Triple correlación

La triple correlación de una función ordinaria en la recta real es la integral del producto de esa función con dos copias de sí misma desplazadas independientemente:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(x)f(x+s_{1})f(x+s_{2})dx.}$

La transformada de Fourier de la triple correlación es el biespectro . La triple correlación extiende el concepto de autocorrelación , que correlaciona una función con una única copia desplazada de sí misma y, por lo tanto, realza sus periodicidades latentes.

La teoría de la triple correlación fue investigada inicialmente por estadísticos que examinaban la estructura de cumulantes de procesos aleatorios no gaussianos . También fue estudiada de forma independiente por físicos como herramienta para la espectroscopia de haces láser. Hideya Gamo, en 1963, describió un aparato para medir la triple correlación de un haz láser y también demostró cómo se puede recuperar la información de fase a partir de la parte real del biespectro, incluso con inversión de signo y desplazamiento lineal. Sin embargo, el método de Gamo requiere implícitamente que la transformada de Fourier nunca sea cero en ninguna frecuencia. Este requisito se flexibilizó y la clase de funciones que se sabe que se identifican de forma única por sus correlaciones triples (y de orden superior) se amplió considerablemente con el estudio de Yellott e Iverson (1992). Yellott e Iverson también señalaron la conexión entre las correlaciones triples y la teoría de discriminación de texturas visuales propuesta por Bela Julesz .

Los métodos de correlación triple se utilizan frecuentemente en el procesamiento de señales para tratar señales corrompidas por ruido gaussiano blanco aditivo ; en particular, las técnicas de correlación triple son adecuadas cuando se dispone de múltiples observaciones de la señal y esta puede estar trasladándose entre las observaciones, por ejemplo, una secuencia de imágenes de un objeto que se traslada sobre un fondo ruidoso. Lo que hace que la correlación triple sea particularmente útil para tales tareas son tres propiedades: (1) es invariante bajo traslación de la señal subyacente; (2) no presenta sesgo en el ruido gaussiano aditivo; y (3) conserva casi toda la información de fase relevante en la señal subyacente. Las propiedades (1)-(3) de la correlación triple se extienden en muchos casos a funciones en un grupo localmente compacto arbitrario , en particular a los grupos de rotaciones y movimientos rígidos del espacio euclidiano que surgen en la visión por computadora y el procesamiento de señales.

La correlación triple puede definirse para cualquier grupo localmente compacto utilizando la medida de Haar invariante por la izquierda del grupo . Se demuestra fácilmente que el objeto resultante es invariante bajo la traslación izquierda de la función subyacente y no sesgado en ruido gaussiano aditivo. Lo más interesante es la cuestión de la unicidad  : cuando dos funciones tienen la misma correlación triple, ¿cómo se relacionan las funciones? Para muchos casos de interés práctico, la correlación triple de una función en un grupo abstracto identifica de forma única esa función salvo una única acción de grupo desconocida. Esta unicidad es un resultado matemático que se basa en el teorema de dualidad de Pontryagin , el teorema de dualidad de Tannaka-Krein y resultados relacionados de Iwahori-Sugiura y Tatsuuma. Existen algoritmos para recuperar funciones de banda limitada a partir de su correlación triple en el espacio euclidiano, así como en grupos de rotación en dos y tres dimensiones. También existe un vínculo interesante con el teorema tauberiano de Wiener : cualquier función cuyas traslaciones sean densas en${\displaystyle L_{1}(G)}$, dónde${\displaystyle G}$es un grupo abeliano localmente compacto , y también se identifica de forma única por su triple correlación.

• K. Hasselman, W. Munk y G. MacDonald (1963), "Bispectros de olas oceánicas", en Análisis de series temporales , M. Rosenblatt, Ed., Nueva York: Wiley, 125-139.
• Gamo, H. (1963). "Correlador triple de fluctuaciones fotoeléctricas como herramienta espectroscópica". Journal of Applied Physics . 34 (4): 875– 876. Bibcode : 1963JAP....34..875G . doi : 10.1063/1.1729553 .
• Yellott, J.; Iverson, GJ (1992). "Propiedades de unicidad de las funciones de autocorrelación de orden superior" . Journal of the Optical Society of America A. 9 ( 3): 388. Bibcode : 1992JOSAA...9..388Y . doi : 10.1364/JOSAA.9.000388 .
• R. Kakarala (1992) Triple correlación en grupos , Tesis doctoral, Departamento de Matemáticas, Universidad de California, Irvine.
• R. Kondor (2007), "Un conjunto completo de características invariantes a la rotación y la traslación para imágenes", arXiv : cs/0701127