Sistema de masa variable

En mecánica , un sistema de masa variable es una colección de materia cuya masa varía con el tiempo . Puede resultar confuso intentar aplicar la segunda ley de movimiento de Newton directamente a un sistema de este tipo. ^{[1] [2]} En cambio, la dependencia temporal de la masa m se puede calcular reorganizando la segunda ley de Newton y añadiendo un término para tener en cuenta el momento transportado por la masa que entra o sale del sistema. La ecuación general del movimiento de masa variable se escribe como

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

donde F _ext es la fuerza externa neta sobre el cuerpo, v _rel es la velocidad relativa de la masa que escapa o que entra con respecto al centro de masa del cuerpo, y v es la velocidad del cuerpo. ^[3] En astrodinámica , que trata de la mecánica de los cohetes , el término v _rel a menudo se denomina velocidad de escape efectiva y se denota v _e . ^[4]

Existen diferentes derivaciones para la ecuación de movimiento del sistema de masa variable, dependiendo de si la masa entra o sale de un cuerpo (en otras palabras, si la masa del cuerpo en movimiento aumenta o disminuye, respectivamente). Para simplificar los cálculos, todos los cuerpos se consideran partículas . También se supone que la masa no puede aplicar fuerzas externas sobre el cuerpo fuera de los eventos de acreción/ablación.

La siguiente derivación es para un cuerpo que está ganando masa ( acreción ). Un cuerpo de masa variable en el tiempo m se mueve a una velocidad v en un tiempo inicial t . En el mismo instante, una partícula de masa dm se mueve con velocidad u con respecto al suelo. El momento inicial se puede escribir como ^[5]

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m}$

Ahora, en un instante t + d t , supongamos que tanto el cuerpo principal como la partícula se acumulan en un cuerpo de velocidad v + d v . Por lo tanto, el nuevo momento del sistema se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )=m\mathbf {v } +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} }$

Dado que d m d v es el producto de dos valores pequeños, se puede ignorar, lo que significa que durante d t el momento del sistema varía para

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} + m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m)=m\mathrm { d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}$

Por lo tanto, por la segunda ley de Newton

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-(\mathbf {u} -\mathbf {v} ){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

Observando que u - v es la velocidad de d m relativa a m , simbolizada como v _rel , esta ecuación final se puede organizar como ^[6]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

En un sistema en el que se expulsa o se elimina masa de un cuerpo principal, la derivación es ligeramente diferente. En el tiempo t , supongamos que una masa m viaja a una velocidad v , lo que significa que el momento inicial del sistema es

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} }$

Suponiendo que u es la velocidad de la masa ablacionada d m con respecto al suelo, en un tiempo t + d t el momento del sistema se convierte en

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m-\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )+\mathbf {u} \mathrm {d} m=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m-\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m}$

donde u es la velocidad de la masa expulsada con respecto al suelo, y es negativa porque la masa expulsada se mueve en dirección opuesta a la masa. Por lo tanto, durante d t el momento del sistema varía para

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathbf {u} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} )=m\mathrm {d} \mathbf {v} +[\mathbf {u} -(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )]\mathrm {d} m}$

La velocidad relativa v _rel de la masa ablacionada con respecto a la masa m se escribe como

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rel} }=\mathbf {u} -(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )}$

Por lo tanto, el cambio en el momento se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m}$

Por lo tanto, por la segunda ley de Newton

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

Por lo tanto, la ecuación final se puede organizar como

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }-\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

Por la definición de aceleración , a = d v /d t , por lo que la ecuación de movimiento del sistema de masa variable se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} }$

En los cuerpos que no se tratan como partículas, a debe sustituirse por a _cm , la aceleración del centro de masas del sistema, es decir

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

A menudo, la fuerza debida al empuje se define como tal que ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

Esta forma muestra que un cuerpo puede tener aceleración debido al empuje incluso si no actúan fuerzas externas sobre él ( F _ext = 0). Nótese finalmente que si se hace que F _neta sea la suma de F _ext y F _thrust, entonces la ecuación recupera la forma usual de la segunda ley de Newton:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

La ecuación del cohete ideal , o ecuación del cohete de Tsiolkovsky , se puede utilizar para estudiar el movimiento de vehículos que se comportan como un cohete (donde un cuerpo se acelera a sí mismo expulsando parte de su masa, un propulsor , a alta velocidad). Se puede derivar de la ecuación general de movimiento para sistemas de masa variable de la siguiente manera: cuando no actúan fuerzas externas sobre un cuerpo ( F _ext = 0), la ecuación de movimiento del sistema de masa variable se reduce a ^[2]

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}$

Si se supone que la velocidad del propulsor expulsado, v _{rel , tiene la dirección opuesta a la aceleración del cohete, d} v /d t , el equivalente escalar de esta ecuación se puede escribir como

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}}$

de donde d t se puede cancelar para dar

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m=m\mathrm {d} v\,}$

La integración por separación de variables da

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\int _{m_{0}}^{m_{1}}{\frac {\mathrm {d} m}{m}}=\int _{v_{0}}^{v_{1}}\mathrm {d} v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=v_{1}-v_{0}}$

Al reorganizar y dejar Δ v = v ₁ - v ₀ , se llega a la forma estándar de la ecuación del cohete ideal:

${\displaystyle \Delta v=v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

donde m ₀ es la masa total inicial, incluido el propulsor, m ₁ es la masa total final, v _rel es la velocidad de escape efectiva (a menudo denotada como v _e ), y Δ v es el cambio máximo de velocidad del vehículo (cuando no actúan fuerzas externas).