difracción de rayos X

Los cristales son conjuntos regulares de átomos, y los rayos X son ondas electromagnéticas. Los átomos dispersan las ondas de rayos X, principalmente a través de sus electrones. Así como una ola del océano que choca contra un faro produce ondas circulares secundarias que emanan del faro, un rayo X que choca contra un electrón produce ondas esféricas secundarias que emanan del electrón. Este fenómeno se conoce como dispersión elástica , y el electrón (o el faro) se conoce como dispersor . Un conjunto regular de dispersores produce un conjunto regular de ondas esféricas. Aunque estas ondas se cancelan entre sí en la mayoría de las direcciones mediante interferencia destructiva , se suman constructivamente en algunas direcciones específicas. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

Se puede obtener una comprensión intuitiva de la difracción de rayos X a partir del modelo de Bragg . En este modelo, una reflexión dada se asocia con un conjunto de láminas espaciadas uniformemente que atraviesan el cristal, generalmente pasando por los centros de los átomos de la red cristalina. La orientación de un conjunto particular de láminas se identifica mediante sus tres índices de Miller ( h , k , l ) y su espaciado por d . William Lawrence Bragg propuso un modelo en el que los rayos X incidentes se dispersan especularmente (como en un espejo) desde cada plano; a partir de esta suposición, los rayos X dispersados ​​desde planos adyacentes se combinarán constructivamente ( interferencia constructiva ) cuando el ángulo θ entre el plano y el rayo X dé como resultado una diferencia de longitud de trayectoria que sea un múltiplo entero n de la longitud de onda del rayo X λ.

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda .}$

Se dice que una reflexión está indexada cuando sus índices de Miller (o, más correctamente, sus componentes vectoriales de la red recíproca ) se han identificado a partir de la longitud de onda conocida y el ángulo de dispersión 2θ. Dicha indexación proporciona los parámetros de la celda unitaria , las longitudes y los ángulos de la celda unitaria, así como su grupo espacial . ^{[ 20 ]}

Cada patrón de difracción de rayos X representa una sección esférica del espacio recíproco, como se puede observar en la construcción de la esfera de Ewald. Para un vector de onda incidente k₀ dado _, los únicos vectores de onda con la misma energía se encuentran en la superficie de una esfera. En el diagrama, el vector de onda k₁ se encuentra en la esfera de Ewald y también en un vector de la red recíproca g₁ _{, por lo que satisface la} ley de Bragg. En cambio, el vector de onda k₂ difiere del punto de la red recíproca y de _g₂ por el vector s , que se denomina error de excitación. Para los grandes monocristales utilizados principalmente en cristalografía, solo importa el caso de la ley de Bragg; para _la difracción de electrones y algunos otros tipos de difracción de rayos X, también importan los valores distintos de cero del error de excitación. ^{[ 22 ]}

La dispersión de rayos X está determinada por la densidad de electrones dentro del cristal. Dado que la energía de un rayo X es mucho mayor que la de un electrón de valencia , la dispersión puede modelarse como dispersión de Thomson , la interacción elástica de un rayo electromagnético con una partícula cargada.

La intensidad de la dispersión de Thomson para una partícula con masa m y carga elemental q es: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle I_{o}=I_{e}\left({\frac {q^{4}}{m^{2}c^{4}}}\right){\frac {1+\cos ^{2}2\theta }{2}}=I_{e}7.94\times 10^{-26}{\frac {1+\cos ^{2}2\theta }{2}}=I_{e}f}$

Por lo tanto, los núcleos atómicos, que son mucho más pesados ​​que un electrón, contribuyen de forma insignificante a los rayos X dispersados. En consecuencia, la dispersión coherente detectada en un átomo puede aproximarse con precisión analizando la dispersión colectiva de los electrones en el sistema. ^{[ 20 ]}

