Variación de parámetros

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

La solución complementaria a nuestra ecuación original (no homogénea) es la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (escrita a continuación):

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$

Esta ecuación diferencial homogénea se puede resolver mediante diferentes métodos, por ejemplo, separación de variables :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)\,dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

Por lo tanto, la solución complementaria a nuestra ecuación original es:

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

Ahora volvemos a resolver la ecuación no homogénea:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

Utilizando el método de variación de parámetros, la solución particular se forma multiplicando la solución complementaria por una función desconocida C ( x ):

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

Sustituyendo la solución particular en la ecuación no homogénea, podemos hallar C ( x ):

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

Solo necesitamos una única solución en particular, por lo que seleccionamos arbitrariamente${\displaystyle C_{1}=0}$Por simplicidad. Por lo tanto, la solución particular es:

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

La solución final de la ecuación diferencial es:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}}$

Esto recrea el método de integración de factores .

Vamos a resolverlo

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh x}$

Queremos encontrar la solución general de la ecuación diferencial, es decir, queremos encontrar soluciones para la ecuación diferencial homogénea.

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.}$

La ecuación característica es:

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

Desde${\displaystyle \lambda =-2}$Si se trata de una raíz repetida, debemos introducir un factor de x para una de las soluciones para garantizar la independencia lineal:${\displaystyle u_{1}=e^{-2x}}$y${\displaystyle u_{2}=xe^{-2x}}$. El Wronskiano de estas dos funciones es

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

Debido a que el Wronskiano es distinto de cero, las dos funciones son linealmente independientes, por lo que esta es, de hecho, la solución general para la ecuación diferencial homogénea (y no un simple subconjunto de la misma).

Buscamos funciones${\displaystyle A(x)}$y${\displaystyle B(x)}$entonces${\displaystyle A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)}$es una solución particular de la ecuación no homogénea. Solo necesitamos calcular las integrales.

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

Recuerda que para este ejemplo

${\displaystyle b(x)=\cosh x}$

Eso es,

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}}$

dónde${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$son constantes de integración.

Tenemos una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

y definimos el operador lineal

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

donde D representa el operador diferencial . Por lo tanto, tenemos que resolver la ecuación.${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$para${\displaystyle u(x)}$, dónde${\displaystyle L}$y${\displaystyle f(x)}$son conocidos.

Primero debemos resolver la ecuación homogénea correspondiente:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

mediante la técnica que elijamos. Una vez que hayamos obtenido dos soluciones linealmente independientes para esta ecuación diferencial homogénea (porque esta EDO es de segundo orden) —llamémoslas u ₁ y u _2— podemos proceder con la variación de parámetros.

Ahora, buscamos la solución general de la ecuación diferencial.${\displaystyle u_{G}(x)}$que suponemos que es de la forma

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

Aquí,${\displaystyle A(x)}$y${\displaystyle B(x)}$son desconocidos y${\displaystyle u_{1}(x)}$y${\displaystyle u_{2}(x)}$son las soluciones de la ecuación homogénea. (Observe que si${\displaystyle A(x)}$y${\displaystyle B(x)}$son constantes, entonces${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$Dado que la ecuación anterior es solo una y tenemos dos funciones desconocidas, es razonable imponer una segunda condición. Elegimos la siguiente:

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

Ahora,

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

Nuevamente, se vuelve a diferenciar (omitiendo los pasos intermedios).

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Ahora podemos escribir la acción de L sobre u _G como

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Dado que u ₁ y u ₂ son soluciones, entonces

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Tenemos el sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

En expansión,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, el sistema anterior determina con precisión las condiciones.

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

Buscamos A ( x ) y B ( x ) a partir de estas condiciones, por lo tanto, dado

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}}$

Podemos resolver para ( A ′( x ), B ′( x )) ^T , entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},}$

donde W denota el Wronskiano de u ₁ y u ₂ . (Sabemos que W es distinto de cero, a partir de la suposición de que u ₁ y u ₂ son linealmente independientes). Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Si bien las ecuaciones homogéneas son relativamente fáciles de resolver, este método permite calcular los coeficientes de la solución general de la ecuación no homogénea y, por lo tanto, se puede determinar la solución general completa de la ecuación no homogénea.

Tenga en cuenta que${\displaystyle A(x)}$y${\displaystyle B(x)}$cada uno está determinado solo hasta una constante aditiva arbitraria (la constante de integración ). Agregar una constante a${\displaystyle A(x)}$o${\displaystyle B(x)}$no cambia el valor de${\displaystyle Lu_{G}(x)}$porque el término extra es simplemente una combinación lineal de u ₁ y u ₂ , que es una solución de${\displaystyle L}$por definición.