Expansión trinomial

En matemáticas , una expansión de trinomio es la expansión de una potencia de una suma de tres términos en monomios . La expansión está dada por

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},}$

donde n es un entero no negativo y la suma se toma sobre todas las combinaciones de índices no negativos i , j y k tales que i + j + k = n . ^[1] Los coeficientes trinomiales se dan por

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.}$

Esta fórmula es un caso especial de la fórmula multinomial para m = 3. Los coeficientes se pueden definir con una generalización del triángulo de Pascal a tres dimensiones, llamada pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal. ^[2]

La expansión trinomial se puede calcular aplicando la expansión binomial dos veces, estableciendo , lo que conduce a ${\displaystyle d=b+c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{n}&=(a+d)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \elija r}\,a^{nr}\,d^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \elija r}\,a^{nr}\,(b+c)^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \elija r}\,a^{nr}\,\sum _{s=0}^{r}{r \elija s}\,b^{rs}\,c^{s}.\end{aligned}}}$

Arriba, el resultado de la segunda línea se evalúa mediante la segunda aplicación de la expansión binomial, introduciendo otra suma sobre el índice . ${\displaystyle (b+c)^{r}}$${\estilo de visualización s}$

El producto de los dos coeficientes binomiales se simplifica acortando , ${\estilo de visualización r!}$

${\displaystyle {n \elige r}\,{r \elige s}={\frac {n!}{r!(nr)!}}{\frac {r!}{s!(rs)!}}={\frac {n!}{(nr)!(rs)!s!}},}$

y comparando las combinaciones de índices aquí con las de los exponentes, se pueden reetiquetar como , lo que proporciona la expresión dada en el primer párrafo. ${\displaystyle i=nr,~j=rs,~k=s}$

El número de términos de un trinomio desarrollado es el número triangular

${\displaystyle t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},}$

donde n es el exponente al que se eleva el trinomio. ^[3]

Un ejemplo de una expansión trinomial con es: ${\estilo de visualización n=2}$

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}$

• Expansión binomial
• La pirámide de Pascal
• Coeficiente multinomial
• Triángulo trinomio