Teorema de comparación de Zeeman

En álgebra homológica , el teorema de comparación de Zeeman , introducido por Christopher Zeeman , ^{[ 1 ]} da condiciones para que un morfismo de secuencias espectrales sea un isomorfismo.

Declaración

Teorema de comparación — Sea $E_{p,q}^{r},{}^{\prime }E_{p,q}^{r}$ sean secuencias espectrales del primer cuadrante de módulos planos sobre un anillo conmutativo y $f:E^{r}\to {}^{\prime }E^{r}$ un morfismo entre ellos. Entonces, cualquiera de las dos siguientes afirmaciones implica la tercera:

$f:E_{2}^{p,0}\to {}^{\prime }E_{2}^{p,0}$ es un isomorfismo para cada p .
$f:E_{2}^{0,q}\to {}^{\prime }E_{2}^{0,q}$ es un isomorfismo para cada q .
$f:E_{\infty }^{p,q}\to {}^{\prime }E_{\infty }^{p,q}$ es un isomorfismo para cada p , q .

Ejemplo ilustrativo

Como ilustración, esbozamos la demostración del teorema de Borel , que dice que el anillo de cohomología de un espacio clasificador es un anillo de polinomios .

En primer lugar, con G como un grupo de Lie y con $\mathbb {Q}$ como anillo de coeficientes, tenemos la secuencia espectral de Serre $E_{2}^{p,q}$ para la fibración $G\to EG\to BG$ . Tenemos: $E_{\infty }\simeq \mathbb {Q}$ puesto que EG es contraíble. También tenemos un teorema de Hopf que establece que $H^{*}(G;\mathbb {Q} )\simeq \Lambda (u_{1},\dots ,u_{n})$ , un álgebra exterior generada por un número finito de elementos homogéneos.

A continuación, dejamos $E(i)$ sea la secuencia espectral cuya segunda página es $E(i)_{2}=\Lambda (x_{i})\otimes \mathbb {Q} [y_{i}]$ y cuyos diferenciales no triviales en la página r están dados por $d(x_{i})=y_{i}$ y la regla de Leibniz gradual. ${}^{\prime }E_{r}=\otimes _{i}E_{r}(i)$ . Dado que la cohomología conmuta con los productos tensoriales cuando trabajamos sobre un cuerpo, ${}^{\prime }E_{r}$ es de nuevo una secuencia espectral tal que ${}^{\prime }E_{\infty }\simeq \mathbb {Q} \otimes \dots \otimes \mathbb {Q} \simeq \mathbb {Q}$ Entonces dejamos

f:{}^{\prime }E_{r}\to E_{r},\,x_{i}\mapsto u_{i}.

Nótese que, por definición, f proporciona el isomorfismo. ${}^{\prime }E_{r}^{0,q}\simeq E_{r}^{0,q}=H^{q}(G;\mathbb {Q} ).$ Un punto crucial es que f es un " homomorfismo de anillos "; esto se basa en las condiciones técnicas que $u_{i}$ son "transgresoras" (véase Hatcher para un análisis detallado de este tema). Una vez resuelto este punto técnico, concluimos: $E_{2}^{p,0}\simeq {}^{\prime }E_{2}^{p,0}$ como anillo por el teorema de comparación; es decir, $E_{2}^{p,0}=H^{p}(BG;\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q} [y_{1},\dots ,y_{n}].$

Referencias

↑ Zeeman (1957) .

Bibliografía

McCleary, John (2001), Guía del usuario para secuencias espectrales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, MR 1793722
Roitberg, Joseph; Hilton, Peter (1976), "Sobre el teorema de comparación de Zeeman para la homología de fibraciones cuasi-nilpotentes" (PDF) , The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda Serie, 27 (108): 433–444 , doi : 10.1093/qmath/27.4.433 , ISSN 0033-5606 , MR 0431151
Zeeman, Erik Christopher (1957), "Una demostración del teorema de comparación para secuencias espectrales", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 53 : 57– 62, doi : 10.1017/S0305004100031984 , MR 0084769

[FOOTNOTEZeeman1957-1] Zeeman (1957) .

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