Voto de veto

En la teoría de la elección social , el voto por veto es un método de votación mediante el cual los votantes individuales, o coaliciones de votantes, pueden vetar un cierto número de resultados que les desagradan. El poder de veto de una coalición es el número de candidatos que puede vetar. El núcleo de veto es el conjunto de resultados que no son vetados. La idea fue introducida por Dennis C. Mueller en 1978, ^{[ 1 ]} y perfeccionada por Hervé Moulin ^{[ 2 ] [ 3 ]} y varios autores posteriores. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Supongamos que un grupo de votantes debe elegir entre varios resultados posibles (también llamados candidatos). Cada votante tiene un orden de preferencia sobre los candidatos. Dos consideraciones para seleccionar el resultado ganador son respetar la voluntad de la mayoría y proteger a las minorías . Estas consideraciones podrían ser contradictorias.

Por ejemplo, ^{[ 9 ]} supongamos que 100 votantes deben elegir entre tres resultados. 60 votantes prefieren A a B a C; 40 votantes prefieren B a C a A. El principio de la mayoría seleccionaría a A, quien cuenta con el apoyo de una estricta mayoría de los votantes (este resultado es también el ganador de Condorcet ). Pero el principio de la minoría dice que A no debería ser elegido, ya que se opone a él el 40% de los votantes, mientras que B es un compromiso razonable para todos los votantes. El principio de la minoría tiene sentido en situaciones como la selección de la hora para una reunión: es mejor seleccionar una hora que sea razonable (si no perfecta) para todos los votantes, que seleccionar una hora que sea óptima para el 60% e imposible para el 40%.

El voto de veto es un método de votación que implementa el principio de la minoría, otorgando a individuos y grupos de votantes una cantidad predefinida de poder de veto , mediante el cual pueden eliminar resultados a los que se oponen firmemente.

Mueller ^{[ 1 ]} introdujo el primer método de votación por veto, en el contexto de la decisión sobre la cantidad de bienes públicos a producir. Su método consta de dos pasos. En el paso 1, cada votante presenta una propuesta. Junto con el statu quo, el número de resultados posibles es n + 1. En el paso 2, los votantes se ordenan aleatoriamente y cada uno, por turno, elimina un resultado. Finalmente, queda un único resultado, que es el que se implementa. Mueller demuestra que, dados los incentivos de los votantes, la propuesta ganadora tiende a contener una distribución equitativa de las ganancias potenciales.

El método de Mueller no puede utilizarse en votaciones generales, ya que normalmente el número de candidatos no es exactamente n + 1. Otra desventaja es que el resultado puede depender del orden de los votantes; es decir, no es un procedimiento anónimo .

Moulin ^{[ 2 ]} extendió la idea del voto de veto al otorgar poderes de veto a las coaliciones , en lugar de solo a los individuos. Formalmente, una función de veto es una función que asigna, a cada subconjunto de votantes, un número en {0,1,..., m -1} (donde m es el número de candidatos), llamado su poder de veto , que representa el número de candidatos que esta coalición puede vetar. Una función de veto anónima es una función de veto que satisface la anonimidad , es decir, no distingue a priori entre los votantes. Por lo tanto, el poder de veto de una coalición depende solo del tamaño de la coalición. Se requiere que una función de veto anónima sea una función de conjunto superaditiva .

Dada una función de veto v , un resultado x es bloqueado por una coalición T de votantes si existe un subconjunto B de resultados tal que (i) todos los miembros de T prefieren cada resultado en B a x ; (ii) el poder de veto v ( T ) es al menos m - | B |, es decir, la coalición T puede forzar un resultado de B vetando todos los demás. Un resultado x se denomina estable si no es bloqueado por ninguna coalición. El núcleo de veto de v es el conjunto de resultados estables.

El caso especial de un resultado por votante corresponde a otorgar a cada coalición un poder de veto igual a su tamaño, v( T ) = | T |.

Consideremos la siguiente función de veto (definida para n impar , por conveniencia):

• Cada coalición de tamaño mayor que n /2 tiene el máximo poder de voto: v(T)= m -1;
• Cada coalición de tamaño menor que n /2 no tiene poder de voto: v(T)= 0.

Dada esta función, un resultado x se bloquea si y solo si existe una mayoría estricta de votantes que prefieren otro resultado sobre x . En otras palabras, un resultado es estable si y solo si es un ganador de Condorcet . El núcleo de esta función puede estar vacío, ya que algunos perfiles no tienen un ganador de Condorcet; esto se conoce como la paradoja de Condorcet .

Nakamura ^{[ 10 ]} propuso una variante del principio de mayoría, según la cual una coalición tiene pleno poder de veto ( m -1) si contiene más de una fracción f de los votantes, donde f puede ser diferente de 1/2. Demostró que, si y solo si f > 1-1/ m , donde m es el número de candidatos, siempre habrá al menos un resultado estable. El problema es que, por lo general, habrá muchos resultados estables. Por ejemplo, si hay m = 10 resultados, entonces solo una coalición de más del 90% de los votantes puede vetar a un candidato, lo cual es muy raro. A menudo, el núcleo de veto contendrá a los m candidatos.

Moulin ^{[ 2 ]} sugirió el principio de veto proporcional como alternativa a ambas variantes del principio de mayoría. Este principio asigna a cada coalición un poder de veto proporcional a su tamaño. Más precisamente, una coalición T con t votantes tiene poder de veto.${\displaystyle \left\lceil {\frac {mt}{n}}\right\rceil -1}$, que siempre está entre m * t / n -1 y m * t / n , donde m es el número de candidatos y n el número de votantes.