El haz de rayos X incidente tiene polarización y debería representarse como una onda vectorial; sin embargo, para simplificar, aquí se representará como una onda escalar. Ignoraremos la dependencia temporal de la onda y nos centraremos únicamente en su dependencia espacial. Las ondas planas pueden representarse mediante un vector de onda k _en , por lo que la onda incidente en el instante t  =  0 viene dada por

${\displaystyle A\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {r} }.}$

En una posición r dentro de la muestra, consideremos una densidad de dispersores f ( r ); estos dispersores producen una onda esférica dispersa de amplitud proporcional a la amplitud local de la onda incidente multiplicada por el número de dispersores en un pequeño volumen dV alrededor de r

${\displaystyle {\text{amplitude of scattered wave}}=A\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }Sf(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V,}$

donde S es la constante de proporcionalidad.

Consideremos la fracción de ondas dispersadas que salen con un vector de onda saliente k _out e inciden sobre una pantalla (detector) en r _screen . Dado que no se pierde energía (dispersión elástica, no inelástica), las longitudes de onda son iguales, al igual que las magnitudes de los vectores de onda | k _in |  =  | k _out |. Desde el momento en que el fotón se dispersa en r hasta que se absorbe en r _screen , el fotón experimenta un cambio de fase.

${\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \left(\mathbf {r} _{\text{screen}}-\mathbf {r} \right)}.}$

La radiación neta que llega a la _pantalla r es la suma de todas las ondas dispersas a través del cristal.

${\displaystyle AS\int \mathrm {d} \mathbf {r} \,f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\text{in}}\cdot \mathbf {r} }e^{2\pi i\mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \left(\mathbf {r} _{\text{screen}}-\mathbf {r} \right)}=ASe^{2\pi i\mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \mathbf {r} _{\text{screen}}}\int \mathrm {d} \mathbf {r} \,f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \left(\mathbf {k} _{\text{in}}-\mathbf {k} _{\text{out}}\right)\cdot \mathbf {r} },}$

que puede escribirse como una transformada de Fourier

${\displaystyle AS\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \mathbf {r} _{\text{screen}}}\int d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \mathbf {g} \cdot \mathbf {r} }=AS\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \mathbf {r} _{\text{screen}}}F(\mathbf {g} ),}$

donde g = k _out  – k _in es un vector de red recíproca que satisface la ley de Bragg y la construcción de Ewald mencionada anteriormente. La intensidad medida de la reflexión será el cuadrado de esta amplitud ^{[ 20 ] [ 21 ]} 

${\displaystyle A^{2}S^{2}\left|F(\mathbf {g} )\right|^{2}.}$

Lo anterior presupone que las regiones cristalinas son relativamente grandes, por ejemplo, de micras de diámetro, pero no tan grandes como para que los rayos X se dispersen más de una vez. Si alguna de estas condiciones no se cumple, las intensidades difractadas serán más complejas. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Los experimentos de difracción a pequeña escala se pueden realizar con una fuente local de tubo de rayos X , generalmente acoplada a un detector de placa de imagen . Estos tienen la ventaja de ser relativamente económicos y fáciles de mantener, y permiten un cribado y recolección rápidos de muestras. Sin embargo, la longitud de onda de los rayos X producidos está limitada por la disponibilidad de diferentes materiales de ánodo . Además, la intensidad está limitada por la potencia aplicada y la capacidad de enfriamiento disponible para evitar la fusión del ánodo. En estos sistemas, los electrones se desprenden de un cátodo y se aceleran a través de un fuerte potencial eléctrico de ~50 kV ; al alcanzar una alta velocidad, los electrones colisionan con una placa metálica, emitiendo bremsstrahlung y algunas líneas espectrales intensas correspondientes a la excitación de los electrones de la capa interna del metal. El metal más común utilizado es el cobre, que se puede mantener frío fácilmente debido a su alta conductividad térmica , y que produce fuertes líneas K _α y K _{β . La línea K β} a veces se suprime con una lámina delgada (~10 μm) de níquel. La variedad más sencilla y económica de tubo de rayos X sellado tiene un ánodo fijo (el tubo de Crookes ) y funciona con una potencia de haz de electrones de aproximadamente 2 kW. La variedad más cara tiene una fuente de ánodo giratorio que funciona con una potencia de haz de electrones de aproximadamente 14 kW.    

