Espacio cero-dimensional

En matemáticas , un espacio topológico cero-dimensional (o espacio nildimensional ) es un espacio topológico que tiene dimensión cero con respecto a una de varias nociones no equivalentes de asignación de dimensión a un espacio topológico dado. ^{[ 1 ]} Una ilustración gráfica de un espacio cero-dimensional es un punto . ^{[ 2 ]}

Específicamente:

• Un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la dimensión de recubrimiento de Lebesgue si todo recubrimiento abierto del espacio tiene un refinamiento que es un recubrimiento por conjuntos abiertos disjuntos.
• Un espacio topológico es cero-dimensional con respecto a la dimensión de recubrimiento finito a finito si cada recubrimiento abierto finito del espacio tiene un refinamiento que es un recubrimiento abierto finito tal que cualquier punto en el espacio está contenido en exactamente un conjunto abierto de este refinamiento.
• Un espacio topológico es cero-dimensional con respecto a la pequeña dimensión inductiva si tiene una base formada por conjuntos clopen .

Las tres nociones anteriores coinciden para espacios separables y metrizables (véase Dimensión inductiva § Relaciones entre dimensiones ). 

• Un espacio de Hausdorff cero-dimensional es necesariamente totalmente disconexo , pero la recíproca no se cumple. Sin embargo, un espacio de Hausdorff localmente compacto es cero-dimensional si y solo si es totalmente disconexo. (Véase ( Arhangel'skii y Tkachenko, 2008 , Proposición 3.1.7, pág. 136) para la dirección no trivial).
• Los espacios polacos de dimensión cero constituyen un entorno particularmente conveniente para la teoría descriptiva de conjuntos . Ejemplos de estos espacios incluyen el espacio de Cantor y el espacio de Baire .
• Los espacios cero-dimensionales de Hausdorff son precisamente los subespacios de potencias topológicas.${\displaystyle 2^{I}}$dónde${\displaystyle 2=\{0,1\}}$se le da la topología discreta . Dicho espacio a veces se llama cubo de Cantor . Si I es infinitamente numerable ,${\displaystyle 2^{I}}$es el espacio Cantor.

Todos los puntos de una variedad cero-dimensional están aislados .

• Arhangel'skii, Alexander ; Tkachenko, Mikhail (2008). Grupos topológicos y estructuras relacionadas . Estudios de matemáticas de Atlantis. Vol.  1. Atlantis Press. ISBN 978-90-78677-06-2.
• Engelking, Ryszard (1977). Topología general . PWN, Varsovia.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.