Problema de Weber

En geometría , el problema de Weber , llamado así por Alfred Weber , es uno de los problemas más famosos de la teoría de la localización . Requiere encontrar un punto en el plano que minimice la suma de los costos de transporte desde este punto hasta n puntos de destino, donde los diferentes puntos de destino están asociados con diferentes costos por unidad de distancia.

El problema de Weber generaliza la mediana geométrica , que supone que los costes de transporte por unidad de distancia son los mismos para todos los puntos de destino, y el problema de calcular el punto de Fermat , la mediana geométrica de tres puntos. Por esta razón, a veces se lo denomina problema de Fermat-Weber, aunque también se ha utilizado el mismo nombre para el problema de la mediana geométrica no ponderada. El problema de Weber se generaliza a su vez mediante el problema de atracción-repulsión, que permite que algunos de los costes sean negativos, de modo que es mejor que haya una mayor distancia desde algunos puntos.

En el caso del triángulo, el problema de Fermat consiste en localizar un punto D con respecto a tres puntos A, B, C de tal forma que la suma de las distancias entre D y cada uno de los otros tres puntos sea mínima. Fue formulado por el famoso matemático francés Pierre de Fermat antes de 1640, y puede considerarse como el verdadero comienzo tanto de la teoría de la localización como de la economía espacial. Torricelli encontró una solución geométrica a este problema alrededor de 1645, pero aún no tenía una solución numérica directa más de 325 años después. E. Weiszfeld publicó un artículo en 1937 con un algoritmo para el problema de Fermat-Weber. Como el artículo se publicó en la revista Tohoku Mathematical, y Weiszfeld emigró a los EE. UU. y cambió su nombre a Vaszoni, su trabajo no fue muy conocido. ^[1] Kuhn y Kuenne ^[2] encontraron independientemente una solución iterativa similar para el problema general de Fermat en 1962 y, en 1972, Tellier ^[3] encontró una solución numérica directa para el problema del triángulo de Fermat, que es trigonométrica. La solución de Kuhn y Kuenne se aplica al caso de polígonos que tienen más de tres lados, lo que no sucede con la solución de Tellier por razones que se explican más adelante.

El problema de Weber consiste, en el caso del triángulo, en localizar un punto D con respecto a tres puntos A, B, C de tal manera que la suma de los costes de transporte entre D y cada uno de los otros tres puntos sea mínima. El problema de Weber es una generalización del problema de Fermat, ya que implica tanto fuerzas de atracción iguales como desiguales (véase más adelante), mientras que el problema de Fermat sólo trata con fuerzas de atracción iguales. Fue formulado por primera vez y resuelto geométricamente en el caso del triángulo por Thomas Simpson en 1750. ^[4] Posteriormente fue popularizado por Alfred Weber en 1909. ^[5] La solución iterativa de Kuhn y Kuenne encontrada en 1962, y la solución de Tellier encontrada en 1972 se aplican tanto al problema del triángulo de Weber como al de Fermat. La solución de Kuhn y Kuenne se aplica también al caso de polígonos que tienen más de tres lados.

En su versión más simple, el problema de atracción-repulsión consiste en localizar un punto D con respecto a tres puntos A ₁ , A ₂ y R de tal manera que las fuerzas de atracción ejercidas por los puntos A ₁ , A ₂ , y la fuerza de repulsión ejercida por el punto R se cancelen entre sí como debe ocurrir en el óptimo. Constituye una generalización de los problemas de Fermat y de Weber. Fue formulado y resuelto por primera vez, en el caso del triángulo, en 1985 por Luc-Normand Tellier . ^[6] En 1992, Chen, Hansen, Jaumard y Tuy encontraron una solución al problema de Tellier para el caso de polígonos que tienen más de tres lados.

