matemáticas puras

En el contexto de la filosofía de las matemáticas , las matemáticas puras son un término informal que describe el estudio de conceptos matemáticos independientemente de cualquier aplicación fuera de las matemáticas . Estos conceptos pueden tener su origen en preocupaciones del mundo real, y los resultados obtenidos pueden resultar útiles posteriormente para aplicaciones prácticas, pero la investigación no está motivada principalmente por dichas aplicaciones. En cambio, el atractivo reside en el desafío intelectual y la belleza estética de definir nuevos objetos matemáticos o de desarrollar las consecuencias matemáticas de principios básicos.

Si bien la distinción entre matemáticas puras y aplicadas ha existido al menos desde la antigua Grecia , el concepto se desarrolló alrededor del año 1900, ^{[ 2 ]} después de la introducción de teorías con propiedades contraintuitivas (como las geometrías no euclidianas y la teoría de conjuntos infinitos de Cantor ), y el descubrimiento de aparentes paradojas (como las funciones continuas que no son diferenciables en ningún punto , y la paradoja de Russell ). Esto introdujo la necesidad de renovar el concepto de rigor matemático y reescribir todas las matemáticas en consecuencia, con un uso sistemático de métodos axiomáticos .

Sin embargo, casi todas las teorías matemáticas siguieron estando motivadas por problemas del mundo real o por teorías matemáticas menos abstractas. Además, muchas teorías matemáticas, que parecían pertenecer exclusivamente a las matemáticas puras, acabaron utilizándose en áreas aplicadas, principalmente en física e informática . Un ejemplo temprano y famoso es la demostración de Isaac Newton de que su ley de gravitación universal implicaba que los planetas se mueven en órbitas que son secciones cónicas , curvas geométricas que Apolonio había estudiado en la antigüedad . Otro ejemplo es el problema de la factorización de números enteros grandes , que constituye la base del criptosistema RSA , ampliamente utilizado para proteger las comunicaciones por Internet . ^{[ 3 ]}

De ello se deduce que, actualmente, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más un punto de vista o preferencia filosófica que una subdivisión rígida de las matemáticas. ^{[ 4 ]}

A principios del siglo XX, los matemáticos adoptaron el método axiomático , fuertemente influenciados por el ejemplo de David Hilbert . La formulación lógica de las matemáticas puras propuesta por Bertrand Russell en términos de una estructura cuantificadora de proposiciones parecía cada vez más plausible, a medida que gran parte de las matemáticas se axiomatizaban y, por lo tanto, quedaban sujetas a los sencillos criterios de la demostración rigurosa .

Según una perspectiva que puede atribuirse al grupo Bourbaki , lo que se demuestra son las matemáticas puras. El "matemático puro" se convirtió en una vocación reconocida, alcanzable mediante la formación. Dicho esto, se argumentó que las matemáticas puras son útiles en la formación en ingeniería : ^{[ 12 ]}

Existe una formación en hábitos de pensamiento, puntos de vista y comprensión intelectual de problemas de ingeniería comunes que solo el estudio de las matemáticas superiores puede proporcionar.

Los avances más importantes a principios del siglo XX fueron la formalización del álgebra abstracta y la topología ; estos dos campos estuvieron profundamente influenciados por la filosofía de las matemáticas puras.

A principios del siglo XXI, la aplicación de la inteligencia artificial a las matemáticas puras ha atraído la atención de figuras tan destacadas como Ken Ono ^{[ 22 ]} y François Charton . ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

Al observar campos de investigación recientes como la conjetura analítica de Langlands ^{[ 25 ],} se puede ver que la distinción entre lo puro y lo aplicado se difumina nuevamente. Otro ejemplo es el surgimiento del caos en la teoría de números ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} y autores como Robert Langlands abogan por la unificación de las matemáticas con la física ^{[ 31 ] [ 32 ]} a través del programa de Langlands .

Los matemáticos siempre han tenido opiniones divergentes respecto a la distinción entre matemáticas puras y aplicadas. Uno de los ejemplos modernos más famosos (aunque quizás incomprendidos) de este debate se encuentra en el ensayo de G. H. Hardy de 1940, "Una apología de un matemático" .

Se cree ampliamente que Hardy consideraba las matemáticas aplicadas feas y aburridas. Si bien es cierto que Hardy prefería las matemáticas puras, que a menudo comparaba con la pintura y la poesía , Hardy veía la distinción entre matemáticas puras y aplicadas simplemente en que las primeras buscaban expresar la verdad física dentro de un marco matemático, mientras que las segundas expresaban verdades independientes del mundo físico. Hardy establecía una distinción clara en matemáticas entre lo que él llamaba matemáticas "reales", "que poseen un valor estético permanente", y "las partes aburridas y elementales de las matemáticas" que tienen utilidad práctica. ^{[ 33 ]}

Hardy consideraba a algunos físicos, como Einstein y Dirac , como matemáticos "de verdad", pero en el momento en que escribía su Apología , consideraba la relatividad general y la mecánica cuántica "inútiles", lo que le permitía opinar que solo las matemáticas "aburridas" eran útiles. Además, Hardy admitió brevemente que, así como la aplicación de la teoría de matrices y la teoría de grupos a la física se había producido de forma inesperada, podría llegar un momento en que ciertos tipos de matemáticas "reales" y bellas también resultaran útiles.

