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Articulo de referencia

Construcción ADHM

En física matemática y teoría de gauge , la construcción ADHM o construcción de mónadas es la construcción de todos los instantones utilizando métodos de álgebra lineal por Mich...

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En física matemática y teoría de gauge , la construcción ADHM o construcción de mónadas es la construcción de todos los instantones utilizando métodos de álgebra lineal por Michael Atiyah , Vladimir Drinfeld , Nigel Hitchin , Yuri I. Manin en su artículo "Construction of Instantons".

Datos de ADHM

La construcción del ADHM utiliza los siguientes datos:

  • espacios vectoriales complejos V y W de dimensión k y N ,
  • matrices complejas k × k B 1 , B 2 , una matriz compleja k × N I y una matriz compleja N × k J ,       
  • un mapa de momentos realesμr=[B1,B1†]+[B2,B2†]+II†−J†J,{\displaystyle \mu _{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,}
  • un mapa de momentos complejoμdo=[B1,B2]+IJ.{\displaystyle \displaystyle \mu _ {c}=[B_ {1}, B_ {2}] + IJ.}

Entonces, la construcción ADHM afirma que, dadas ciertas condiciones de regularidad,

Generalizaciones

Instantones no conmutativos

En una teoría de gauge no conmutativa , la construcción ADHM es idéntica, pero el mapa de momentosμ→{\displaystyle {\vec {\mu }}} se establece igual a la proyección autodual de la matriz de no conmutatividad del espaciotiempo multiplicada por la matriz identidad . En este caso, existen instantones incluso cuando el grupo de gauge es U(1). Los instantones no conmutativos fueron descubiertos por Nikita Nekrasov y Albert Schwarz en 1998.

vórtices

Al establecer B 2 y J a cero, se obtiene el espacio de módulos clásico de vórtices no abelianos en una teoría de gauge supersimétrica con un número igual de colores y sabores, como se demostró en Vortices, instantons and branes. La generalización a un mayor número de sabores apareció en Solitons in the Higgs phase: The Moduli matrix approach. En ambos casos, el término de Fayet-Iliopoulos , que determina un condensado de squark , desempeña el papel del parámetro de no conmutatividad en el mapa de momentos reales.

La fórmula de construcción

Sea x la coordenada espaciotemporal euclidiana de 4 dimensiones escrita en notación cuaterniónica .incógnitaij=(z2z1−z1¯z2¯).{\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}

Consideremos la matriz 2 k × ( N + 2 k )    

Δ=(IB2+z2B1+z1J†−B1†−z1¯B2†+z2¯).{\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}

Entonces las condicionesμr=μdo=0{\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}son equivalentes a la condición de factorización

ΔΔ†=(F−100F−1){\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}donde f ( x ) es una matriz hermitiana de k × k .

Entonces se puede construir un operador de proyección hermitiano P como

PAG=Δ†(F00F)Δ.{\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}

El espacio nulo de Δ( x ) es de dimensión N para un x genérico . Los vectores base para este espacio nulo se pueden ensamblar en una matriz U ( x ) de ( N  +  2 k ) × N con condición de ortonormalización U † U = 1.    

Una condición de regularidad sobre el rango de Δ garantiza la condición de completitud.

PAG+UU†=1.{\displaystyle P+UU^{\daga }=1.\,}

La conexión anti-autodual se construye entonces a partir de U mediante la fórmula

Ametro=U†∂metroU.{\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}

Véase también

Referencias