La solución geométrica del problema del triángulo de Fermat propuesta por Evangelista Torricelli se basa en dos observaciones:

1. El punto D está en su ubicación óptima cuando cualquier movimiento significativo fuera de esa ubicación induce un aumento neto de la distancia total a los puntos de referencia A, B, C , lo que significa que el punto óptimo es el único punto donde un movimiento infinitesimal hacia uno de los tres puntos de referencia induce una reducción de la distancia a ese punto que es igual a la suma de los cambios inducidos en las distancias a los otros dos puntos; de hecho, en el problema de Fermat, la ventaja de reducir la distancia desde A en un kilómetro es igual a la ventaja de reducir la distancia desde B en un kilómetro o la distancia desde C en la misma longitud; en otras palabras, la actividad que se ubicará en D es igualmente atraída por A, B, C ;
2. Según un importante teorema de la geometría euclidiana, en un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo, los ángulos opuestos son suplementarios (es decir, su suma es igual a 180°); ese teorema también puede tomar la siguiente forma: si cortamos un círculo con una cuerda AB , obtenemos dos arcos de círculo, digamos AiB , AjB ; en el arco AiB , cualquier ángulo ∠ AiB es el mismo para cualquier punto elegido i , y, en el arco AjB , todos los ángulos ∠ AjB también son iguales para cualquier punto elegido j ; además, los ángulos ∠ AiB , ∠ AjB son suplementarios.

Se puede demostrar que la primera observación implica que, en el punto óptimo, los ángulos entre las rectas AD, BD, CD deben ser iguales a 360° / 3 = 120°. Torricelli dedujo de esta conclusión que:

1. Si cualquier triángulo △ ABD , cuyo ángulo ∠ ADB es igual a 120°, genera un cuadrilátero convexo ABDE inscrito en un círculo, el ángulo ∠ ABE del triángulo △ ABE debe ser igual a (180° − 120°) = 60°;
2. Una forma de determinar el conjunto de ubicaciones de D para las cuales el ángulo ∠ ADB es igual a 120° es dibujar un triángulo equilátero △ ABE (porque cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60°), donde E está ubicado fuera del triángulo △ ABC , y dibujar un círculo alrededor de ese triángulo; entonces todos los puntos D' de la circunferencia de ese círculo que se encuentran dentro del círculo △ ABC son tales que el ángulo ∠ AD'B es igual a 120°;
3. El mismo razonamiento se puede hacer con respecto a los triángulos △ ACD , △ BCD ;
4. Esto lleva a dibujar otros dos triángulos equiláteros △ ACF , △ BCG , donde F, G están ubicados fuera del triángulo △ ABC , así como otros dos círculos alrededor de estos triángulos equiláteros, y a determinar la ubicación donde se intersecan los tres círculos; en esa ubicación, los ángulos entre las líneas rectas AD, BD, CD son necesariamente iguales a 120°, lo que demuestra que es la ubicación óptima.

La solución geométrica de Simpson al llamado "problema del triángulo de Weber" (formulado por primera vez por Thomas Simpson en 1750) deriva directamente de la solución de Torricelli. Simpson y Weber destacaron el hecho de que, en un problema de minimización total del transporte, la ventaja de acercarse a cada punto de atracción A, B o C depende de lo que se transporta y de su coste de transporte. En consecuencia, la ventaja de acercarse un kilómetro más a A, B o C varía, y los ángulos ∠ ADB , ∠ ADC , ∠ BDC ya no necesitan ser iguales a 120°.

Simpson demostró que, de la misma manera que, en el caso del problema del triángulo de Fermat, los triángulos construidos △ ABE , △ ACF , △ BCG eran equiláteros porque las tres fuerzas de atracción eran iguales, en el caso del problema del triángulo de Weber, los triángulos construidos △ ABE , △ ACF , △ BCG , donde E, F, G están ubicados fuera del triángulo △ ABC , deben ser proporcionales a las fuerzas de atracción del sistema de ubicación.

La solución es tal que:

1. En el triángulo construido △ ABE , el lado AB es proporcional a la fuerza de atracción w _C que apunta hacia C , el lado AE es proporcional a la fuerza de atracción w _B que apunta hacia B , y el lado BE es proporcional a la fuerza de atracción w _A que apunta hacia A ;
2. En el triángulo construido △ BCG , el lado BC es proporcional a la fuerza de atracción w _A que apunta hacia A , el lado BG es proporcional a la fuerza de atracción w _C que apunta hacia B , y el lado CG es proporcional a la fuerza de atracción w _B que apunta hacia C ;
3. El punto óptimo D se encuentra en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos △ ABE , △ BCG .

A partir del lado AC se puede dibujar un tercer triángulo de fuerzas △ ACF , donde F se encuentra fuera del triángulo △ ABC , y alrededor de ese triángulo se puede trazar una tercera circunferencia que cruza las dos anteriores en el mismo punto D .