Los rayos X generalmente se filtran (mediante filtros de rayos X ) a una sola longitud de onda (monocromática) y se coliman en una sola dirección antes de incidir sobre el cristal. El filtrado no solo simplifica el análisis de datos, sino que también elimina la radiación que degrada el cristal sin aportar información útil. La colimación se realiza con un colimador (básicamente, un tubo largo) o con un conjunto de espejos ligeramente curvados. Los sistemas de espejos son preferibles para cristales pequeños (de menos de 0,3  mm) o con celdas unitarias grandes (de más de 150  Å).

Un desarrollo más reciente es el tubo de microfoco , que puede proporcionar un flujo de haz al menos tan alto (después de la colimación) como las fuentes de ánodo giratorio, pero solo requiere una potencia de haz de unas pocas decenas o cientos de vatios en lugar de requerir varios kilovatios.

Las fuentes de radiación sincrotrón son algunas de las fuentes de luz más brillantes de la Tierra y constituyen algunas de las herramientas más potentes disponibles para la difracción de rayos X y la cristalografía. Los haces de rayos X se generan en sincrotrones que aceleran partículas con carga eléctrica, a menudo electrones, hasta casi la velocidad de la luz y las confinan en un bucle (aproximadamente) circular mediante campos magnéticos.

Los sincrotrones suelen ser instalaciones nacionales, cada una con varias líneas de haz dedicadas donde se recopilan datos sin interrupción. Originalmente, los sincrotrones fueron diseñados para que los físicos de altas energías estudiaran partículas subatómicas y fenómenos cósmicos . El componente principal de cada sincrotrón es su anillo de almacenamiento de electrones . Este anillo no es un círculo perfecto, sino un polígono de muchos lados. En cada esquina del polígono, o sector, imanes alineados con precisión desvían el flujo de electrones. Al desviarse su trayectoria, los electrones emiten ráfagas de energía en forma de rayos X.

La intensa radiación ionizante puede causar daños por radiación en las muestras, particularmente en los cristales macromoleculares. La criocristalografía puede proteger la muestra de los daños por radiación, congelando el cristal a temperaturas de nitrógeno líquido (~100 K ). ^{[ 24 ]} Los métodos de criocristalografía también se aplican a fuentes de ánodo rotatorio de uso doméstico. ^{[ 25 ]} Sin embargo, la radiación de sincrotrón suele tener la ventaja de longitudes de onda seleccionables por el usuario, lo que permite realizar experimentos de dispersión anómala que maximizan la señal anómala. Esto es fundamental en experimentos como la dispersión anómala de una sola longitud de onda (SAD) y la dispersión anómala de múltiples longitudes de onda (MAD).

Se han desarrollado láseres de electrones libres para su uso en difracción de rayos X y cristalografía. ^{[ 26 ]} Estas son las fuentes de rayos X más brillantes disponibles actualmente; los rayos X llegan en ráfagas de femtosegundos . La intensidad de la fuente es tal que se pueden resolver patrones de difracción con resolución atómica para cristales que de otro modo serían demasiado pequeños para su recolección. Sin embargo, la intensa fuente de luz también destruye la muestra, ^{[ 27 ]} lo que requiere disparar a múltiples cristales. Como cada cristal está orientado aleatoriamente en el haz, se deben recolectar cientos de miles de imágenes de difracción individuales para obtener un conjunto de datos completo. Este método, la cristalografía de femtosegundos en serie , se ha utilizado para resolver la estructura de varias estructuras cristalinas de proteínas, a veces observando diferencias con estructuras equivalentes recolectadas de fuentes de sincrotrón. ^{[ 28 ]}

Además de la difracción de monocristal, otras formas de dispersión elástica de rayos X incluyen la difracción de polvo , la dispersión de rayos X de ángulo pequeño ( SAXS ) y varios tipos de difracción de rayos X en fibras , que fue utilizada por Rosalind Franklin para determinar la estructura de doble hélice del ADN . En general, la difracción de rayos X de monocristal ofrece más información estructural que estas otras técnicas; sin embargo, requiere un cristal suficientemente grande y regular, lo cual no siempre es posible.

