuestión. Hay varios métodos para hacerlo, pero todos ellos utilizan una de las dos relaciones físicas de la velocidad del sonido. La primera relación está relacionada con el tiempo que tarda una señal en propagarse de un punto a otro (normalmente la distancia entre dos transductores acústicos o dos veces la distancia de un transductor a una superficie reflectante). Esto se suele denominar mediciones de "tiempo de vuelo" (TOF) y utiliza la relación donde es la distancia que recorre la señal y es el tiempo que tarda en recorrer esta distancia. La segunda relación está relacionada con la inversa del tiempo, la frecuencia , de la señal. La relación aquí es donde es la frecuencia de la señal y es la longitud de onda . Las mediciones que utilizan la frecuencia como mensurando utilizan el fenómeno de la resonancia acústica , donde el número de longitudes de onda coincide con la longitud sobre la que resuena la señal. Ambos métodos dependen de la distancia sobre la cual se miden, ya sea directamente como en el caso del tiempo de vuelo, o indirectamente a través del número correspondiente de longitudes de onda sobre la extensión física de la muestra que resuenan. $${\displaystyle c={\frac {d}{t}}}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle c=f\lambda }$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$

En general, hay dos formas de configurar un sistema de transductores para medir la velocidad del sonido en un sólido. Una es una configuración con dos o más transductores, donde uno actúa como transmisor y el otro como receptor. La medición de la velocidad del sonido se puede realizar midiendo el tiempo que transcurre entre la generación de una señal en el transmisor y su registro en el receptor, suponiendo que se conoce (o mide) la distancia que ha recorrido la señal acústica entre los transductores, o, a la inversa, midiendo la frecuencia de resonancia sabiendo el espesor sobre el que resuena la onda. El otro tipo de configuración se denomina a menudo sistema de pulso-eco . En este caso, se coloca un transductor cerca de la muestra y actúa como transmisor y receptor. Esto requiere una interfaz reflectante donde la señal generada se pueda reflejar de nuevo hacia el transductor, que luego actúa como receptor y registra la señal reflejada. Consulte las pruebas ultrasónicas para conocer algunos sistemas de medición.

Como se explicó anteriormente, existe un conjunto de tres polarizaciones ortonormales ( ) del movimiento de partículas para una dirección de propagación dada en un sólido. Para configuraciones de medición donde los transductores se pueden fijar directamente a la muestra bajo investigación, es posible crear estas tres polarizaciones (una onda longitudinal y dos ondas transversales ortogonales) aplicando diferentes tipos de transductores que excitan la polarización deseada (por ejemplo, transductores piezoeléctricos con el modo de oscilación necesario ). Por lo tanto, es posible medir la velocidad del sonido de las ondas con las tres polarizaciones a través de configuraciones de medición dependientes del tiempo o dependientes de la frecuencia según la selección de los tipos de transductor. Sin embargo, si el transductor no se puede fijar a la muestra de prueba, se necesita un medio de acoplamiento para transmitir la energía acústica del transductor a la muestra. A menudo se utilizan agua o geles como este medio de acoplamiento. Para medir la velocidad longitudinal del sonido, esto es suficiente; sin embargo, los fluidos no transmiten ondas transversales y, por lo tanto, para poder generar y medir la velocidad de las ondas transversales en la muestra de prueba, la onda longitudinal incidente debe interactuar en un ángulo oblicuo en la superficie del fluido/sólido para generar ondas transversales mediante la conversión de modos . Dichas ondas transversales se convierten luego nuevamente en ondas longitudinales en la superficie del sólido/fluido y se propagan de regreso a través del fluido hasta el transductor de registro, lo que permite la medición de las velocidades de las ondas transversales también a través de un medio de acoplamiento. ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

A medida que la industria se esfuerza por reducir los costos de mantenimiento y reparación, las pruebas no destructivas de estructuras se valoran cada vez más tanto en el control de producción como un medio para medir la utilización y el estado de la infraestructura clave. Existen varias técnicas de medición para medir la tensión en un material . Sin embargo, las técnicas que utilizan mediciones ópticas , mediciones magnéticas , difracción de rayos X y difracción de neutrones se limitan a medir la tensión o las deformaciones superficiales o cercanas a la superficie. Las ondas acústicas se propagan con facilidad a través de los materiales y, por lo tanto, proporcionan un medio para sondear el interior de las estructuras, donde el nivel de tensión y deformación es importante para la integridad estructural general . Dado que la velocidad del sonido de dichos materiales elásticos no lineales (incluidos los materiales de construcción comunes como el aluminio y el acero ) tienen una dependencia de la tensión, una aplicación del efecto acústico-elástico puede ser la medición del estado de tensión en el interior de un material cargado utilizando diferentes sondas acústicas (por ejemplo, pruebas ultrasónicas ) para medir el cambio en las velocidades del sonido.

La sismología estudia la propagación de ondas elásticas a través de la Tierra y se utiliza, por ejemplo, en estudios de terremotos y en la cartografía del interior de la Tierra . El interior de la Tierra está sujeto a diferentes presiones y, por lo tanto, las señales acústicas pueden pasar a través de medios en diferentes estados de tensión. La teoría acústico-elástica puede, por lo tanto, ser de interés práctico cuando se puede utilizar el comportamiento no lineal de las ondas para estimar las propiedades geofísicas. ^[8]

Otras aplicaciones pueden ser en la ecografía médica y la elastografía, midiendo el nivel de estrés o presión en tipos de tejidos elásticos relevantes (por ejemplo, ^{[19] [20] [21] ), mejorando} los diagnósticos no invasivos .

• Acústica elastografía
• Deformación finita
• Velocidad del sonido
• Prueba ultrasónica