El matemático estadounidense Andy Magid ofrece otra perspectiva interesante :

Siempre he pensado que un buen modelo aquí podría extraerse de la teoría de anillos. En esa disciplina, se encuentran las subáreas de la teoría de anillos conmutativos y la teoría de anillos no conmutativos . Un observador desinformado podría pensar que representan una dicotomía, pero de hecho la segunda engloba a la primera: un anillo no conmutativo no es necesariamente un anillo conmutativo. Si utilizamos convenciones similares, podríamos referirnos a las matemáticas aplicadas y las matemáticas no aplicadas, donde por estas últimas entendemos las matemáticas no necesariamente aplicadas ... [énfasis añadido] ^{[ 34 ]}

Friedrich Engels argumentó en su libro de 1878, Anti-Dühring, que «no es cierto en absoluto que en matemáticas puras la mente se ocupe únicamente de sus propias creaciones e imaginaciones. Los conceptos de número y figura no se han inventado a partir de ninguna otra fuente que no sea el mundo de la realidad». ^{[ 35 ] : 36} Argumentó además que «Antes de que se nos ocurriera la idea de deducir la forma de un cilindro a partir de la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, debieron haberse examinado numerosos rectángulos y cilindros reales, por imperfectos que fueran en su forma. Como todas las demás ciencias, las matemáticas surgieron de las necesidades de los hombres... Pero, como en cualquier ámbito del pensamiento, en cierta etapa de desarrollo las leyes, que se abstrajeron del mundo real, se divorcian de él y se contraponen a él como algo independiente, como leyes externas a las que el mundo debe conformarse». ^{[ 35 ] : 37}

Después del año 2000, ^{[ 36 ]} autores como Cédric Villani argumentaron que las matemáticas puras y abstractas sin un enfoque constructivista y sin tener en cuenta otros procesos cognitivos ^{[ 37 ]} pueden ser perjudiciales para la educación. ^{[ 38 ]} Más precisamente, para reformar el sistema escolar y el currículo durante las décadas de 1960 y 1970 se preguntó a los principales matemáticos cómo enseñar matemáticas, y fundar el sistema educativo en la teoría de conjuntos parecía ser el camino a seguir. ^{[ 39 ]} Esto condujo a una generación de docentes no preparados, una generación de material educativo de baja calidad y, en última instancia, una educación deficiente.

En realidad, no sabemos cómo aprenden las personas las matemáticas, y se debería promover un enfoque experimental para comprender cómo enseñar matemáticas.

Algunos ejemplos de ello son la inversión en educación matemática ^{[ 40 ]} y la de la Fundación Simons . ^{[ 41 ]}

Toda ciencia exacta suele contener dos procesos cognitivos: uno inductivo (es decir, de la evidencia experimental a la abstracción) y uno deductivo (es decir, de los axiomas a los teoremas y demostraciones ). Ambos son fundamentales en el proceso pedagógico ; más precisamente, el deductivo es típico de las matemáticas puras, mientras que el inductivo es clave para la enseñanza de las matemáticas y para las matemáticas experimentales .

La pandemia de covid también provocó la llamada crisis mundial del aprendizaje ^{[ 42 ]} con efectos adversos en toda la educación científica .

A partir de 2026, los principales sistemas de aprendizaje de lenguaje natural (LLM) disponibles comercialmente pueden reproducir múltiples demostraciones de teoremas clásicos, mientras que otros LLM pueden obtener puntuaciones muy altas en olimpiadas matemáticas ^{[ 43 ],} lo que refleja el nivel promedio de matemáticas de la escuela secundaria. Esta tecnología, aun sin generar novedades, tiene el potencial de transformar la educación, pero actualmente no es así.

A partir de 2026, en algunos casos podría ser factible crear automáticamente grandes bases de datos de conocimiento matemático ^{[ 44 ]} (es decir, automatizar aspectos del proceso experimental) y encontrar automáticamente patrones en grandes conjuntos de datos con inteligencia artificial para derivar conjeturas matemáticas (es decir, automatizar aspectos del proceso inductivo ). ^{[ 45 ]} Luego, las supuestas pruebas generadas por inteligencia artificial podrían verificarse mediante herramientas de asistencia a la prueba como Lean y grandes bases de datos de apoyo de teoremas ^{[ 46 ]} (automatizando el proceso deductivo ). Algunos matemáticos creen que estos enfoques podrían generalizarse en el siglo XXI. ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]}

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• Metamatemáticas

• Linnebo, Øystein (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Platonismo en la filosofía de las matemáticas" , The Stanford Encyclopedia of Philosophy (  edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 2 de junio de 2026.

• ¿Qué son las matemáticas puras? – Departamento de Matemáticas Puras, Universidad de Waterloo
• Los principios de las matemáticas, de Bertrand Russell