módulo de Weibull

El módulo de Weibull es un parámetro adimensional de la distribución de Weibull . Representa la amplitud de una función de densidad de probabilidad (FDP), donde un módulo más alto indica una distribución de valores más estrecha. Algunos ejemplos de su aplicación incluyen el análisis de fallas en materiales biológicos y frágiles , donde el módulo se utiliza para describir la variabilidad de la resistencia a la falla de los materiales.

La distribución de Weibull, representada como una función de distribución acumulativa (FDA), se define por:

${\displaystyle F(x)=1-\exp \left(-\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m}\right)}$

donde m es el módulo de Weibull. ^{[ 1 ]}${\displaystyle x_{0}}$es un parámetro que se encuentra durante el ajuste de los datos a la distribución de Weibull y representa un valor de entrada para el cual se incluye aproximadamente el 67% de los datos. A medida que m aumenta, la distribución de la función de distribución acumulada (CDF) se asemeja más a una función escalón en${\displaystyle x_{0}}$, lo cual se correlaciona con un pico más pronunciado en la función de densidad de probabilidad (PDF) definida por:

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {m}{x_{0}}}\right)\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m-1}\exp \left(-\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m}\right)}$

El análisis de fallas a menudo utiliza esta distribución, ^{[ 2 ]} como una función de distribución acumulada (CDF) de la probabilidad de falla F de una muestra, en función de la tensión aplicada σ, en la forma:

${\displaystyle F(\sigma )=1-\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]}$

La tensión de rotura de la muestra, σ, se sustituye por la${\displaystyle x}$propiedad en la ecuación anterior. La propiedad inicial${\displaystyle x_{u}}$Se supone que es 0, un estado de equilibrio del material sin tensiones.

En la gráfica de la función de distribución acumulada de Weibull, cabe destacar que todas las funciones se intersecan en un valor de tensión de 50 MPa, la resistencia característica de las distribuciones, aunque los valores de los módulos de Weibull varíen. Asimismo, en la gráfica de la función de densidad de probabilidad de Weibull, se observa que un módulo de Weibull más elevado produce una pendiente más pronunciada en la gráfica.

La distribución de Weibull también puede ser multimodal, en cuyo caso habría múltiples informes${\displaystyle x_{0}}$valores y múltiples módulos reportados, m. La CDF para una distribución de Weibull bimodal tiene la siguiente forma, ^{[ 3 ]} cuando se aplica al análisis de fallas de materiales:

${\displaystyle F(\sigma )=1-\phi \exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}}\right]-(1-\phi )\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}}\right]}$

Esto representa un material que falla por dos modos diferentes. En esta ecuación, _m₁ es el módulo para el primer modo y m₂ es el módulo para el segundo modo. Φ es la fracción del conjunto de muestras que falla por el primer modo. La función de densidad de probabilidad (PDF ₎ correspondiente se define por:${\displaystyle f(\sigma )=\phi \left({\frac {m_{1}}{\sigma _{01}}}\right)\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}-1}\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}}\right]+(1-\phi )\left({\frac {m_{2}}{\sigma _{02}}}\right)\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}-1}\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}}\right]}$

En las figuras de este artículo se muestran ejemplos de una función de densidad de probabilidad (PDF) y una función de distribución acumulativa (CDF) de Weibull bimodales, con valores de resistencia característica de 40 y 120 MPa, módulos de Weibull de 4 y 10, y un valor de Φ de 0,5, lo que corresponde a que el 50 % de las muestras fallan por cada modo de falla.

El complemento de la función de distribución acumulativa de Weibull se puede expresar como:

${\displaystyle P=1-F}$

Donde P corresponde a la probabilidad de supervivencia de una muestra para un valor de tensión dado. Por lo tanto, se deduce que:

${\displaystyle P(\sigma )=1-\left[1-\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]\right]=\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]}$

donde m es el módulo de Weibull. Si se grafica la probabilidad en función de la tensión, encontramos que la gráfica es sigmoidal, como se muestra en la figura anterior. Aprovechando que la exponencial es la base del logaritmo natural , la ecuación anterior se puede reordenar de la siguiente manera:

${\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=\ln \left[\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]}$

Lo cual, utilizando las propiedades de los logaritmos, también puede expresarse como:

${\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=m\ln(\sigma )-m\ln(\sigma _{0})}$

Cuando se grafica el lado izquierdo de esta ecuación en función del logaritmo natural de la tensión, se puede crear una gráfica lineal que tiene una pendiente del módulo de Weibull, m, y una intersección con el eje x de ${\displaystyle \ln(\sigma _{0})}$.

Al observar la linealización de las funciones de distribución acumulada (CDF) representadas gráficamente, se aprecia que todas las líneas intersecan el eje x en el mismo punto, ya que todas las funciones tienen el mismo valor de la intensidad característica. Las pendientes varían debido a los diferentes valores de los módulos de Weibull.

Las organizaciones de normalización han creado múltiples estándares para medir y reportar valores de parámetros de Weibull, junto con otros análisis estadísticos de datos de resistencia:

• ASTM C1239-13: Práctica estándar para informar datos de resistencia uniaxial y estimar parámetros de distribución de Weibull para cerámicas avanzadas ^{[ 4 ]}
• ASTM D7846-21: Práctica estándar para informar datos de resistencia uniaxial y estimar parámetros de distribución de Weibull para grafitos avanzados ^{[ 5 ]}
• ISO 20501:2019 Cerámica fina (cerámica avanzada, cerámica técnica avanzada) - Estadísticas de Weibull para datos de resistencia ^{[ 6 ]}
• ANSI DIN EN 843-5:2007 Cerámica técnica avanzada - Propiedades mecánicas de cerámicas monolíticas a temperatura ambiente - Parte 5: Análisis estadístico ^{[ 7 ]}

Al aplicar una distribución de Weibull a un conjunto de datos, los puntos de datos deben ordenarse primero. Para el caso de uso del análisis de fallas, las resistencias a la falla de las muestras se clasifican en orden ascendente, es decir, de menor a mayor resistencia. Luego se asigna una probabilidad de falla a cada resistencia a la falla medida; ASTM C1239-13 ^{[ 4 ]} utiliza la siguiente fórmula:

${\displaystyle F(\sigma )={\frac {i-0.5}{N}}}$

dónde${\displaystyle i}$es el número de muestra según su clasificación y${\displaystyle N}$es el número total de especímenes en la muestra. A partir de ahí${\displaystyle F}$Se puede representar gráficamente frente a la resistencia a la rotura para obtener una función de distribución acumulada de Weibull. Los parámetros de Weibull, módulo y resistencia característica, se pueden obtener mediante ajuste o utilizando el método de linealización detallado anteriormente.

Las estadísticas de Weibull se utilizan a menudo para cerámicas y otros materiales frágiles. ^{[ 8 ] [ 9 ]} En ingeniería de materiales, el módulo de Weibull sirve como un indicador importante de fiabilidad y su valor se ha recopilado para más de 370 materiales. Por ejemplo, en fibras de vidrio estructurales, se informó que el módulo de Weibull oscila entre 2,3 y 7. ^{[ 10 ]} También se han aplicado a otros campos, como la meteorología, donde las velocidades del viento se describen a menudo utilizando estadísticas de Weibull. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

Otro método para determinar la resistencia de materiales frágiles se describe en la contribución del Wikibook titulada Determinación del eslabón más débil mediante el uso de estadísticas de Weibull de tres parámetros .