Existe una solución geométrica para el problema del triángulo de atracción-repulsión. Su descubrimiento es bastante reciente. ^[7] Esa solución geométrica difiere de las dos anteriores ya que, en este caso, los dos triángulos de fuerza construidos se superponen al triángulo de ubicación △ A ₁ A ₂ R (donde A ₁ y A ₂ son puntos de atracción y R , uno de repulsión), mientras que, en los casos anteriores, nunca lo hicieron.

Esta solución es tal que:

1. En el triángulo construido △ RA ₂ H , que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación △ A ₁ A ₂ R , el lado RA ₂ es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 1} que apunta hacia A ₁ , el lado RH es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 2} que apunta hacia A ₂ , y el lado A ₂ H es proporcional a la fuerza repulsiva w _R que empuja desde el punto R ;
2. En el triángulo construido △ RA ₁ I , que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación △ A ₁ A ₂ R , el lado RA ₁ es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 2} que apunta hacia A ₂ , el lado RI es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 1} que apunta hacia A ₁ , y el lado A ₁ I es proporcional a la fuerza repulsiva w _R que empuja desde el punto R ;
3. El punto óptimo D se encuentra en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos △ RA ₂ H y △ RA ₁ I.

Esta solución es inútil si una de las fuerzas es mayor que la suma de las otras dos o si los ángulos no son compatibles. En algunos casos, ninguna fuerza es mayor que las otras dos y los ángulos no son compatibles; entonces, la ubicación óptima se encuentra en el punto que ejerce la mayor fuerza de atracción.

Más de 332 años separan la primera formulación del problema del triángulo de Fermat y el descubrimiento de su solución numérica no iterativa, mientras que durante casi todo ese período de tiempo existió una solución geométrica. ¿Hay una explicación para eso? Esa explicación reside en la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores orientados hacia los tres puntos de atracción no coincidan. Si esos orígenes coinciden y se encuentran en la ubicación óptima P , los vectores orientados hacia A, B, C y los lados del triángulo de ubicación △ ABC forman los seis ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 , y los tres vectores forman los ángulos ∠ α _A , ∠ α _B , ∠ α _C . Es fácil escribir las siguientes seis ecuaciones que vinculan seis incógnitas (los ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 ) con seis valores conocidos (los ángulos ∠ A , ∠ B , ∠ C , cuyos valores se dan, y los ángulos ∠ α _A , ∠ α _B , ∠ α _C , cuyos valores dependen únicamente de la magnitud relativa de las tres fuerzas de atracción que apuntan hacia los puntos de atracción A, B, C ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle 1+\angle 2&=\angle C;\\\angle 3+\angle 4&=\angle A;\\\angle 5+\angle 6&=\angle B;\\[4pt]\angle 1+\angle 6+\angle \alpha _{A}&=180^{\circ };\\\angle 2+\angle 3+\angle \alpha _{B}&=180^{\circ };\\\angle 4+\angle 5+\angle \alpha _{C}&=180^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Desgraciadamente, este sistema de seis ecuaciones simultáneas con seis incógnitas es indeterminado, y la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores orientados hacia los tres puntos de atracción no coincidan explica por qué. En el caso de no coincidencia, observamos que las seis ecuaciones siguen siendo válidas. Sin embargo, la posición óptima P ha desaparecido debido al agujero triangular que existe en el interior del triángulo. De hecho, como ha demostrado Tellier (1972) ^[8] , ese agujero triangular tenía exactamente las mismas proporciones que los "triángulos de fuerzas" que dibujamos en la solución geométrica de Simpson.

Para resolver el problema, a las seis ecuaciones simultáneas hay que añadir un séptimo requisito, que establece que no debe existir ningún agujero triangular en el centro del triángulo de ubicación. En otras palabras, los orígenes de los tres vectores deben coincidir.

