Estadística U

En teoría estadística , una estadística U es una clase de estadística definida como el promedio de la aplicación de una función dada aplicada a todas las tuplas de un tamaño fijo. La letra "U" significa imparcial. ^{[ cita requerida ]} En estadística elemental, las estadísticas U surgen naturalmente al producir estimadores imparciales de varianza mínima .

La teoría de la estadística U permite derivar un estimador insesgado de varianza mínima a partir de cada estimador insesgado de un parámetro estimable (alternativamente, funcional estadístico ) para grandes clases de distribuciones de probabilidad . ^{[1] [2]} Un parámetro estimable es una función medible de la distribución de probabilidad acumulada de la población : por ejemplo, para cada distribución de probabilidad, la mediana de la población es un parámetro estimable. La teoría de la estadística U se aplica a clases generales de distribuciones de probabilidad.

Muchas estadísticas derivadas originalmente para familias paramétricas particulares han sido reconocidas como estadísticas U para distribuciones generales. En las estadísticas no paramétricas , la teoría de las estadísticas U se utiliza para establecer procedimientos estadísticos (como estimadores y pruebas) y estimadores relacionados con la normalidad asintótica y con la varianza (en muestras finitas) de tales cantidades. ^[3] La teoría se ha utilizado para estudiar estadísticas más generales, así como procesos estocásticos , como los gráficos aleatorios . ^{[4] [5] [6]}

Supongamos que un problema implica variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y que se requiere la estimación de un determinado parámetro. Supongamos que se puede construir una estimación simple e insesgada basándose en solo unas pocas observaciones: esto define el estimador básico basado en un número dado de observaciones. Por ejemplo, una sola observación es en sí misma una estimación insesgada de la media y se puede utilizar un par de observaciones para derivar una estimación insesgada de la varianza. La estadística U basada en este estimador se define como el promedio (a través de todas las selecciones combinatorias del tamaño dado del conjunto completo de observaciones) del estimador básico aplicado a las submuestras.

Pranab K. Sen (1992) ofrece una revisión del artículo de Wassily Hoeffding (1948), que introdujo las estadísticas U y expuso la teoría relacionada con ellas, y al hacerlo, Sen destaca la importancia que tienen las estadísticas U en la teoría estadística. Sen dice: ^[7] “El impacto de Hoeffding (1948) es abrumador en el momento actual y es muy probable que continúe en los próximos años”. Nótese que la teoría de las estadísticas U no se limita ^[8] al caso de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas o a variables aleatorias escalares. ^[9]

El término estadístico U, debido a Hoeffding (1948), se define de la siguiente manera.

Sean los números reales o complejos y una función de variables de dimensión dimensional con valores -. Para cada uno, el estadístico U asociado se define como el promedio de los valores sobre el conjunto de -tuplas de índices de con entradas distintas. Formalmente, ${\estilo de visualización K}$${\displaystyle f\colon (K^{d})^{r}\to K}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización d}$${\displaystyle n\geq r}$${\displaystyle f_{n}\colon (K^{d})^{n}\to K}$${\displaystyle f(x_{i_{1}},\puntosc ,x_{i_{r}})}$$Estilo de visualización I_{r,n}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle \{1,2,\puntos,n\}}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\prod _{i=0}^{r-1}(ni)}}\sum _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in I_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$.

En particular, si es simétrico lo anterior se simplifica a ${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\puntosc ,x_{n})={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\sum _{(i_{1},\puntosc ,i_{r})\in J_{r,n}}f(x_{i_{1}},\puntosc ,x_{i_{r}})}$,

donde ahora denota el subconjunto de tuplas crecientes . $Estilo de visualización J_{r,n}$$Estilo de visualización I_{r,n}$

Cada estadística U es necesariamente una función simétrica . $Estilo de visualización f_{n}$

Las estadísticas U son muy naturales en el trabajo estadístico, particularmente en el contexto de Hoeffding de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , o más generalmente para secuencias intercambiables , como en el muestreo aleatorio simple de una población finita, donde la propiedad definitoria se denomina "herencia en promedio".

Las estadísticas k de Fisher y las polikays de Tukey son ejemplos de estadísticas U polinomiales homogéneas (Fisher, 1929; Tukey, 1950).

Para una muestra aleatoria simple φ de tamaño  n tomada de una población de tamaño  N , la estadística U tiene la propiedad de que el promedio de los valores de la muestra  ƒ _n ( xφ ) es exactamente igual al valor de la población  ƒ _N ( x ). ^{[ aclaración necesaria ]}

Algunos ejemplos: Si la estadística U es la media de la muestra. ${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle f_{n}(x)={\bar {x}}_{n}=(x_{1}+\cdots +x_{n})/n}$

Si , la estadística U es la desviación media por pares , definida para . ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}$${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=2/(n(n-1))\sum _{i>j}|x_{i}-x_{j}|}$${\displaystyle n\geq 2}$

Si , la estadística U es la varianza de la muestra con divisor , definida para . ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}/2}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{2}/(n-1)}$${\estilo de visualización n-1}$${\displaystyle n\geq 2}$

La tercera estadística , la asimetría de la muestra definida para , es una estadística U. ${\estilo de visualización k}$${\displaystyle k_{3,n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{3}n/((n-1)(n-2))}$${\displaystyle n\geq 3}$

El siguiente caso destaca un punto importante. Si es la mediana de tres valores, no es la mediana de los valores. Sin embargo, es una estimación no sesgada de varianza mínima del valor esperado de la mediana de tres valores, no de la mediana de la población. Estimaciones similares desempeñan un papel central cuando los parámetros de una familia de distribuciones de probabilidad se estiman mediante momentos ponderados por probabilidad o momentos L.${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\estilo de visualización n}$

• Estadística V

• Borovskikh, Yu. V. (1996).Estadísticas U en espacios de Banach . Utrecht: VSP. pp. xii+420. ISBN 90-6764-200-2.Señor 1419498  .
• Cox, DR, Hinkley, DV (1974) Estadística teórica . Chapman y Hall. ISBN 0-412-12420-3 
• Fisher, RA (1929) Momentos y momentos producto de distribuciones de muestreo. Actas de la London Mathematical Society , 2, 30:199–238.
• Hoeffding, W. (1948) Una clase de estadística con distribuciones asintóticamente normales. Annals of Statistics , 19:293–325. (Parcialmente reimpreso en: Kotz, S., Johnson, NL (1992) Breakthroughs in Statistics , Vol I, pp 308–334. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5 ) 
• Koroljuk, VS; Borovskich, Yu. V. (1994). Teoría de la estadística U. Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 273 (traducido por PV Malyshev y DV Malyshev de la edición original en ruso de 1989). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. x+552. ISBN 0-7923-2608-3.Señor 1472486  .
• Lee, AJ (1990) U-Statistics: Theory and Practice . Marcel Dekker, Nueva York. pp320 ISBN 0-8247-8253-4 
• Sen, PK (1992) Introducción a Hoeffding (1948) Una clase de estadística con distribución asintóticamente normal. En: Kotz, S., Johnson, NL Breakthroughs in Statistics , Vol I, págs. 299–307. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5 . 
• Serfling, Robert J. (1980). Teoremas de aproximación de la estadística matemática . Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-02403-1.
• Tukey, JW (1950). "Algunos muestreos simplificados". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 45 (252): 501–519. doi :10.1080/01621459.1950.10501142.
• Halmos, P. (1946). "La teoría de la estimación insesgada". Anales de estadística matemática . 1 (17): 34–43. doi : 10.1214/aoms/1177731020 .