Billar triangular

En matemáticas, el billar triangular es un sistema dinámico que modela la reflexión de los rayos de luz dentro de un triángulo con lados simétricos , o una bola de billar sobre una mesa triangular. Es un caso especial de billar dinámico .

Un problema abierto importante en esta área se refiere a la existencia de trayectorias periódicas de billar: ¿tiene cada triángulo una trayectoria que repite su posición y orientación iniciales después de un número finito de reflexiones? ^{[ 1 ] [ 2 ]} Un preimpreso de junio de 2026 de Giovanni Forni afirma que sí, todos los polígonos tienen órbitas periódicas. ^{[ 3 ]}

En este modelo, un rayo de luz con una posición y orientación iniciales dadas sigue una trayectoria en forma de cadena poligonal , siguiendo la regla de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión siempre que el rayo de luz se refleja en un lado del triángulo. Si la luz llega a un vértice del triángulo, se extingue. De forma alternativa, una bola de billar modelada como un punto matemático sigue la misma trayectoria en una mesa de billar triangular, reflejándose perfectamente cuando golpea una pared de la mesa o cae en una tronera de una esquina. Este es un caso especial de billar dinámico , que plantea problemas similares en formas más generales que los triángulos. ^{[ 1 ]}

En lugar de seguir la trayectoria de un rayo de luz reflejado dentro de un único triángulo simétrico, resulta conveniente estudiar un problema equivalente: seguir una línea recta a través de un polígono formado por copias reflejadas del triángulo. Para ello, partimos del triángulo dado y de una línea que pasa por el punto de inicio de la trayectoria con la orientación dada. A continuación, seguimos esa línea hasta que intersecta un lado del triángulo y colocamos otra copia del triángulo, reflejada sobre el lado intersectado. Continuamos de la misma manera en el triángulo reflejado, repitiendo el proceso hasta que la trayectoria trazada por la línea alcance un vértice del polígono (y se detenga), o llegue a una copia reflejada del triángulo que tenga la misma orientación que el triángulo inicial, pasando la línea por puntos correspondientes en ambas copias. Si esto ocurre, se ha encontrado una trayectoria periódica. ^{[ 1 ]}

Para una secuencia de copias de un triángulo dado, reflejadas a través de sus lados de esta manera y comenzando y terminando con copias en la misma orientación, una trayectoria periódica debe tener una pendiente igual al vector de traslación desde la copia inicial hasta la copia final. Es posible comprobar si una trayectoria periódica tiene esta secuencia de copias como su despliegue, calculando las envolturas convexas de los vértices en los dos subconjuntos del límite del polígono desplegado que conectan las copias inicial y final del triángulo, y comprobando si estas dos envolturas tienen proyecciones paralelas sobre una línea perpendicular al vector de traslación que forman conjuntos disjuntos . Si es así, cualquier punto en el intervalo entre estos dos conjuntos puede elegirse como punto de partida para una trayectoria periódica. ^{[ 4 ]}

En un triángulo acutángulo , el triángulo órtico forma una trayectoria de billar periódica, que se refleja tres veces antes de regresar a su posición inicial. Este triángulo tiene como vértices los tres puntos situados en los lados del triángulo acutángulo dado, donde son atravesados ​​por líneas perpendiculares que pasan por los vértices opuestos. También proporciona la solución al problema de Fagnano del triángulo inscrito de perímetro mínimo ^{[ 1 ].}

En un triángulo rectángulo , cualquier trayectoria reflejada perpendicular a la hipotenusa del triángulo es periódica, reflejándose dos veces en cada lado y siguiendo la misma trayectoria en la dirección inversa antes de regresar a su posición inicial. Por lo tanto, estos triángulos siempre tienen trayectorias de billar periódicas. ^{[ 5 ]} De manera más general, casi toda trayectoria perpendicular a uno de los lados del triángulo rectángulo es eventualmente periódica, ^{[ 6 ]} y cuando el triángulo rectángulo tiene un ángulo en el intervalo${\displaystyle (\pi /6,\pi /4)}$Puede haber como máximo un camino no periódico que sea perpendicular a un lado. ^{[ 7 ]}

Para triángulos cuyos ángulos son múltiplos de números racionales de${\displaystyle \pi }$Siempre existe una trayectoria de billar periódica, y más aún, las posiciones y orientaciones iniciales que dan lugar a trayectorias periódicas forman un conjunto denso . ^{[ 8 ]} Para triángulos isósceles , una trayectoria desde el punto medio de la base perpendicular a cada lado se refleja cuatro veces antes de repetirse. Todas las perturbaciones suficientemente pequeñas del triángulo producirán otro triángulo con una trayectoria de billar periódica. ^{[ 5 ]}

Las búsquedas informáticas han demostrado que todos los triángulos obtusos cuyo ángulo máximo es como máximo 112,4°, tienen trayectorias de billar periódicas. ^{[ 4 ]} El ángulo ligeramente mayor 112,5° (${\displaystyle 5\pi /8}$) se ha descrito como "una barrera muy difícil de superar". ^{[ 9 ]} Además, todos los triángulos obtusos cuyo ángulo mínimo es de al menos 11°, excepto los triángulos cuyos tres ángulos están muy cerca de 15°, 30° y 135°, tienen trayectorias de billar periódicas. ^{[ 4 ]}

No es posible establecer un límite fijo para el número de reflexiones necesarias para una trayectoria periódica: existen triángulos para los cuales este número es arbitrariamente grande. En particular, esto es cierto para ciertos triángulos obtusos cuyos ángulos son cercanos a los del triángulo 30-60-90 . ^{[ 10 ]}

Una trayectoria periódica de billar en un triángulo se denomina estable si, para cualquier perturbación suficientemente pequeña del triángulo, la trayectoria puede ser perturbada hasta volverse periódica para el triángulo perturbado. De lo contrario, se denomina inestable . ^{[ 2 ]} Si todas las trayectorias periódicas fueran estables, todos los triángulos estarían cubiertos por los entornos estables de triángulos racionales. Sin embargo, existen triángulos para los cuales todas las trayectorias periódicas son inestables; un ejemplo es el triángulo 30-60-90. ^{[ 10 ]} Toda trayectoria periódica con un número impar de reflexiones es estable. ^{[ 2 ]}

• La gran búsqueda de caminos periódicos , GW Tokarsky