Estos métodos de dispersión generalmente utilizan rayos X monocromáticos , que se limitan a una sola longitud de onda con pequeñas variaciones. También se puede utilizar un amplio espectro de rayos X (es decir, una mezcla de rayos X con diferentes longitudes de onda) para realizar la difracción de rayos X, una técnica conocida como método de Laue. Este es el método utilizado en el descubrimiento original de la difracción de rayos X. La dispersión de Laue proporciona mucha información estructural con una exposición breve al haz de rayos X y, por lo tanto, se utiliza en estudios estructurales de eventos muy rápidos ( cristalografía resuelta en el tiempo ). Sin embargo, no es tan adecuada como la dispersión monocromática para determinar la estructura atómica completa de un cristal y, por lo tanto, funciona mejor con cristales con disposiciones atómicas relativamente simples.

El modo de retrodispersión de Laue registra los rayos X dispersados ​​hacia atrás desde una fuente de amplio espectro. Esto resulta útil si la muestra es demasiado gruesa para que los rayos X la atraviesen. Los planos de difracción en el cristal se determinan sabiendo que la normal al plano de difracción biseca el ángulo entre el haz incidente y el haz difractado. Se puede utilizar un diagrama de Greninger ^{[ 29 ]} para interpretar la fotografía de retrodispersión de Laue.

Debido a que interactúan mediante las fuerzas de Coulomb, la dispersión de electrones por la materia es 1000 veces o más fuerte que la de los rayos X. Por lo tanto, los haces de electrones producen una fuerte dispersión múltiple o dinámica incluso para cristales relativamente delgados (>10  nm). Si bien existen similitudes entre la difracción de rayos X y electrones, como se puede encontrar en el libro de John M. Cowley , ^{[ 22 ]} el enfoque es diferente, ya que se basa en el enfoque original de Hans Bethe ^{[ 30 ]} y en la resolución de la ecuación de Schrödinger para electrones relativistas , en lugar de un enfoque cinemático o de la ley de Bragg . Es posible obtener información sobre regiones muy pequeñas, hasta átomos individuales. El rango de aplicaciones para la difracción de electrones , la microscopía electrónica de transmisión y la cristalografía electrónica de transmisión con electrones de alta energía es extenso; consulte los enlaces relevantes para obtener más información y citas. Además de los métodos de transmisión, la difracción de electrones de baja energía ^{[ 31 ]} es una técnica en la que los electrones se retrodispersan en las superficies y se ha utilizado ampliamente para determinar estructuras superficiales a escala atómica, y la difracción de electrones de alta energía por reflexión es otra que se utiliza ampliamente para monitorizar el crecimiento de películas delgadas. ^{[ 32 ]}

La difracción de neutrones se utiliza para la determinación de estructuras, aunque ha sido difícil obtener haces de neutrones monocromáticos e intensos en cantidades suficientes. Tradicionalmente, se han utilizado reactores nucleares , si bien cada vez hay más fuentes que producen neutrones por espalación . Al no tener carga, los neutrones se dispersan más en los núcleos atómicos que en los electrones. Por lo tanto, la dispersión de neutrones es útil para observar la posición de átomos ligeros con pocos electrones, especialmente el hidrógeno , que es prácticamente invisible en la difracción de rayos X. La dispersión de neutrones también tiene la propiedad de que el disolvente puede hacerse invisible ajustando la proporción de agua normal (H₂O ₎ y agua pesada (D₂O ₎ .