Sin pérdida de generalidad

En matemáticas , sin pérdida de generalidad ( WOLOG , WLOG o wlog ; menos comúnmente expresado como sin ninguna pérdida de generalidad o sin pérdida de generalidad ) se utiliza para indicar la suposición de que lo que sigue se elige arbitrariamente, restringiendo la premisa a un caso particular, pero sin afectar la validez de la demostración en general. Los demás casos son suficientemente similares al presentado como para que su demostración se derive esencialmente de la misma lógica. ^{[ 1 ]} Como resultado, una vez que se da una demostración para el caso particular, es trivial adaptarla para demostrar la conclusión en todos los demás casos.

En muchos escenarios, el uso de "sin pérdida de generalidad" es posible gracias a la presencia de simetría . ^{[ 2 ]} Por ejemplo, si se sabe que alguna propiedad P ( x , y ) de los números reales es simétrica en x e y , a saber, que P ( x , y ) es equivalente a P ( y , x ), entonces al probar que P ( x , y ) se cumple para todo x e y , se puede asumir "sin pérdida de generalidad" que x ≤ y . No hay pérdida de generalidad en esta suposición, ya que una vez que se ha probado el caso x ≤ y ⇒ P ( x , y ), el otro caso se deduce intercambiando x e y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), y por la simetría de P , esto implica P ( x , y ), mostrando así que P ( x , y ) se cumple para todos los casos.

Por otro lado, si no se puede establecer ni tal simetría ni otra forma de equivalencia, entonces el uso de "sin pérdida de generalidad" es incorrecto y puede equivaler a un caso de prueba por ejemplo , una falacia lógica que consiste en probar una afirmación mediante un ejemplo no representativo. ^{[ 3 ]}

Consideremos el siguiente teorema (que es un caso del principio del palomar ):

Si tres objetos están pintados de rojo o de azul, entonces debe haber al menos dos objetos del mismo color.

Una prueba:

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el primer objeto es rojo. Si alguno de los otros dos objetos es rojo, entonces hemos terminado; de lo contrario, los otros dos objetos deben ser azules y aun así hemos terminado.

El argumento anterior es válido porque el mismo razonamiento podría aplicarse si se asumiera que el primer objeto es azul, o, de forma similar, si las palabras «rojo» y «azul» pudieran intercambiarse libremente en la redacción de la demostración. Por consiguiente, el uso de la expresión «sin pérdida de generalidad» es válido en este caso.

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• WLOG en PlanetMath .
• "Sin pérdida de generalidad" de John Harrison: análisis de la formalización de argumentos "WLOG" en un demostrador de teoremas automatizado.