El problema de Wahba

En matemáticas aplicadas , el problema de Wahba , planteado por primera vez por Grace Wahba en 1965, busca hallar una matriz de rotación ( matriz ortogonal especial ) entre dos sistemas de coordenadas a partir de un conjunto de observaciones vectoriales (ponderadas). Las soluciones al problema de Wahba se utilizan frecuentemente en la determinación de la actitud de satélites mediante sensores como magnetómetros y receptores GPS multiantena . La función de coste que el problema de Wahba busca minimizar es la siguiente:

${\displaystyle J(\mathbf {R} )={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}}$para${\displaystyle N\geq 2}$

dónde${\displaystyle \mathbf {w} _ {k}}$es la k -ésima medición de 3 vectores en el marco de referencia,${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$es la k -ésima medición de 3 vectores correspondiente en el sistema de coordenadas del cuerpo y${\displaystyle \mathbf {R} }$es una matriz de rotación de 3 por 3 entre los sistemas de coordenadas. ^{[ 1 ]}${\displaystyle a_{k}}$es un conjunto opcional de ponderaciones para cada observación.

En la literatura se han presentado varias soluciones al problema, en particular el método q de Davenport, ^{[ 2 ]} QUEST y métodos basados ​​en la descomposición en valores singulares (SVD). Markley y Mortari analizan diversos métodos para resolver el problema de Wahba.

Esta es una formulación alternativa del problema de Procrustes ortogonal (considere todos los vectores multiplicados por las raíces cuadradas de los pesos correspondientes como columnas de dos matrices con N columnas para obtener la formulación alternativa). Una derivación compacta y elegante se puede encontrar en Appel (2015). ^{[ 3 ]}

Una posible solución es utilizar la descomposición en valores singulares (SVD).

1. Obtener una matriz${\displaystyle \mathbf {B} }$como sigue:

${\displaystyle \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {w} _{i}{\mathbf {v} _{i}}^{T}}$

2. Halla la descomposición en valores singulares de${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V} ^{T}}$

3. La matriz de rotación es simplemente:

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {M} \mathbf {V} ^{T}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {M} =\operatorname {diag} ({\begin{bmatrix}1&1&\det(\mathbf {U} )\det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}})}$

• Wahba, G. Problema 65–1: Una estimación por mínimos cuadrados de la actitud del satélite , SIAM Review, 1965, 7(3), 409
• Shuster, MD y Oh, SD Determinación de la actitud en tres ejes a partir de observaciones vectoriales , Journal of Guidance and Control, 1981, 4(1):70–77
• Markley, FL Determinación de la actitud mediante observaciones vectoriales y la descomposición en valores singulares , Journal of the Astronautical Sciences, 1988, 38:245–258
• Markley, FL y Mortari, D. Estimación de la actitud mediante cuaterniones utilizando observaciones vectoriales , Journal of the Astronautical Sciences, 2000, 48(2):359–380
• Markley, FL y Crassidis, JL Fundamentos de la determinación y el control de la actitud de las naves espaciales , Springer 2014
• Libbus, B. y Simons, G. y Yao, Y. Rotación de múltiples conjuntos de puntos etiquetados para lograr una coincidencia cercana: un problema generalizado de Wahba , The American Mathematical Monthly, 2017, 124(2):149–160
• Lourakis, M. y Terzakis, G. Revisión de la orientación absoluta eficiente , Conferencia Internacional IEEE/RSJ sobre Robots y Sistemas Inteligentes (IROS), 2018, págs.  5813-5818.

• Método de tríada
• Algoritmo de Kabsch
• Problema de Procrustes ortogonal