Condiciones de Whitney

En topología diferencial , una rama de las matemáticas , las condiciones de Whitney son condiciones sobre un par de subvariedades de una variedad introducidas por Hassler Whitney en 1965.

Una estratificación de un espacio topológico es una filtración finita mediante subconjuntos cerrados F _i , de modo que la diferencia entre elementos sucesivos F _i y F _{i − 1} de la filtración es vacía o una subvariedad diferenciable de dimensión i . Las componentes conexas de la diferencia F _i − F _{i − 1} son los estratos de dimensión i . Una estratificación se denomina estratificación de Whitney si todos los pares de estratos satisfacen las condiciones de Whitney A y B, definidas más adelante.

Sean X e Y dos subvariedades disjuntas ( localmente cerradas ) de R ⁿ , de dimensiones i y j .

• X e Y satisfacen la condición A de Whitney si siempre que una secuencia de puntos x ₁ , x ₂ , … en X converge a un punto y en Y , y la secuencia de planos i tangentes T _m a X en los puntos x _m converge a un plano i T cuando m tiende a infinito, entonces T contiene el plano j tangente a Y en y .
• X e Y satisfacen la condición B de Whitney si para cada secuencia x ₁ , x ₂ , … de puntos en X y cada secuencia y ₁ , y ₂ , … de puntos en Y , ambas convergiendo al mismo punto y en Y , de tal manera que la secuencia de líneas secantes L _m entre x _m e y m converge a una línea L cuando m tiende a infinito, y la secuencia de planos i tangentes _T m a X _en los puntos x m _converge a un plano i T cuando m tiende a infinito, entonces L está contenido en T.

John Mather fue el primero en señalar que la condición B de Whitney implica la condición A de Whitney en las notas de sus clases en Harvard en 1970, las cuales han sido ampliamente difundidas. También definió la noción de espacio estratificado de Thom-Mather y demostró que toda estratificación de Whitney es un espacio estratificado de Thom-Mather y, por lo tanto, un espacio estratificado topológicamente . René Thom ya había presentado otro enfoque de este resultado fundamental en 1969.

David Trotman demostró en su tesis de Warwick de 1977 que una estratificación de un subconjunto cerrado en una variedad diferenciable M satisface la condición A de Whitney si y solo si el subespacio del espacio de aplicaciones diferenciables de una variedad diferenciable N en M, que consta de todas aquellas aplicaciones transversales a todos los estratos de la estratificación, es abierto (utilizando la topología de Whitney o topología fuerte). El subespacio de aplicaciones transversales a cualquier familia numerable de subvariedades de M es siempre denso según el teorema de transversalidad de Thom . La densidad del conjunto de aplicaciones transversales se suele interpretar diciendo que la transversalidad es una propiedad «genérica» para las aplicaciones diferenciables, mientras que la apertura se suele interpretar diciendo que la propiedad es «estable».

La razón por la que las condiciones de Whitney se han vuelto tan utilizadas se debe al teorema de Whitney de 1965, que establece que toda variedad algebraica, o incluso analítica, admite una estratificación de Whitney, es decir, admite una partición en subvariedades diferenciables que satisfacen las condiciones de Whitney. Se pueden dar estratificaciones de Whitney a espacios singulares más generales, como los conjuntos semialgebraicos (debido a René Thom ) y los conjuntos subanalíticos (debido a Heisuke Hironaka ). Esto ha propiciado su uso en ingeniería, teoría de control y robótica. En una tesis dirigida por Wieslaw Pawlucki en la Universidad Jagellónica de Cracovia, Polonia, el matemático vietnamita Ta Lê Loi demostró además que a todo conjunto definible en una estructura o-minimal se le puede dar una estratificación de Whitney.

• Espacio estratificado de Thom-Mather
• Espacio estratificado topológicamente
• El primer lema de isotopía de Thom
• Espacio estratificado

• Mather, John Notas sobre estabilidad topológica , Harvard, 1970 ( disponible en su página web en la Universidad de Princeton ).
• Thom, René Ensembles et morphismes stratifiés , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 75, págs.  240–284), 1969.
• Trotman, David La estabilidad de la transversalidad a una estratificación implica la (a)-regularidad de Whitney, Inventiones Mathematicae 50(3), pp.  273–277, 1979.
• Trotman, David. Comparación de condiciones de regularidad en estratificaciones, Singularidades, Parte 2 (Arcata, California, 1981), volumen 40 de Proc. Sympos. Pure Math., págs.  575–586. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1983.
• Whitney, Hassler Propiedades locales de variedades analíticas. Topología diferencial y combinatoria (Simposio en honor a Marston Morse ) págs.  205–244 Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965.
• Whitney, Hassler , Tangentes a una variedad analítica, Annals of Mathematics 81, n.º 3 (1965), págs.  496–549.