La solución de Tellier a los problemas del triángulo de Fermat y Weber implica tres pasos:

1. Determinar los ángulos ∠ α _A , ∠ α _B , ∠ α _C que son tales que las tres fuerzas de atracción w _A , w _B , w _C se cancelan entre sí para asegurar el equilibrio. Esto se hace por medio de las siguientes ecuaciones independientes:$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \angle \alpha _{A}=-{\frac {w_{B}^{2}+w_{C}^{2}-w_{A}^{2}}{2\,w_{B}w_{C}}};\\\cos \angle \alpha _{B}=-{\frac {w_{A}^{2}+w_{C}^{2}-w_{B}^{2}}{2\,w_{A}w_{C}}};\\\cos \angle \alpha _{C}=-{\frac {w_{A}^{2}+w_{B}^{2}-w_{C}^{2}}{2\,w_{A}w_{B}}};\end{aligned}}}$$
2. Determinar el valor del ángulo ∠3 (esta ecuación se deriva del requisito de que el punto D debe coincidir con el punto E ): donde$${\displaystyle \tan \angle 3={\frac {k\sin k'}{1+k\cos k'}};}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {\overline {CB}}{\overline {CA}}}\times {\frac {\sin \angle \alpha _{B}}{\sin \angle \alpha _{A}}},\\[4pt]k'&=(\angle A+\angle B+\angle \alpha _{C})-180^{\circ }.\end{aligned}}}$$
3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas donde ahora se conoce ∠3 :$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle 1+\angle 2&=\angle C;\\\angle 3+\angle 4&=\angle A;\\\angle 5+\angle 6&=\angle B;\\[4pt]\angle 1+\angle 6+\angle \alpha _{A}&=180^{\circ };\\\angle 2+\angle 3+\angle \alpha _{B}&=180^{\circ };\\\angle 4+\angle 5+\angle \alpha _{C}&=180^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Tellier (1985) ^[9] extendió el problema de Fermat-Weber al caso de fuerzas repulsivas. Examinemos el caso del triángulo donde hay dos fuerzas de atracción w _{A 1} , w _{A 2} , y una fuerza repulsiva w _R . Aquí, como en el caso anterior, existe la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores no coincidan. Por lo tanto, la solución debe requerir que coincidan. La solución trigonométrica de Tellier de este problema es la siguiente:

1. Determinar el ángulo ∠ e :$${\displaystyle \cos \angle e=-{\frac {w_{A1}^{2}+w_{A2}^{2}-w_{R}^{2}}{2\,w_{A1}w_{A2}}};}$$
2. Determinar el ángulo ∠ p :$${\displaystyle \cos \angle p=-{\frac {w_{A1}^{2}+w_{R}^{2}-w_{A2}^{2}}{2\,w_{A1}w_{R}}};}$$
3. Determinar el ángulo ∠ c :$${\displaystyle \angle c=180^{\circ }-\angle p;}$$
4. Determinar el ángulo ∠ d :$${\displaystyle \angle d=\angle e-\angle c;}$$
5. Determinar el valor del ángulo ∠3 (esta ecuación se deriva del requisito de que el punto D debe coincidir con el punto E ): donde$${\displaystyle \tan \angle 3={\frac {x}{y}};}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \angle f-{\frac {\overline {RA_{1}}}{\overline {RA_{2}}}}\times {\frac {\sin \angle d\sin(\angle e-\angle b)}{\sin \angle c}};\\[4pt]y&={\frac {\overline {RA_{1}}}{\overline {RA_{2}}}}\times {\frac {\sin \angle d\cos(\angle e-\angle b)}{\sin \angle c}}-\cos \angle f;\end{aligned}}}$$
6. Determinar ∠1 :$${\displaystyle \angle 1=180^{\circ }-\angle e-\angle 3;}$$
7. Determinar ∠5 :$${\displaystyle \angle 5=180^{\circ }-\angle b-\angle c-\angle 1;}$$
8. Determinar ∠2 :$${\displaystyle \angle 2=\angle a-\angle 5.}$$

