Triángulo trinomial

El triángulo trinomio es una variación del triángulo de Pascal . La diferencia entre ambos es que una entrada en el triángulo trinomio es la suma de las tres entradas que tiene encima (en lugar de las dos del triángulo de Pascal):

El${\displaystyle k}$-entrada del${\displaystyle n}$La fila -ésima se denota por

${\displaystyle {n \choose k}_{2}}$.

Las filas se cuentan a partir de 0. Las entradas de la${\displaystyle n}$La fila -ésima está indexada comenzando con${\displaystyle -n}$desde la izquierda, y la entrada central tiene índice 0. La simetría de las entradas de una fila con respecto a la entrada central se expresa mediante la relación

${\displaystyle {n \choose k}_{2}={n \choose -k}_{2}}$

El${\displaystyle n}$La -ésima fila corresponde a los coeficientes en la expansión polinómica de la expansión del trinomio.${\displaystyle (1+x+x^{2})}$elevado a la${\displaystyle n}$-ésima potencia: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left(1+x+x^{2}\right)^{n}=\sum _{j=0}^{2n}{n \choose jn}_{2}x^{j}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{n+k}}$

o, simétricamente,

${\displaystyle \left(1+x+1/x\right)^{n}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{k}}$,

De ahí el nombre alternativo de coeficientes trinomiales debido a su relación con los coeficientes multinomiales :

${\displaystyle {n \choose k}_{2}=\sum _{\textstyle {0\leq \mu ,\nu \leq n \atop \mu +2\nu =n+k}}{\frac {n!}{\mu$ !\,\nu  !\,(n-\mu -\nu )!}}}

Además, las diagonales tienen propiedades interesantes, como su relación con los números triangulares .

La suma de los elementos de${\displaystyle n}$-la fila es${\displaystyle 3^{n}}$.

Los coeficientes trinomiales se pueden generar utilizando la siguiente fórmula de recurrencia : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {0 \choose 0}_{2}=1}$,

${\displaystyle {n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}}$para${\displaystyle n\geq 0}$,

dónde${\displaystyle {n \choose k}_{2}=0}$para${\displaystyle \ k<-n}$y${\displaystyle \ k>n}$.

Los elementos centrales del triángulo trinomio

1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, … (secuencia A002426 en el OEIS )

Fueron estudiados por Euler y se conocen como coeficientes trinomios centrales .

Los únicos coeficientes trinomios centrales primos conocidos son 3, 7 y 19 en n = 2, 3 y 4.

El${\displaystyle n}$El -ésimo coeficiente trinomial central viene dado por

${\displaystyle {n \choose 0}_{2}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n(n-1)\cdots (n-2k+1)}{(k!)^{2}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose 2k}{2k \choose k}.}$

Su función generadora es ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 1+x+3x^{2}+7x^{3}+19x^{4}+\ldots ={\frac {1}{\sqrt {(1+x)(1-3x)}}}.}$

Euler señaló el siguiente exemplum memorabile inductionis fallacis ("ejemplo notable de inducción falaz"):

${\displaystyle 3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)}$para${\displaystyle 0\leq n\leq 7}$,

dónde${\displaystyle F_{n}}$es el n -ésimo número de Fibonacci . Para valores mayores${\displaystyle n}$Sin embargo, esta relación es incorrecta. George Andrews explicó esta falacia utilizando la identidad general ^{[ 3 ].}

${\displaystyle 2\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left[{n+1 \choose 10k}_{2}-{n+1 \choose 10k+1}_{2}\right]=F_{n}(F_{n}+1).}$

• Leonhard Euler (1767). "Observationes analyticae ("Observaciones analíticas")" . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 11 : 124-143 .