Operador D'Alembert

En la relatividad especial , el electromagnetismo y la teoría ondulatoria , el operador de d'Alembert (denotado por un recuadro:${\displaystyle \Box }$), también llamado operador de onda d'Alembertiano , operador de caja o a veces operador de quabla ^{[ 1 ]} ( cf. símbolo nabla ) es el operador de Laplace del espacio de Minkowski . El operador recibe su nombre del matemático y físico francés Jean le Rond d'Alembert .

En el espacio de Minkowski, en coordenadas estándar ( t , x , y , z ) , tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

Aquí${\displaystyle \nabla ^{2}:=\Delta }$es el laplaciano tridimensional y η ^μν es la métrica inversa de Minkowski con

${\displaystyle \eta _{00}=1}$,${\displaystyle \eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1}$,${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=0}$para${\displaystyle \mu \neq \nu }$.

Tenga en cuenta que los índices de suma μ y ν varían de 0 a 3: véase la notación de Einstein .

(Algunos autores utilizan alternativamente la signatura métrica negativa de (− + + +) , con${\displaystyle \eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1}$.)

Las transformaciones de Lorentz dejan invariante la métrica de Minkowski , por lo que la transformada de d'Alembert produce un escalar de Lorentz . Las expresiones de coordenadas anteriores siguen siendo válidas para las coordenadas estándar en cualquier sistema de referencia inercial.

Existen diversas notaciones para la notación d'Alembertiana. La más común es el símbolo de caja .${\displaystyle \Box }$( Unicode : U+2610 ☐ URNA ) cuyos cuatro lados representan las cuatro dimensiones del espacio-tiempo y el símbolo cuadrado de la caja${\displaystyle \Box ^{2}}$que enfatiza la propiedad escalar a través del término al cuadrado (muy parecido al laplaciano ). De acuerdo con la notación triangular para el laplaciano , a veces${\displaystyle \Delta _{M}}$se utiliza.

Otra forma de escribir el d'Alembertiano en coordenadas estándar planas es${\displaystyle \partial ^{2}}$Esta notación se utiliza ampliamente en la teoría cuántica de campos , donde las derivadas parciales suelen estar indexadas, por lo que la falta de un índice con la derivada parcial al cuadrado señala la presencia del d'Alembertiano.

A veces, el símbolo de la caja se utiliza para representar la derivada covariante de Levi-Civita de cuatro dimensiones . El símbolo${\displaystyle \nabla }$Luego se utiliza para representar las derivadas espaciales, pero esto depende del sistema de coordenadas .

La ecuación de onda para vibraciones pequeñas tiene la forma

${\displaystyle \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,}$

donde u ( x , t ) es el desplazamiento.

La ecuación de onda para el campo electromagnético en el vacío es

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

donde A ^μ es el cuadripotencial electromagnético en el calibre de Lorenz .

La ecuación de Klein-Gordon tiene la forma

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.}$

La función de los Verdes ,${\displaystyle G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$, para el d'Alembertiano se define por la ecuación

${\displaystyle \Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

dónde${\displaystyle \delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$es la función delta de Dirac multidimensional y${\displaystyle {\tilde {x}}}$y${\displaystyle {\tilde {x}}'}$son dos puntos en el espacio de Minkowski.

Una solución especial viene dada por la función de Green retardada que corresponde a la propagación de la señal solo hacia adelante en el tiempo ^{[ 2 ].}

${\displaystyle G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}$

dónde${\displaystyle \Theta }$es la función escalón de Heaviside .

• Cuatro gradientes
• Fórmula de d'Alembert
• ecuación de Klein-Gordon
• Conducción de calor relativista
• cálculo de Ricci
• ecuación de onda

• "Operador de D'Alembert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Poincaré, Henri (1906). Traducción: Sobre la dinámica del electrón (julio)  – vía Wikisource ., impreso originalmente en Rediconti del Circolo Matematico di Palermo .
• Weisstein, Eric W. "d'Alembertian" . MundoMatemático .