Cuando el número de fuerzas es mayor que tres, ya no es posible determinar los ángulos que separan las diversas fuerzas sin tener en cuenta la geometría del polígono de ubicación. Los métodos geométricos y trigonométricos son entonces impotentes. En tales casos se utilizan métodos de optimización iterativos. Kuhn y Kuenne (1962) ^[10] sugirieron un algoritmo basado en mínimos cuadrados reponderados iterativamente que generaliza el algoritmo de Weiszfeld para el problema no ponderado . Su método es válido para los problemas de Fermat y Weber que involucran muchas fuerzas, pero no para el problema de atracción-repulsión. En este método, para encontrar una aproximación al punto y que minimiza la suma ponderada de distancias, se encuentra una aproximación inicial a la solución y ₀ , y luego en cada etapa del algoritmo se acerca a la solución óptima estableciendo y _{j + 1} como el punto que minimiza la suma de las distancias al cuadrado ponderadas donde los pesos iniciales w _i de los puntos de entrada se dividen por las distancias desde cada punto hasta la aproximación de la etapa anterior. Como solución óptima única a un problema de mínimos cuadrados ponderados, cada aproximación sucesiva puede encontrarse como un promedio ponderado: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\|x_{i}-y\|,}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{\|x_{i}-y_{j}\|}}\|x_{i}-y\|^{2}}$$$${\displaystyle y_{j+1}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}x_{i}}{|x_{i}-y_{j}|}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{|x_{i}-y_{j}|}}}}}$$

El marco de Varignon proporciona una solución experimental del problema de Weber.

Para el problema de atracción-repulsión hay que recurrir al algoritmo propuesto por Chen, Hansen, Jaumard y Tuy (1992). ^[11]

En el mundo de la economía espacial , las fuerzas repulsivas son omnipresentes. Los valores de la tierra son el principal ejemplo de ellas. De hecho, una parte sustancial de la teoría del valor de la tierra , tanto rural como urbana, se puede resumir de la siguiente manera.

En el caso en que todo el mundo se sienta atraído por un único punto de atracción (el mercado rural o el distrito central de negocios urbano), la competencia entre los distintos postores que quieren localizarse en el centro generará valores del suelo que transformarán el único punto de atracción del sistema en un punto de repulsión desde el punto de vista del valor del suelo y, en el equilibrio, cada habitante y cada actividad se localizarán en el punto en el que las fuerzas de atracción y repulsión que ejerce el centro sobre ellos se anularán.

El problema de Tellier precedió al surgimiento de la Nueva Geografía Económica . Ottaviano y Thisse (2005) ^[12] lo consideran un preludio de la Nueva Geografía Económica (NEG) que se desarrolló en la década de 1990 y que le valió a Paul Krugman el Premio Nobel de Ciencias Económicas en 2008. El concepto de fuerza atractiva es similar al concepto de la NEG de aglomeración o fuerza centrípeta, y el concepto de fuerza repulsiva es similar al concepto de la NEG de dispersión o fuerza centrífuga.

• Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte y Hoang Tuy, 1992, "El problema de Weber con la atracción y la repulsión", Journal of Regional Science 32, 467–486.
• Kuhn, Harold W. y Robert E. Kuenne, 1962, "Un algoritmo eficiente para la solución numérica del problema generalizado de Weber en economía espacial". Journal of Regional Science 4, 21–34.
• Ottaviano, Gianmarco y Jacques-François Thisse, 2005, « Nueva geografía económica: ¿qué pasa con el N? », Environment and Planning A 37, 1707–1725.
• Simpson, Thomas, 1750, La doctrina y aplicación de las fluxiones, Londres.
• Tellier, Luc-Normand y Boris Polanski, 1989, "El problema de Weber: frecuencia de diferentes tipos de soluciones y extensión a fuerzas repulsivas y procesos dinámicos", Journal of Regional Science , vol 29, no. 3, pág. 387–405.
• Tellier, Luc-Normand, 1972, "El problema de Weber: solución e interpretación", Análisis geográfico , vol. 4, núm. 3, págs. 215–233.
• Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie espacial: racionalité économique de l'espace habité , Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 páginas.
• Tellier, Luc-Normand, 2013, «Anexo 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d'attraction–répulsion», anexo del artículo de Pierre Hansen, Christophe Meyer y Luc-Normand Tellier, «Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique : compatibilité, convergence et avantages comparés », en Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II : méthodologies , Québec, Presses de l'Université du Québec.
• Weber, Alfred, 1909, Über den Standort der Industrien , Tübingen, JCB Mohr) - Traducción al inglés: The Theory of the Location of Industries , Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 páginas.
• Wesolowski, Georges, 1993, «El problema de Weber: Historia y perspectiva», Location Science , Vol. 1, pág. 5–23.

• "Problema de Weber", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]