Inclinación

La nutación ( del latín nūtātiō , que significa " asentir, balancearse " ) es un movimiento de balanceo, cabeceo o vaivén en el eje de rotación de un objeto con simetría axial considerable, como un giroscopio , un planeta o una bala en vuelo , o como comportamiento previsto de un mecanismo. 

En un sistema de referencia apropiado , se puede definir como un cambio en el segundo ángulo de Euler . Si no es causado por fuerzas externas al cuerpo, se denomina nutación libre o nutación de Euler (en honor a Leonhard Euler ). ^{[ 1 ]}

Una nutación pura es un movimiento de un eje de rotación tal que el primer ángulo de Euler (o precesión) permanece constante. Los astrónomos suelen distinguir entre precesión , que es un cambio constante a largo plazo en el eje de rotación, y nutación , que es el efecto combinado de variaciones similares a corto plazo. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, se puede observar que la flecha roja circular en el diagrama de nutación planetaria indica los efectos combinados de la precesión y la nutación, mientras que la nutación en ausencia de precesión solo cambiaría la inclinación respecto a la vertical (segundo ángulo de Euler). Sin embargo, en la dinámica de las naves espaciales, la precesión (un cambio en el primer ángulo de Euler) a veces se denomina nutación. ^{[ 3 ]}

Si se coloca una peonza inclinada sobre una superficie horizontal y se hace girar rápidamente, su eje de rotación comienza a precesar alrededor de la vertical. Después de un breve intervalo, la peonza se estabiliza en un movimiento en el que cada punto de su eje de rotación sigue una trayectoria circular. La fuerza vertical de la gravedad produce un par horizontal τ alrededor del punto de contacto con la superficie; la peonza gira en la dirección de este par con una velocidad angular Ω tal que en cualquier momento

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} }$, ( producto cruzado )

donde L es el momento angular instantáneo de la parte superior. ^{[ 4 ]}

Inicialmente, sin embargo, no hay precesión, y la parte superior de la peonza cae lateralmente y hacia abajo, inclinándose. Esto genera un desequilibrio en los pares que inicia la precesión. Al caer, la peonza sobrepasa el ángulo de inclinación en el que precesaría de forma constante y luego oscila alrededor de este nivel. Esta oscilación se denomina nutación . Si el movimiento se amortigua, las oscilaciones disminuirán hasta que el movimiento se convierta en una precesión constante. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La física de la nutación en trompos y giroscopios puede explorarse utilizando el modelo de un trompo simétrico pesado con su punta fija. (Un trompo simétrico es aquel con simetría rotacional, o más generalmente aquel en el que dos de los tres momentos principales de inercia son iguales). Inicialmente, se ignora el efecto de la fricción. El movimiento del trompo puede describirse mediante tres ángulos de Euler : el ángulo de inclinación θ entre el eje de simetría del trompo y la vertical (segundo ángulo de Euler); el acimut φ del trompo con respecto a la vertical (primer ángulo de Euler); y el ángulo de rotación ψ del trompo con respecto a su propio eje (tercer ángulo de Euler). Así, la precesión es el cambio en φ y la nutación es el cambio en θ . ^{[ 6 ]}

Si la peonza tiene masa M y su centro de masa está a una distancia l del punto de pivote, su potencial gravitatorio relativo al plano del soporte es

${\displaystyle V=Mgl\cos(\theta).}$

En un sistema de coordenadas donde el eje z es el eje de simetría, el trompo tiene velocidades angulares ω ₁ , ω ₂ , ω ₃ y momentos de inercia I ₁ , I ₂ , I ₃ alrededor de los ejes x , y , y z . Dado que estamos considerando un trompo simétrico, tenemos I ₁ = I ₂ . La energía cinética es

${\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.}$

En términos de los ángulos de Euler, esto es

${\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.}$

Si se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange para este sistema, se encuentra que el movimiento depende de dos constantes a y b (cada una relacionada con una constante de movimiento ). La velocidad de precesión está relacionada con la inclinación mediante

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {ba\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.}$

La inclinación se determina mediante una ecuación diferencial para u = cos( θ ) de la forma

${\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)}$

donde f es un polinomio cúbico que depende de los parámetros a y b , así como de constantes relacionadas con la energía y el par gravitatorio. Las raíces de f son los cosenos de los ángulos en los que la tasa de cambio de θ es cero. Una de estas raíces no está relacionada con un ángulo físico; las otras dos determinan los límites superior e inferior del ángulo de inclinación, entre los cuales oscila el giroscopio. ^{[ 7 ]}

La nutación de un planeta se produce porque los efectos gravitatorios de otros cuerpos hacen que la velocidad de su precesión axial varíe con el tiempo, de modo que dicha velocidad no es constante. El astrónomo inglés James Bradley descubrió la nutación del eje terrestre en 1728.

Tierra

La nutación modifica sutilmente la inclinación axial de la Tierra con respecto al plano de la eclíptica , desplazando los principales círculos de latitud que están definidos por la inclinación de la Tierra (los círculos tropicales y los círculos polares ).

En el caso de la Tierra, las principales fuentes de fuerza de marea son el Sol y la Luna , que cambian continuamente de posición entre sí y, por lo tanto, provocan la nutación en el eje terrestre. El componente más importante de la nutación terrestre tiene un período de 18,6 años, el mismo que el de la precesión de los nodos orbitales de la Luna . ^{[ 1 ]} Sin embargo, existen otros términos periódicos significativos que deben tenerse en cuenta según la precisión deseada del resultado. Una descripción matemática (conjunto de ecuaciones) que representa la nutación se denomina "teoría de la nutación". En la teoría, los parámetros se ajustan mediante un método más o menos ad hoc para obtener el mejor ajuste a los datos. La dinámica simple de cuerpos rígidos no proporciona la mejor teoría; es necesario tener en cuenta las deformaciones de la Tierra, incluyendo la inelasticidad del manto y los cambios en el límite núcleo-manto . ^{[ 8 ]}

El término principal de nutación se debe a la regresión de la línea nodal de la Luna y tiene el mismo período de 6798 días (18,61 años). Alcanza más o menos 17 ″ en longitud y 9,2 ″ en oblicuidad . ^{[ 9 ]} Todos los demás términos son mucho más pequeños; el siguiente más grande, con un período de 183 días (0,5 años), tiene amplitudes de 1,3 ″ y 0,6 ″ respectivamente. Los períodos de todos los términos mayores de 0,0001 ″ (aproximadamente con la precisión que permite la tecnología disponible) se encuentran entre 5,5 y 6798 días; por alguna razón (como con los períodos de las mareas oceánicas) parecen evitar el rango de 34,8 a 91 días, por lo que es habitual dividir la nutación en términos de período largo y período corto. Los términos de largo período se calculan y se mencionan en los almanaques, mientras que la corrección adicional debida a los términos de corto período generalmente se toma de una tabla. También pueden calcularse a partir del día juliano según la metodología IAU 2000B. ^{[ 10 ]}

• Libración
• Teetotum