Una expresión equivalente para esta función de veto puede ser dada por los coeficientes de Bezout . Sean r y c dos enteros tales que: r * n = c * m - mcd ( m , n ). Entonces la función de veto anterior es igual a${\displaystyle \left\lfloor {\frac {r\cdot t}{c}}\right\rfloor }$.

El núcleo de veto proporcional es el núcleo de veto de la función de veto proporcional. El núcleo de veto proporcional siempre es no vacío. La demostración es constructiva y utiliza un procedimiento de veto secuencial, que se describe a continuación .

Además, la función de veto proporcional otorga el mayor poder de veto posible para garantizar un resultado estable; cualquier otra función de veto que garantice un resultado estable debe otorgar como máximo el mismo poder de voto a todas las coaliciones, y menos poder de voto a algunas coaliciones, lo que significa que el núcleo de veto podría ser mayor. Por lo tanto, la función de veto proporcional alcanza el núcleo de veto no vacío más pequeño de cualquier función de veto anónima. ^{[ 2 ] : Thm.1} Ilustramos la demostración para el caso especial en que m = n . En este caso, la función de poder de veto es simplemente v( t )= t -1. Supongamos que le damos a una coalición un mayor poder de veto, por ejemplo, una coalición de tamaño k obtiene un poder de veto k. Construimos un perfil con preferencias 'circulares': el agente 1 prefiere a los candidatos 1>2>...>m, el agente 2 prefiere a los candidatos 2>3>...>m>1, etc. Para demostrar que el núcleo no está vacío, mostramos que cada resultado es vetado por alguna coalición. Aquí todos los resultados son simétricos, por lo que basta con demostrarlo para el resultado m. De hecho, la coalición formada por los agentes 1,...,k tiene poder de veto k, y todos ellos prefieren a los candidatos k,...,m-1 antes que a m, por lo que pueden vetar a los k candidatos m,1,...,k-1.

En lugar de decidir de antemano una función de poder de veto y luego diseñar una regla para implementarla, se puede hacer al revés: dada una regla de votación existente, calcular el poder de veto de cada coalición. Formalmente, ^{[ 3 ]} dada una regla de elección social R, el poder de veto de una coalición T es el mayor entero k tal que, para cada subconjunto B que contiene como máximo k resultados, los miembros de T pueden votar de tal manera que ningún miembro de B sea elegido.

Halpern, Procaccia y Suksompong ^{[ 11 ]} extendieron la noción de núcleo de veto proporcional de las votaciones por orden de preferencia a las votaciones de aprobación.s. La idea es dar más poder a los votantes que son más "flexibles", es decir, que aprueban una fracción mayor de los votantes.

Formalmente, para cualquier s en (0,1), un votante s- flexible es aquel que aprueba al menos s * m candidatos. Una coalición ( r , s) -flexible es una coalición de al menos r * m votantes, cada uno de los cuales es s- flexible.

Para una regla de votación de un solo ganador, una garantía ( r , s ) es una garantía de que, para cualquier coalición T flexible ( r , s ) , al menos un votante en T aprueba al ganador. Para una regla R, el FVR( R , s ) es el r más pequeño para el cual la regla tiene una garantía ( r , s ). Las siguientes garantías se demuestran para reglas de un solo ganador: ^{[ 11 ] : Sec. 2}

• Para la regla de votación de aprobación (utilitaria) , FVR(R,s) = 1/(1+ s ) para todo s.
• Para la regla de votación de aprobación ponderada por potencia , donde el peso de cada votante con flexibilidad f es f ^p para alguna potencia p >0, FVR(R,s) =${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {(s(1+p))^{1+p}}{p^{p}}}}}}$.
• Para la regla de votación de aprobación de umbral , que cuenta solo los votos de los votantes flexibles s ₀ para algún umbral fijo s ₀ , FVR( R , s ₀ ) = 1- s ₀ , pero las garantías para otros valores de s podrían ser mucho peores.
• La regla de votación de aprobación ponderada armónica , donde el peso de cada votante con flexibilidad f es 1/(1- f ), FVR( R , s ) = 1- s para cada s , y esta es la mejor garantía posible para cada s . Por lo tanto, la regla de votación de aprobación ponderada armónica es óptima con respecto a la garantía FVR. La regla garantiza a cada grupo de (1- s )*n votantes que son todos s- flexibles, que al menos un votante del grupo aprueba al ganador.

Para una regla de votación de múltiples ganadores, una garantía ( r , s, t ) es una garantía de que, en cualquier coalición ( r , s )-flexible, al menos un miembro aprueba al menos t ganadores. Se demuestran los siguientes resultados para reglas de múltiples ganadores: ^{[ 11 ] : Sec. 3}

• Existe un límite inferior para FVR( r,s,t,m ), pero es mucho más complejo que el límite inferior de 1- s para la votación de un solo ganador.
• Para cualquier k y t fijos , existe una regla que proporciona la garantía óptima simultáneamente para todos los s y m . De forma similar al caso de un único ganador, la regla funciona asignando un peso a cada votante y seleccionando al candidato con el peso total más alto. Sin embargo, en este caso, el peso cambia dinámicamente a medida que se seleccionan más candidatos.
• Por otro lado, si k, m y s son fijos, ninguna regla es simultáneamente óptima para todo t .
• La garantía FVR no es compatible con las garantías de representación justificada : para cada k>1, existe algún s tal que ninguna regla para seleccionar un comité de tamaño k es a la vez FVR-óptima para ( s ,1) y satisface JR.

• Método de eliminación secuencial